第一章索洛增长模型

第一章索洛增长模型一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。 理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。(按边际产品取得收益的传统途径)。Y(t)二 F(K(t), A(t)L(t)假设：(1)生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的(F (cK , cAL ) =cF (K,AL), - c _0) ； (2)除资本、劳动与知识以外的其他投入是相 对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析：K1K当 c =1/AL,F (cK ,cAL) =cF (K , AL)=. F (,1)F (K , AL)，其中，是ALALAL1k单位有效劳动的资本量，F (K , AL)是单位有效劳动的产出。 定义k=，y=Y/AL ,ALAL及y =F(k,1) = y = f (k)，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。人均收入： Y / L 二 A(Y / AL )二 Af (k)紧凑型生产函数f (k)假定满足f (0) = 0， f (k)0， f (k) ：: 0。因为：F (K , AL )二 ALf (K / AL )=. F ( K , AL ) / ;: ALf (K / AL )(1 / AL f (k)f(k) 0，f(k) K(k*) =1/3二 -4%，k与y每年走完其各自k*与y*的剩 余距离的4%，且大致花18年的时间走完与其平衡增长路径值的一半距离)索洛模型的核心结论是：如果在市场中资本所要求的报酬是其对产出的贡献，那么，物质资本积累的变化并不能解释世界范围的经济增长的显著部分或国家间的收入差别。例如， 从直接方式看：如果两个经济间每工人平均产出的差异为X倍，那么两个经济间每工人平均产出对数的差为ln X，由于每工人平均产出关于每工人平均资本的弹性是K，每工人平均资本对数必须有数量为(In X ) /K的差距。那么，每工人平均资本(k)的差异为e(n X )/ ：K或 X1/ ：K 由该式得到：(.；X / X ) /C：K / K ) -k，ln X ：X / X , ln K . ：K / K，如果X = 10倍，:K = 1/3，那么，k差异为1000倍，这是不现实的。从间接方式看，由于 模型无法依据每工人平均资本的差异来解释每工人平均产出的较大的变化，因此，考虑资本所需要的差额意味着资本报酬率的巨大差异(卢卡斯，1990)。如果市场是竞争性的，资本的报酬率等于其边际产品 f (k)减去折旧。用柯布一道格拉斯生产函数来说明这一点，f(k)二k：，产出关于资本的弹性为：，资本的边际产品为:y(,10#即资本的边际产品关于产出的弹性为_(1 _：.)/ ：.。如果=1/3，每个工人平均产出的 10倍的差额来源于每个工人平均资本的差异，这意味着资本的边际产品的 100倍的差异(现实并不存在这种报酬率差异的证据)。因此，每个工人平均实物资本的差异无法说明我们所观察到的每个工人平均产出差异， 或者我们所观察到的每个工人平均产出差异能由每个工人平均实物资本的差异来解释。当 然，索洛模型中，将每个工人平均产出变化的其他潜在来源是劳动的有效性。但这变量是外生的。A是什么？是杂物袋。五、经验性应用在索洛模型中，第个工人平均产出的长期增长只依存于技术进步。但短期增长或者来源 于技术进步或者来源于资本积累。1、增长因素分析法Y(t)二F(K(t), A(t)L(t)Y(t)Y(t)Y(t)二 丫(t)K (t)L(t)A(t)cK (t)cL(t)cA(t)Y(t) _ K(t)讦(t) K(t) L(t) ?Y(t) L(t) A(t) ?Y(t) A(t) Y(t) Y(t) ；：K(t) K (t) Y(t) ；:L(t) L(t) Y(t) ：A(t) A(t)型：L(t)也 R(t)K(t)L(t)Y(t)Y(t)L(t)L(t):K (t) ： L(t) =1K(t)K _L(t) R(t)K(t) L(t)其中，R (t)是索洛剩余。上式是指每个工人平均产出的分解为每个工人平均资本的增 长的贡献与剩余项-索洛残值，它有时被解释为对技术进步贡献的度量。2、收敛性鲍默尔(1986)检验16个工业化国家间由 1870 1978年的收敛性模型，如下:YY丫ln() i ,1978 _ln() i ,1870 = a b()i,1870 iNNN上式中，如果b为负，则存在收敛性，否则不存在收敛性。六、环境与经济增长1、自然资源与土地：一种基本情形：j|.1丫(t)二 K(t)-R(t) T(t) A(t)L(t)-、； 0, l : 0, 0,：: 1其中，R表示生产中可利用的资源，T表示土地数量同样， K(t) = sY(t) _.K (t), L(t) = nL (t), A(t) = gA(t)。由于土地数量是固定的，则 、 *T (t) =0，资源禀固定及在生产中被利用，资源使用必定会最终下降，则R(t) - -bR(t),b . 0。由于在生产函数中资源与土地的出现意味着K / AL不会收敛于某一值。考虑到资本运动方程：K(t)二sY (t) _ K (t)，意味着K的增长率为：0卫=s_.，为使K的增长率不变，丫 / K必定不变，那么，Y与K的增长率必K(t) K(t)定相等。对 Y(t) =K (t)R(t) (t) A(t)L(t)1 -ct上式表明，平衡增长路径上每个工人平均收入的增长率或者为正，或者为负。即资源与 土地的限制会引起每工人平均产出最终下降。一种解释性计算：将原假设T (t) =0与R(t) =-bR(t)由假设T(t)= nT(t)与R(t)= nR(t)替代，这种假设 经济中，不存在资源与土地的限制一一二者均同人口同增长。那么，使用前面推导方法可得出：bgp(1- - )ggi/L -a源于资源与土地限制的(增长阻力)等于这种假设情形中的增长与资源和土地限制情形中的增长之间的差额： if-两边取对数，得到：In Y(t) - I n K (t) In R(t) In T(t) (1 -)ln A(t) - In L (t)给上式两边求时间的导数，得到：9y二:-gK(t)gR(t) g (1 )gA(t)- gL(t)=gY(t)=gK b (1 -)( n - g)如果经济处在一个平衡路径上，gnt)与g K(t)一定相等，代入上式得：bgp (1)( n g )bg Y (t)1 -0(在平衡增长路径上每个工人平均产出增长率为：bgpbgpbgpg y/l 二 gY -gL(1 -:-)(n g ) -n1(1 . ) g _ - b - (“ ) nbgpbgpDrag 丸丫儿-g y/l_ g -：- - -岁-一 -)g - 1b 一()n1 -a1-a1b ( 1 )n1 -ab ）、人口因此，增长阻力随资源份额（B ）、土地份额（Y）、正在下降的资源利用率（ 增长率（n）与资本份额（：）而递增。12 (n g 、J k f (k )f (k ) (n +g +6) sf (k )_ (n g 、J kf (k )f (k ) (n 十g +6)-(n+g +6)k f (k ) / f (k )*I*=k f (k )f (k*)(1 k* f(k*)/ f (k*)由于k f (k )/ f (k )是在k二k处的产出关于资本的弹性。用K(k )表示这个弹性，即可获得：s ；:y* _ 亠(k*)y* ；:s1 八)如果市场是竞争性的，并且不存在外部性，资本获得其边际产品，那么，在平衡增长路 径上的每单位有效劳动的资本获得的总产出量是k* f (k*)。因而，如果资本获得其边际产品，平衡增长路径上分配给资本的总收入份额是k* f (k*) / f (k*)或K (k*)。(储蓄率的产出弹性，较小意味着实际投资曲线更弯曲。结果，曲线的向上移动只会把它与持平 投资线的交点向上移出一点；及 k*的变化对y*产生较小的影响)。4、收敛速度k怎样快地趋向k*。我们知道k是由k决定的，因为 k二sf (k) 一(n g ； )k。因此, 可写出k =k；k)。当k趋于k* , k趋于0。在k = k*附近，k；k)的一阶泰勒展开式的近似 值为：#