傅里叶变换的基本性质-傅里叶变换性质

傅里叶变换的基本牲质（一）傅电叶变换建立了时间函数和频谱丙数之间转换关系.4实际信号分析中.统常需要对信号的时域和频域 Z间的对应关系及转换规律令一个淸楚而深入的理解。I人I此令必耍讨论傅里叶变换的基木性质，并说明其 应用.一、线性傅里叶变换是-种线性运算。M（f）f E（M）了2 V戸2少）功（f ）十 bf2（O aFx （丿少）十碍（丿0）（3-55）其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例36利用傅也叶变换的线性性质求臥位阶跃以打FJ频谱西数叫助-/(/) = ) = - + -sgn(/)由式（3-55）得F3 = )=；讥 1 + 1X 2兀抚少)+ x 2 二址应劲 +2222 jaj对称性心）（妙则叫心切（-力）&56）证明【人I为将上式中变昴e换为X.积分结果不变.即2 寸(-()=F dx丄一9再将t用少代之.I：述关系依然成立.即2讥-）=P心）严dxFQ) h 2 磔(一卬)若/是一个偶嗨数，即/（T）= /（）,相应右J（一二/），则式（3-56）成为F（并） 2nf（a）（3-57）町见，傅里叶变换Z间存在着対称关系，即信号波形与信号频诰说数的波形有着用相置换的关系，其幅度Z比为常数2灯。式中的一少农示频谱函数朋标轴必须止负对调。例如：/W =占（0歹（丿）=1 只3 = 1 2疥（助=加罠劲例3-7若仁卩；/（的傅里叶变换为片（丿少）二2切 |e2?| Z2试求/ o解 将应（丿少）中的少换成t.并考电刀（丿劝为少的实函数.冇F3 二 F =2别0|i| r/2该信号的傅里叶变换由式（3-54）uf知为根据对称性(TJT再将/（一少中的.-.,w/w=aM/为抽样函数，其波形和频谱如图920所示。三. 折叠性r：-/（/）J尸(-= Y 型-F(Joj)（3-58）四、尺度变换性/W刀0少）/）丄F0-）（3为大于零的实常数）（3-59）则Q a令X二加.则dx = adt t代入前式.可得亦畑1）严哼弓歼）证毕F （J ）除数了（加）衣示/沿时间轴斥缩（或时间尺度扩展）a倍，而a则衣示 %少）沿频率轴扩展（或频率尺度压缩）a倍。该件质反映了信号的持续时间与戏占冇频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等丁占冇频带的展 宽倍数.反之亦然./ =例 M|/| r/44,求频谱函数叫叭E解叽讨论了恥彳。|f| r/2#卜2的频谱函敌，n根摇尺度变换竹佇汴；/比 ）的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，冈此英频i普函数叫斫轨畸）=滋（护ooO两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。碎)E-r/20r/2aIwIKr/2五、时移性Y-几心刀（皿f(t g) V F(j 产叭(3-60)则此性质町根据傅也叶变换定义不难得到证明。它衣明林任时域/平移时间,则其频惜函数的振幅并不改变，但其相位却将改变曲。/ =例S9求E 0 Z tf tv的频谱函数F(j叭解根据询|佃所讨论的矩形脉冲信号和傅电叶变换的时移沐仃F（j= E妙耸河再“六、频移性几）（购fgS 宀 7；( + o)(3-61)IJ证明rf/C），曲卜匸几）严2“妇匸/妙*%咕心儿干曲证毕频移性说明川”；/乘以曲,加门的;所分斛的毎寸F数分M;乘以/曲，这就使频谱 中的毎条谱线祁必须移.亦即拾个频诺相应地掘移了 5位代.频诺搬移技术川通信系统得到了广泛 2用.谥如iO、同步解调、变频1；过用都足在频谱搬移的基础上完成的。频谱掘移实现原理是将伫 乘以所谓载频信号匕：如或彳山吋即/（f）皿则右冋（少+嗣+殆（少一气）/ (f) sin 少也 O尸丿（少+5）._尸丿（少_5）七、时域微分性柞）刀0少）讐3Z2）则证明,因为几）F0如2究两边对t求导数W）_ 得处f* jQJtF(JtD)eTdnj2tt J若几）o）虫?卑0（购）于（购） 证毕 同理，可推出 必例30求几）=（的频谱曲数刀（丿少）.解：I人i为旳1由时域微分性叫斫。呼例3-11图3-22所示信号/（）为三角形旳数/W = A（i）= -70求It频谱函数刀（丿少）.解：将/（）微分两次心，得到圏322（c）”i小函数，英展达比为1 ?1TTT/ W）=（2 貞） = I 琢 一 2 + 严）=-cos 曲一1山微分性厂旷r sin / 2) (bi所以T（JG3）iba ()2傅里叶变换的基本性质（二）八. 频域微分性则day广/（）（丿严丫妙（3-63）為證例3d2求/C）=2（Z）的频诰曲数尸（临。U （?） 兀爲劲+ 解：I月为丿少tUt） j - 更曳少）+ - =严/ （少）-厶-根据频域微分性加L丿九、时域积分性/ /（/）F(jd)+曲（0）扌3）（3-64）若几）o）若几）o）例A3根据处）1和积分件求/）= S）的频诜函数。根据时域枳分性解：I人1为死W（）丄+兀蓟少）若几）o）若几）o）例3-14求图3 23所示信号/的频谱因数月（丿少）解/（Q对上求两次微分后.得/*(/)= - + r/2)-r/2)/ 0舄如2 _匕沖以? siH(竺)rvt 2由时域积分性jF严、：2“ cur、几 /、2., ajz .d?r 、/C0 = L/ (xx -(T)+ -xO)=_sln(T)= ()丿少2f (z) = f f (x)dx b sin(巴L + 於班0)占(q)=丸罠qj) +&(孚)Jj a* 2c(a)1/r1-r/2 0 Til y(b)S3 -23十、频域积分性音/（/） S左（丿少）丄加（0）犯）+ 1j）丄FQdx（3-65）Jt7例15已知t ,求F（阿。解：因为sin) = 2力-e-)o 3(qj_ 1) 一 古3+1)=丿胚5(田 +1) 占(少一 1) 2j2)根据频域枳分性竺3 丄匸皿占0 +1） 序0 -1）皿=规“田+1） 5少一 1）十一、时域卷积定理若/1 (f) 0坷0少)/10 % 0少)/1（） * / 0）戸1 0劲戸2 0（3-66）则证明：u*/2）=r=r ）皿 b=丿一 I一gIJI 丿一可看做为两个如图3-24（b）所示门函数9）卷枳。试利用时域卷枳定理求其频谱幣数刀（丿少）。神r(a)(b)sin（G卫） （DT又 gg对所以3皿焙1A_例17 个信号了的希们特变换/）是/和曲的卷枳.即A 1 1/（/） = /W*-=-f7drr 儿 9gn（z）解：冈为丿少 今 2席$奥（一劲 =一2址sgn（少） 则对称性应 G-J sgn（少）山时域卷枳定理八/W = /W* f -j 嘶时伽）33-22傅里叶变换的基本性质（三）十二、频域卷积定理/i 巧（皿） A Q）码0齐（。加）7丄用（何咧帥） （3-67）例38利用频域卷枳定理求/W=W的傅里叶变换巩阿.解：因为占（f）今丿少山对祢性虚2加$ * （-血）=一2加5 *0）jjrS (少)+t5?(9时域枳分f /0）必尸）+曲（加（少）10.频域积分g旳十咲）t2-I叫如11.时域卷积巩0少迅（丿少）12.频域卷枳2咒13.帕塞瓦尔定理周期信号的傅里叶蛮换周期信匕虽然不满足绝对可枳的条件.但氏傅里叶变换是心在的。山丁周期伏汀;频谱是离散的，所以 它的螺甲.叶变换必然也是离散的.而II是由一系列冲激信号纽成.卜而先讨论儿种常见的周期信号的傅世 叶变换然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换.一. 复指数信号的傅里叶变换对复指数信号-00 1 00（3-76）因为2/5.山频移性复指数信号是表示一个单位长度的柿嵐以网定的角频率30随时间旋转.经傅电叶变换后.英频谱为 集中丁5,強度为2兀的冲激。这说明信弓时间特性的相移对应丁频域中的频率转移.二、余弦、正弦信号的傅里叶变换对丁余弦信巧= COS 砒=2-00 00梵频谱函数劲=丄【2加戌少一叫）+2席次少+列）2二応頃也一）+贡少+ %）仙）-25-25曲_送-z-oo t = 42?- %) - 2瞰+%)6-78)2J二丿或少+电）一&少一）它们的波形及其频谱如图3-25所示.-25-25A血爲（丿（咏（一兀）-25-25单位冲激序列的傅里叶变换 若信号/（为小位冲激徑列.即-25（3-79）(3-80)则其博里叶开式为对X进行傅甲叶变换并利用线性和频移性得(3-81) 09F（JcD）=工 2席凤eU-？3门）=门另 3（少一 G）T 足.TOYD可见时域周期为T的爪位冲激序列，其傅也叶变换也是周期冲激序列.而频域周期为G.冲激强 戌川；均为 d 周期单位冲激序列波形、傅里叶系数吒与頻诺两数川丿少）如图326所示.S 3-26(D-2Q-Q0 Q 2C3)三. 一般周期信号的傅里叶变换对-般周期为T的周期信号/（力其指数塑傅里叶级数展开式为/w=ZC 式中=FM = - p Z 严 di 丫*丁 J-iya 八9对上式两边取傅里叶变换.并利用其线性和频移性且考虑到4与时间f无关.可得Fg=工殆 2広次少G） = 2% 另玛（3-82）式082）衣明.一般周期信号的傅里叶变换（频谱函数）是山无穷多个冲激函数纽成.这些冲激甫数位 r信号的各谐波频率G（二士1，2,）处，其强度为相应傅里叶级数系数兔的2x倍。可见，周期的频谱是离散的。但山傅里叶变换是反映頻谱密度的槪念，冈此周期信弓/（的 傅退叶变换尸（丿劲不同T-MHl叶系数丘，它不足仃限值，而足冲激函数.这农明无穷小的频带范川（即 谐频点）取得了无穷人的频诺值。例420图3-27（a）表示 周期为尸，脉冲宽度为丁，幅度为1的周期性矩形脉冲制；记为耳（ 试求芷频谱函数。-T -T/1 0 1/2 T3八解 山式026）可知.图327（a）所小周期性矩形脉冲信巧/=Fr（f）的傅里叶系数为F(j8)= # =学 占(少-加)=z2f.ro数所爼成.1“ m =处的强度为2sin(图027(b)给出了丁= 2丁情况下的频谱国(3-83)式中 T 可见，周期矩形脉冲信兮与()的傅里叶变换山位t.=0zO+2Q,处的冲激函周期信号的频谱一、周期信号的频谱一个周期信；/，只耍满足狄也赫利条件.则可分解为一系列谐波分蛍之和.H各次谐波分丘可 以是正弦函数或余弦函数，也可以足指数函数.不同的周期信号英展开式组成悄况也不尽相同。在实际 丁作中，为了表征不同信号的谐波组成惜况.时常倆出周期信号次谐波的分布图形，这种图形称为信号 的频诰，它是信号频域表示的一种方式。描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频诜，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频 诰。根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式乂分为单边频谱和双边频谱。1 m边频谱廿周期信勺/(的傅里叶级数展开式为式(3J5),即f刃2 0.329Z3 w 0.15i- = 09A5 0.0994 0.106 .单边撮福频谱如图35所示。0.45:0.32 则打“G所描述的振幅频i普以及丘的相位MCtan尺=此ijnCl所描述的郴位频谱称为双边频-r/20r/20.25n学。呼;3 Q2Q3Q4Q5Q6Q7 Q阳3-52 XX边频谱若周期制；/的傅也叶级数展开式为式（3J7）.即几）=茹严幵.ro(3 - 25)in-傍34怖出图34所小妙形周期信巧$ 的以边频谱图形。解111X(3-18)和图34可知兔冷j:;处叫1 2sin(”x/4) x4nrr24 理1 = 0.225 F2 = 0.159 屉=0 075 t 90.25 t；n,225 鼻 0.159:o OQ5.:字004二-I2_-_-50 3Q -Q 0 G 30 5Q co二 0 F劭=-0.045= 0.053 故呵迅沁罠的双边频谱图如图36所示.A arctai迟-5Q 3Q G 0 G 3Q 5Q从上例频谱图上可以看出单边振幅频诺是拆4 = 2氏与疋负力值的关系应注意所以将炊边掠辎荻谱与正川值的关系双边振幅頻谱是指|1彳绕纵轴将负严边対折到边.并将振幅相加.便得到单边振幅4频谱.X丘为实数.1|/备谐波分童的朴或TT用形比较简单时，也可将振幅频i带和相位频谱介金 幅图中。比如.例34中的频谱町用尺I严关系图形反映，如图37所示。-0-再：丨：:14G3Q0 03周期信号频谱的特点图7反映了周期知形伫:；/频谱的一叫性质，实际上它也是所冇周期信弓频谱的泮遍性质，这 就是：(1) 离散性.措倾谱山频率戲散而不谨续的谱线纽成.这种烦谱称为曲散频谱哎线谱.Q =(2) 谐波件指乞次谐波分虽的频率都是基波频率T的整数倍.而|.郴邻谐波的频率间隔是均匀的.即谱线隹频率轴上的位世是Q的整数倍。(3) 收敛性。指谱线幅度随TO而衰减到零 |人此这种频谱具何收敛性或衰懑性.二、周期信号的有效频谱宽度在周期信昂的频诺分析中周期矩形脉冲信号的频诺J1冇典烈的总义，得到广泛的应用下而以图3-8 所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度Z间的图3-8关系。-T -r/20r/2 TS 3-2图3-8所示仞；/的脉冲宽度为乂 ,脉冲幅度为S. jeumj期为T,巫复角频率为GT ;2；将了展丿I为式(3仃)傅里叶级数.则lllA(3-18)nff!/(3-26)在这里几为实数。为此一般把报福频谱和相位频谱合画在-仙图中.W 3-9所示。图3 9由此图可以看出Q二竺(1)周期矩形脉冲信号的频谱是离散的，为谱线间隔为 T .(2)直流分锻、基波及各次谐波分虽的大小疋比于脉幅占和脉宽J 反比于周期八其变化受包络sin x线x 的牵制(3)当时，诰线的包络线过零点因此T称为零分嵌频率.(4) 周期竝形脉冲信号包金无限多条谱线它可分解为无限篡个频率分址但其匸耍能城集中在第0丝个零分呈频率Z内。冈此通常把7这段频率范IM称为矩形倍巧的仃效频谱宽度或缶巧的山仃频带.记作（3-27）显然.有效頻谱宽度只与脉冲宽度有关,而且成反比关系：仃效频谱宽度是研究信号与系统频 率特性的巫要内容要使信匕通过线性系统不火JX就要求系统木巾所JI仃的频率特性必须与信号的频宽 相适应对T 傲周期信号，同样也可得到离散频谱,也存在零分尼頻率和信号的占有频带。三. 周期信号频谱与周期丁的关系卜M仍以图38所示的周期拒形信号为例进行分析。肉为所以在脉冲宽度厂保持不变的悄况下,若增大周期丁,则可以看tfhQ =离散谱线的仙隔T将变小，即谱线变密。(2) 并谱线的蚓度将变小.包络线变化缓慢.即振幅收敛速度变慢。(3) 由F*不变,故零分最频率位置不变，信号有效频谱宽度亦不变。图310给出了脉冲宽度丁相同而周期f不同的周期矩形脉冲信号的频谱。山图可见，这时频谱包络 线的零点所在位代不变，而半周期T増大时，频i普线变密，即在信弓占冇频带内谐波分吊増多，同时振幅 减小.半周期无限增人时.变为非周期仁相邻谱线旬隔趋近零。相应撮幅总无 仁 从 而周期信号的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱.这将4：卜一节中讨论T = 4r-2jr/r ;-i1j 3G 20 - Q 00 2G 3Q? 2/rw样）E Er!T * ! 00 fl图3ID如果保持周期矩形信号的周期T不变,而改变脉冲宽度生则可知此时谱线间隔不变.若减小J2只(23 =则信巧频谱中的第，个零分呈频率丁 增人.即倍号的频谱宽度増人同时出现零分虽频率的次数减小，相邻两个零分嵐频率间所含的谐波分試增大。并II各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢.若卩增大，则反Z。四、周期信号的功率谱周期信巧/的平均功率可定义为在1电阳上消兀的平均功率.即(3-28)周期信； f 的平均功率可以用式(328)在时域进行计览也可以心频域进ffil W若/的指数 型傅里叶级数展开式为/=乞丘严Jtf.CD则将此式代入式(3-28),并利用尺的仃关性质，可得丄M该式称为帕塞任尔(Parseval)宦理。它农明周期信号的半均功率完全可以在频域用凡加以确定。实际 上它反映周期信金时域的平均功率等频域中的“流功率分：iifH族次谐波半均功率分it之和。国I 0 C的关系称为周期信号的功率频谱.简称为功率i乩 显然.周期Q；的功率谱也足离敬谱120.例口 试求图38所小周期如形脉冲信号/C)/仃汶频谱宽度内.介：训!1仃的忖：E = ,T = rT = 个信号平均功率的百分比。设4解肉为1 sin( /5)11作出频谱和功率谱图.如图311所示个零分为所以在信号频诺宽度内.包禽一个克流分戢和四个谐波分吊:。1/50二 4附 丁 ：1 32介16朮01632加右327T-167T o 16兀32加 j011图 3-111/T/2 佯P-子 2（。处二 0.2 琢周期信弓的平均功率为T在冇效频谱宽度内（H巧的平均功率为耳=1对+2|对+|对+吋+囲211+（）+对（）=0.1806 炉1_ 0.1806P 0.2从上式町以看出，在所给出的周期矩形脉冲怙况包介在仃效频谱宽度内的信匕均功率约占整个信号平均功率的90%非周期信号的频谱一. 非周期信号的频谱函数/W=寸严（3-50） 对丁周期信号/（己知它可表示为i(3-31)式中（3-32）将式（3-31） A写为*!（；. J / 的周期尸矩丁无限人时，山I：廿讨论町知谱线何隔趙J小，谱銭密集成为连续频离散变戢变为连续变戢.即此时记巩丿）= Inn RZ=/（）厂琢必（3-33）I*Tg一9用（丿少）称为频谱密度曲数，简称频诰的数，其意义为单位频率上的谐波幅度。尸（丿少）为少的复函数, 可写作呛少）十）严其中I用（丿少）丨代衣非周期信号中各频率分加幅值的相对人小，辐角珑0）则代衣相应各频率分爪的 相位.Ill JH 伽)二 limTTtp Glim 7? = lim y*Tc&j*T9F(jgN所以式(3-30)在于To时为/ =F(J叭叫也二 J_FQ畤叫a(3-34)Lg 2兀2网儿9个分就的复数该式农明.一个井周期信号可以看做足无限多个幅度无限小的父指数谐波之和.而苴中毎振幅为 2冗*二. 傅里叶变换式(333)和式(334)豎一对很取要的变换式.现眾写如下:F(Jai)eddp(3-35)前者是由信号的时间函数变换成频那函数.称为傅里叶正变换式.有时记为川九)2 F伽)或/)TF伽)麻音是山信匕的频率函数变换为时间函数.称为傅叽叶反变换式.冇时记为如果上述变换中的n变迪不用角频率少而用频率/.则山2对可写为32匸心叫2/w=w/2J频谱密度怖数F（临込 复变幣数.可以写为F(J功=|尸0少)|昇3 = &a?) +樓(少)式中I少）I和日（少）分别为刀（丿劲的模和相位，人（和X（0分别为刀“少）的实部和虛部.傅也叶反变换式也町写成/（/） = e F0诙川才心=丄憾（丿0）*曲3咕0 =2兀2龙血|%/劲|述血+炯闷+丿右圜代/啡尬血+畑血二上） +広（ 3-；町见-个卄周期（，；/（也町以分解成许多不同频率的止、余弦分址，也町以分解为/的父变函数若/是实函数,则I用（丿砂I和珑皿）分别是3的偶函数和奇函数，并且cos at + &(tu)Rtu（3-38）三、傅里叶变换的存在条件前面根据周期信号的傅里叶级数导出了傅里叶变換。而从理论上讲,傅里叶变换也应满足一定条件才 能g傅里叶变换“在的必耍和充分条件的证明需耍较多的数学基础理论，在此仅对其充分条件加以讨 论。如果制；/（满足绝対可积条件.即r 1/(2) 1 00(3-39)-0L 0(3-42)代入式（333）得fs=r 产旷期泓=!2CE+ JOJ（3-43）110 少）| = / 22（型=一 arctan 幅度赖谱为a +少，相位频谱为a e uf见幅度频谱和柑位频谱曲数分别是频率田的偶函数和奇西数。单边指数信号X波形.幅度诺冋（丿少）1和郴位谦&如图3/2所示.田3122偶双边指数倍弓缨边指数信；& )的表达式为-co 2 0(3-44)JI：频说曲数为玛(g)=卜专九+宀h =2oa2 +a?(3-45)屁(2)卜故幅度频诰2aJo? + 少2相位频谱仇二。 (f)波形和幅度频谱岡咧如图3奇双边指数信号对奇双边指数信号处)=3L 0a 0(3-46)其频诰函数(jcd) = -f4-pee3 = -j2(3-47)JJOOS + CDI禺0劲卜 故$3) = 広/2/2其波形和幅度频谱如图3-14所示。图3454符弓函数信匕符号怖数或正负号怖数以记，其表示式为+1 / 0z（Q 二哪（巧二 S 1.门48）1 i U显然.这种信号不满足绝对可积条件.但它却存在傅里叶变换。对奇双边指数信号处）=I 0CE 0当” TO时,有忸）聘，故符弓函数的频谱函数（3-49）2aa2冋（2）1帀一禎2其波形和福度频谱如图3-15所示。5爪位克流信号对丁单位山流信T；JL衣达式为/j(r) = 1 -co Ufir-U此（g） =lim 码 0 少）二応 r_ 故G十少2ck2 +/显然.这农明乌。少）为一个冲激强度为2出现在力=0的冲激曲数即= 2 広董劲（3-51）其波形和频谱如图3-16所示。对丁也位阶跃他6（）=（）.可利川求其傅里叶变换即扎QX U抽二曲人二灵尹U1. r al = lim :费TO a + jgj “to 0# + 少a -0ar 0九（丿少）=lim 片（Jq） = lim 少一0匚:故lim 5二历蓟少）利用心a +心有F6 （jo?）=兀罠方）+ （3-52）其波形和频谱如图317所示。阳316图3177单位冲激信号扌（单位冲激信号的时域表示式为Fq 0 CD)= F3(ty)= 1(3-53)其傅里叶变换式为可见丫1位冲激信号的频谱函数是帘数仁它均匀分布丁型个频率范I讥其波形和频谱如图3-18所示.八馬(间I1S3 128矩形脉冲信号山)九(f)=的表达式为 vf2sin()耳 0劲=Eedt = Et其频谱函数(3-54)S垮) 0 吋。-r/20r/2木I瓦0切）|其波形和频谱如图A9所示.可以看出,矩形脉冲信号在时域中处于有限范他内,而其频谱却以g）0丄2 规律变化.分布于无限宽的频率范国内.但英卞要能吊处丁营范帕.所以.通常认为这种常；的占冇频带为眄=2小 或表二2列出了站用信号的傅世 叶变换表32常用信号的傅里叶变换时间函数/（傅立叶变换少）单边指数信号几)之 F(f) a01/(qj + Jg?)偶双边指数信号/（2）= W 02dz/(a2 +/)询双边指数信巧一戶 L 0 严 i 0- 0SSQ(O=1-1 Y2 ja直流仃号/(/) = E -co z 0单位阶跃信号1 1 0rrtS(cb) +-单位冲激信号奂）=8上=08（e）dt = 1e lil r/2矩形脉冲信号1rl话心（边/2）三角脉冲信号1 - tfj k| !山式(3-10),得222 rr/2 b=- /sinG-14)” T Lm 八2 rT,2G上T代(313)称为周期X；/的旳側、艸叶级数展开式。从数学上讲，当周期信兮/满足伙叽赫利条 件时才可展开为傅里叶级数.但在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号般都能满足这个条件,故 以后-般不再特别注明此条件.若将式(313)中同频率项加以合并,还可写成另一种形式,即f = 4 +YH COSgt +何)(3-15)x 4比较式(13)和式(3-15),可看出傅里叶级数中族虽Z何仃如卜关系：-arctan nB 22式(3邛5)称为周期信巧了的余眩熨傅里叶级数展开式。式(13)和式(3J5)表明，任何周期信号，只耍满足狄里赫利条件.都可以分解为许多频率成整数倍 关系的正(余)技信号的线性组合。在式(3-13)中，如2是宜淤成分；sinCtt称为基波分C二2児気T为基波频率3八处込皿称次谐波分显宜流分戢的大小基波分戢和各次谐波的振幅、相位収决周期信兮/的波形。从式(3J4)和式(3J6)町知，外分M的振幅盒，5,4和相位條都是G的用数并冇:4厲是沁的偶函数.r卩=例02图33所示锯齿波.求其二角空傅里叶级数展开式.皿)图？3解 山图33可知该信号/(0在一个周期区间(TTJT)内.冇周期T = 2j T由式(3-14),得一路 1 5 f =切化=00? = 02)F耳=芸八丹式中4由式(3/0)可求得为(3-18)Qidt = C0SM5T = (1)如一故吻泪;/的:角空傅甲叶级数展开式为/(/) = 2(sin d-sin 2Qi +*sin 3C + )二、指数形式因为父指数函数集2曲二0，1，竝，)在区间&，阳+了)内也足一个完务的正交函数如t=L其中 C，因此 根据泄理3舁对丁任总周期为丁的f：；/,可在区间(5，阳+。内衣示为r 的线性组合.即(3-17)式(47)称为周期信巧/(。的指数也傅里叶级数展开心 山几通常为复数，所以式(3-17)乂称为 复系数傅里叶级数展开式。同个周期信巧/既可以展开成式(3-13)所示的三如型傅里叶级数式，也可以展成式(3-17)所示 的指数型傅里叶级数式.所以者Z何必仃确定的关系。cos =因为2sin nCll =2j/w =代入式(3-13),得a0=+(J8 cosC1Z +6足 sin nCli)2.i所以=+滂严孑弧-儿）二半产“12彳2（3-19）+A）=寸“兀=-1，一 2,在周期信号展开式（3/7）中./表示成境频率为0，2,3宀的指数函数之和。虽然山 丁引用一而出现了角频率-沁,但这并不表示实际上存在负频率，而只足将第n项谐波分磧耳成了两 个指数项而出现的一种数学形式事实匕以Q和厂附必然成对出现IL都扼荡在用。卜.，它们的和 给出了 个振荡频率为刃的时间实函数，即亠Q +如評=兔COS（Q +呂）2 2三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系耍把C知周期信号展开为傅里叶级数，如果为实函数，1L它的波形满足某种刘称性则 在其稣里叶级数中何些项将不出现，留卜的各项系数的表示式也变得比较简单。周期信号的対称关系上耍 仃两种：种是整个周期相对丁纵坐标轴的对称关系.这取决丁周期信巧是偶函数还是奇函数，也就足展 开式中是否倉冇正弦项或余弦项：另-种是滋个周期询麻的对称关系.这将决定傅叽叶级数展开式中足否 含有偶次项或奇次项。下面简单说明函数的对称性与傅里叶系数的关系。1偶函数若周期信y/波形相对r纵轴是対称的，即满足则/（是偶旳数，其傅里叶级数展开式中只:门1.流分駅和余弦分最，即2奇函数人周期信巧/（波形相对J纵帮标是反对称的.即汕gs （3-21）此时/称为奇函数.比傅甲叶级数展开式中只含仃正恢项.即4严2乞=L /(i) sin nQtdt3 = 0丄2,)3奇谐函数人周期信巧丁 波形沿时间轴半移半个周期丿门川!波形柑对r时何轴像对称 u卩満足/0 = -/(ri)(3-22)则/（Z）称为奇谐函数或半波对称函数。这类函数的傅里叶级数展开式中只會仃止弦和余戎项的奇次潜我分虽.4偶谐函数人周期信巧波形沿时间轴平移半个周期丿门刖卫I即满足几）5 士韦）（3-23）则为偶谐函数或半周期璽叠函数其傅里叶级数展丿I式屮只:M ill弦和余弦波的傅rft.熟悉并掌握J周期信号的奇.偶和奇谐、偶谐等性质垢対一些波形所包金的谐波分戢常可以作出 迅速判断，并便傅里叶级数系数的计算得到一定简化。表A给出了周期信号波形的各种对称情况.性质.以及对应的傅里叶系数an和bn的计算公式。表3-1周期信号的对称性与傅里叶系数的关系惭数/性质dg # 0) H 0)偶函数只冇直流 分呆和余2心2討。/cos(QO0几）=心）弦项奇函数只冇正弦项004 fri 亍 I奇谐函数只有奇次 谐波分虽04？討0 /cos心）庆汀,*）沁沁）盘T/一门士壬S为奇数）（为奇数）偶谐函数只有偶次 谐波分虽亍丄/cos（位妙4 fri亍耳hQMAO = /a)（为偶数）S为偶数）四.傅里叶级数的性质科.rr，则丿问的傅甲叶级数展开式八仃以下忡质（证明略）:kU 代-心 20f Q)=勃明严0 O(4f(t)cosCi=XN0X-D4/用完备正交函数集表示信号一、正交矢虽在平而空间中,两个矢虽正交是指两个矢量相互垂直。如图3-1 (a)所示的A】和血足正交的,它们Z间的锐夹角为90。眾然，平面空间两个矢呈止交的条件是Aj *32 = 0(3-1)这样.可将一个平血中任总矢虽A.在吒角朋标系中分觥为两个正交矢就的集合A = C1Al 十 Q&图3 - 1其中A】，A2t A3相互正交。在三维空间中个完务的正交矢虽集.而二维正交矢 虽集则在此悄况卜鬼不完备的。依次类推，在维空间中，只冇个正交矢JfAi. A2. A3.矗九构成的正交矢环傑3上2，启3,AJ才是完备的，也就是说.在维空间中的任一欠虽A,必须用维止交矢虽集 （A1A2,A3,-表示，即A = C % + C? 2 + C2 Ag +-D + CnA虽然n维矢戢空间并不存在于客观世界,但是这种概念有许多应用.例如,个独立变戢的一个线 性方程，可看做维坐标系中n个分虽纽成的矢氐二、正交函数与正交函数集正交矢虽分解的概念.可推广应用丁信号分析，信号常以时间函数来表示，故信号的分解，也就足时 间惰数的分解.仿照矢戢正交概念，也可定义函数的正交。设和去是定义在山2）区何上的两个实变函数（信号）.卄在（耳）区间上仃廿纵处=0（3-5）则称久和在（上）内正交若久（丄）易（。,.,（。定义在区间（必2）上，并且在（上“）,内有B rH -j fnus-则W）vy）在山）内称为正交函数集，其中zh,2,.s先为一正数。如果ns则称W）4，（）为归一化n-交怖数集.对M区何内的复变怖数集厲（丿山） 若満足H =r nuE/1 IL-口8-(3则称此奴变函数集为正交复变函数集.英中力（为力的共犯复变函数.三、完备的正交函数集如果在正交函数集&（%（ ，（）之外.找不到另外一个非零两数与该函数集（）中 毎一个函数都正交.则称该函数集为完备正交函数集。否则为不完备正交函数集.对J：完备止交函数集，仃两个巫耍圧理。定理a 设&，並（，人在（ss）区间内是某-类信号（函数）的完备疋交函数集，则这一类信号中的任何一个信号仗）都町以粘确地农示为i，並（，人的线性组合。即f（t） =+af2 + + qx （3-9）式中.为加权系数,且有(3-10)式(3-9)常称正交展开式，仃时也称为欧拉傅里叶公式或广义傅里叶级数，G称为傅里叶级数系数。定理32在式(3-9)条件下.冇fjr陆二百(3-11)A(3-11)nr以理解为：的能,1；刍个分虽的陡MZ和，即反映能虽抽仁怎理32也称为帕塞瓦尔定理.例M(2知余弦函数集cos/,cos2/,.,cosn/(/7为整数)证明该函数集在区间(0,2n)内为止交函数集：(2) 该怖数集在区间(O2tt)内是完条iE交幣数集吗？(3) 该函数集住区问(0.2 )内琏疋交函数策吗？解：(1)冈为当丙时检曲讥。$曲丄兰匕+迥二=0JLJ2 I +rI -r orr11当时Jjcos j/cosr/Z = / + sin 2it -可见该函数集任区何(0. 2tt)内满足式(36),故它在区间(0. 2TT)内足-个正交函数集。(2)因为对非零函数sin*仃即sint在区间(0. 2tt)内与cos/7tiE交故因数集cosnt在区间(0. 2tt)内不是完备正交幡数集。对任总整数此式丿卞不恒轸于零因此,根据正交函数集的定义.该瓯数集cos/#在区间(0,x/2)内不是正交用数集.山上例町以看到，一个函数集是否正交，与它所在区何有关，在某一区间町能止交，而在列一区间乂 可能不正交。另外.在判断函数集正交时.是指函数集中所仃函数应两两正交.不能从-个函数集中的某 个甬数相互正交，就判断该函数集是正交函数集.四常见的完备正交函数集 三角函数集cos班Msin= 0J2)在区间&易+C内.有0( m)cos nQi cos mCiLdt = 7/2?72 (n = fn) r ( = w = 0)0 H 加,=胡=0)Tf2 n = m式中,可见在区间（皿+内，三角函数集os沁以in刃创对丁周期为尸的信测成正交函数 几而Um务的止交函数集完务性在此不讨论）。而函数集fco$G, （sm wCte）也匕|交函数 集，但它们