山东省潍坊市高考数学一模文科试卷含答案解析

2016年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）A1B1C2D22已知集合P=2，3，4，5，6，Q=3，5，7，若M=PQ，则M的子集个数为（）A5B4C3D23在ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若=， =，则=（）A +B +C D 4已知函数f（x）=x2+2，g（x）=log2|x|，则函数F（x）=f（x）g（x）的大致图象为（）ABCD5正方体ABCDA1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）ABCD6已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120的三角形，则双曲线C的离心率为（）ABCD7已知p：函数f（x）=（xa）2在（，1）上是减函数，恒成立，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8设函数y=f（x）（xR）为偶函数，且xR，满足f（x）=f（x+），当x2，3时，f（x）=x，则当x2，0时，f（x）=（）A|x+4|B|2x|C2+|x+1|D3|x+1|9执行如图所示的程序框图，若输出的n=7，则输入的整数K的最大值是（）A18B50C78D30610已知函数F（x）=（）2+（a1）+1a有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1x2x3），则（1）2（1）（1）的值为（）A1aBa1C1D1二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11观察式子，则可归纳出12已知函数f（x）=，若f（a）=3，则a=13已知ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acosB+bcosA=3ccosC，则cosC=14设实数x，y满足不等式组，则z=2xy的最大值为15已知抛物线y2=2px的准线方程为x=1焦点为F，A，B，C为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点B在x轴下方，若，则直线AC的方程为三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.16某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定：ABC三级为合格等级，D为不合格等级百分制85以及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（I）求n和频率分布直方图中的x，y的值；并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（）在选取的样本中，从A、D两个等级的学生中随机抽取了2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率17已知函数f（x）=4sin（x）cosx在x=处取得最值，其中（0，2）（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象若为锐角g（）=，求cos18如图已知等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=AB=CD，M是的CD的中点N是AC与BM的交点，将BCM沿BM向上翻折成BPM，使平面BPM平面ABMD（I）求证：ABPN（）若E为PA的中点求证：EN平面PDM19已知正项数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=a，数列bn满足bnbn+1=3，且b1=1（）求数列an，bn的通项公式；（）记Tn=anb2+an1b4+a1b2n，求Tn20已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30的直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1（I）求椭圆E的方程；（）若动直线l交椭圆E于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），设=（bx1，ay1），=（bx2，ay2），O为坐标原点当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：MON的面积为定值，并求出该定值21函数f（x）=（xa）2（x+b）ex（a，bR）（1）当a=0，b=3时求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时设x1，x2，x3（其中x1x2x3）是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在说明理由2016年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）A1B1C2D2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得a值【解答】解： =是纯虚数，a=2故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2已知集合P=2，3，4，5，6，Q=3，5，7，若M=PQ，则M的子集个数为（）A5B4C3D2【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求出P与Q的交集确定出M，即可求出M子集的个数【解答】解：P=2，3，4，5，6，Q=3，5，7，M=PQ=3，5，则M的子集个数为22=4故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3在ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若=， =，则=（）A +B +C D 【考点】向量的线性运算性质及几何意义【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用【分析】利用平面向量的线性运算的几何意义，使用表示出【解答】解： =AP=AB，BQ=BC， =， =故选：A【点评】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题4已知函数f（x）=x2+2，g（x）=log2|x|，则函数F（x）=f（x）g（x）的大致图象为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】应用题；数形结合；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可判断【解答】解：f（x）=x2+2=f（x），g（x）=log2|x|=g（x），F（x）=f（x）g（x）=f（x）g（x）=F（x），函数F（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，当x+时，f（x），g（x）+，当x+时，F（x），故选：B【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题5正方体ABCDA1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【专题】规律型【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C故选：C【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键比较基础6已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120的三角形，则双曲线C的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，设虚轴的一个端点M（0，b），结合焦点F1、F2的坐标和F1MF2=120，得到c=b，再用平方关系化简得c=a，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率【解答】解：双曲线，可得虚轴的一个端点M（0，b），F1（c，0），F2（c，0），设F1MF2=120，得c=b，平方得c2=3b2=3（c2a2），可得3a2=2c2，即c=a，得离心率e=故选：B【点评】本题给出双曲线两个焦点对虚轴一端的张角为120度，求双曲线的离心率着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题7已知p：函数f（x）=（xa）2在（，1）上是减函数，恒成立，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】对于命题p：利用二次函数的单调性可得：1a，p：a1对于命题q：由于x0，利用基本不等式的性质可得： =x+2，即可得出结论【解答】解：p：函数f（x）=（xa）2在（，1）上是减函数，1a，p：a1q：x0， =x+=2，当且仅当x=1时取等号，a2则p是q的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8设函数y=f（x）（xR）为偶函数，且xR，满足f（x）=f（x+），当x2，3时，f（x）=x，则当x2，0时，f（x）=（）A|x+4|B|2x|C2+|x+1|D3|x+1|【考点】函数奇偶性的性质【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性条件推出函数是周期为2的周期函数根据函数周期性和对称性进行转化求解即可【解答】解：xR，满足f（x）=f（x+），xR，满足f（x+）=f（x+），即f（x）=f（x+2），若x0，1时，则x+22，3，f（x）=f（x+2）=x+2，x0，1，若x1，0，则x0，1，函数y=f（x）（xR）为偶函数，f（x）=x+2=f（x），即f（x）=x+2，x1，0，若x2，1，则x+20，1，则f（x）=f（x+2）=x+2+2=x+4，x2，1，即f（x）=，故选：D【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键9执行如图所示的程序框图，若输出的n=7，则输入的整数K的最大值是（）A18B50C78D306【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的整数K的最大值【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=0S=2，n=2不满足条件SK，S=6，n=3不满足条件SK，S=2，n=4不满足条件SK，S=18，n=5不满足条件SK，S=14，n=6不满足条件SK，S=78，n=7由题意，此时满足条件78K，退出循环，输出n的值为7则输入的整数K的最大值是78故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题目10已知函数F（x）=（）2+（a1）+1a有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1x2x3），则（1）2（1）（1）的值为（）A1aBa1C1D1【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】令y=，从而求导y=以确定函数的单调性及取值范围，再令=t，从而化为t2+（a1）t+1a=0有两个不同的根，从而可得a3或a1，讨论求解即可【解答】解：令y=，则y=，故当x（0，e）时，y0，y=是增函数，当x（e，+）时，y0，y=是减函数；且=，=， =0；令=t，则可化为t2+（a1）t+1a=0，故结合题意可知，t2+（a1）t+1a=0有两个不同的根，故=（a1）24（1a）0，故a3或a1，不妨设方程的两个根分别为t1，t2，若a3，t1+t2=1a4，与t1且t2相矛盾，故不成立；若a1，则方程的两个根t1，t2一正一负；不妨设t10t2，结合y=的性质可得， =t1， =t2， =t2，故（1）2（1）（1）=（1t1）2（1t2）（1t2）=（1（t1+t2）+t1t2）2又t1t2=1a，t1+t2=1a，（1）2（1）（1）=1；故选D【点评】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了分类讨论思想的应用二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11观察式子，则可归纳出（n1）【考点】归纳推理【专题】阅读型【分析】根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是n+1不等号右边的分子是2n+1，1+（n1）故答案为：（n1）【点评】本题考查归纳推理归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）12已知函数f（x）=，若f（a）=3，则a=3【考点】对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】把a分别代入分段函数的两段，求出a的值后满足范围的保留，不满足范围的舍去【解答】解：若a1，令log2（1a）+1=3，解得a=3；若a1，令a2=3，解得（舍去）a=3故答案为3【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了分段函数的函数值的求法，是基础的计算题13已知ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acosB+bcosA=3ccosC，则cosC=【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】利用余弦定理化简已知可得a2+b2c2=，由余弦定理即可求得cosC的值【解答】解：acosB+bcosA=3ccosC，利用余弦定理可得：a+b=3c，整理可得：a2+b2c2=，由余弦定理可得：cosC=故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题14设实数x，y满足不等式组，则z=2xy的最大值为3【考点】简单线性规划【专题】数形结合；转化法；不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点A（0，3）时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大代入目标函数z=2xy，得z=3即z=2xy的最大值为3故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15已知抛物线y2=2px的准线方程为x=1焦点为F，A，B，C为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点B在x轴下方，若，则直线AC的方程为2xy1=0【考点】抛物线的简单性质【专题】方程思想；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的准线方程求出p，设A，B，C的坐标，根据成等差数列，且点B在x轴下方，若，求出x1+x3=2，x2=1，然后求出直线AC的斜率和A，C的中点坐标，进行求解即可【解答】解：抛物线的准线方程是x=1，p=2，即抛物线方程为y2=4x，F（1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），|，|，|成等差数列，|+|=2|，即x1+1+x3+12（x2+1），即x1+x3=2x2，（x11+x21+x31，y1+y2+y3）=0，x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，则x1+x3=2，x2=1，由y22=4x2=4，则y2=2或2（舍），则y1+y3=2，则AC的中点坐标为（，），即（1，1），AC的斜率k=2，则直线AC的方程为y1=2（x1），即2xy1=0，故答案为：2xy1=0【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线AB的斜率和AB的中点坐标是解决本题的关键综合性较强，难度较大三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.16某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定：ABC三级为合格等级，D为不合格等级百分制85以及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（I）求n和频率分布直方图中的x，y的值；并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（）在选取的样本中，从A、D两个等级的学生中随机抽取了2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（）由题意知先求出样本容量n，由此能求出频率分布直方图中的x，y的值，估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率（）由茎叶图知，A等级学生共有3名，D等级学生共有5名，由此能求出至少有一名学生是A等级的概率【解答】解：（）由题意知样本容量n=50，x=0.004，y=0.018，成绩是合格等级人数为：（10.1）50=45，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，依据样本总体的思想，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是（）由茎叶图知，A等级学生共有3名，D等级学生共有0.150=5名，从8名学生中任取2名学生，基本事件总数n=28，至少有一名学生是A等级的对立事件是两名学生都是D等级，至少有一名学生是A等级的概率P=1=【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用17已知函数f（x）=4sin（x）cosx在x=处取得最值，其中（0，2）（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象若为锐角g（）=，求cos【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x），由函数的最值可得，再由周期公式可得；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（x），可得sin（）=，进而可得cos（）=，整体代入cos=cos（）+=cos（）sin（）计算可得【解答】解：（1）化简可得f（x）=4sin（x）cosx=4（sinxsinx）cosx=2sinxcosx2cos2x=sin2xcos2x=2sin（2x），函数f（x）在x=处取得最值，2=k+，解得=2k+，kZ，又（0，2），=，f（x）=2sin（3x），最小正周期T=；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到y=2sin3（x+）=2sin（3x）的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x）的图象为锐角，g（）=2sin（）=，sin（）=，cos（）=，cos=cos（）+=cos（）sin（）=【点评】本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，属中档题18如图已知等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=AB=CD，M是的CD的中点N是AC与BM的交点，将BCM沿BM向上翻折成BPM，使平面BPM平面ABMD（I）求证：ABPN（）若E为PA的中点求证：EN平面PDM【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（1）连结AM，则可证BCM为等边三角形，从而PNBM，由面面垂直得出PN平面ABMD，故而PNAB；（2）连结PC，由中位线定理得ENPC，故而EN平面PDM【解答】证明：（1）连结AM，M是的CD的中点，AB=CD，ABCD，四边形ABCM是平行四边形，四边形ABMD是平行四边形，N是BM的中点，BM=AD，又AD=BC，BCM是等边三角形，即PBM是等边三角形PNBM，平面PBM平面ABMD，平面PBM平面ABMD=BM，PN平面PBM，PN平面ABMD，AB平面ABMD，ABPN（2）连结PC，E是PA的中点，N是AC的中点，ENPC，PC平面PDM，EN平面PDM，EN平面PDM【点评】本题考查了线面垂直的判断与性质，线面平行的判定，面面垂直的性质，属于中档题19已知正项数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=a，数列bn满足bnbn+1=3，且b1=1（）求数列an，bn的通项公式；（）记Tn=anb2+an1b4+a1b2n，求Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（I）正项数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=a，利用递推关系及其等差数列的通项公式即可得出数列bn满足bnbn+1=3，且b1=1可得bnbn+1=3n，b2=3利用递推关系可得：bn+2=3bn可得数列bn的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3即可得出（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（I）正项数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=a，当n2时，Sn+Sn1=，相减可得：an+1+an=a，an+1an=1，数列an是等差数列，首项为1，公差为1an=1+（n1）=n数列bn满足bnbn+1=3，且b1=1bnbn+1=3n，b2=3=3，bn+2=3bn数列bn的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3b2k1=3k1，b2k=3kbn=（kN*）（II）Tn=anb2+an1b4+a1b2n=3n+（n1）32+（n2）33+3n3Tn=32n+（n1）33+23n+3n+1，2Tn=3n32333n3n+1=3n=3n，Tn=【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30的直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1（I）求椭圆E的方程；（）若动直线l交椭圆E于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），设=（bx1，ay1），=（bx2，ay2），O为坐标原点当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：MON的面积为定值，并求出该定值【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（I）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）讨论直线MN的斜率存在和不存在，以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值【解答】解：（I）由题意可得e=，过椭圆的左焦点F（c，0）且倾斜角为30的直线方程为：y=（x+c），由直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a2b2=c2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（）证明：（1）当MN的斜率不存在时，x1=x2，y1=y2，以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得，即有=0，即有b2x1x2+a2y1y2=0，即有x1x2+4y1y2=0，即x124y12=0，又（x1，y1）在椭圆上，x12+4y12=4，可得x12=2，|y1|=，SOMN=|x1|y1y2|=1；（2）当MN的斜率存在，设MN的方程为y=kx+t，代入椭圆方程（1+4k2）x2+8ktx+4t24=0，=64k2t24（1+4k2）（4t24）=4k2t2+10，x1+x2=，x1x2=，又=0，即有x1x2+4y1y2=0，y1=kx1+t，y2=kx2+t，（1+k2）x1x2+4kt（x1+x2）+4t2=0，代入整理，可得2t2=1+4k2，即有|MN|=，又O到直线的距离为d=，SOMN=d|MN|=|t|=|t|=1故MON的面积为定值1【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，考查三角形的面积的求法，注意讨论直线的斜率是否存在，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题21函数f（x）=（xa）2（x+b）ex（a，bR）（1）当a=0，b=3时求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时设x1，x2，x3（其中x1x2x3）是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在说明理由【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】综合题；压轴题；函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）（i）函数g（x）=x2+（b+3）x+2b，结合x=a是f（x）的一个极大值点，我们分析函数g（x）=x2+（b+3）x+2b的两个零点与0的关系，即可确定b的取值范围；（ii）由函数f（x）=（xa）2（x+b）ex，我们易求出f（x）的解析式，由（I）可得x1、a、x2是f（x）的三个极值点，求出x1，x2，分别讨论x1、a、x2是x1，x2，x3，x4的某种排列构造等差数列时其中三项，即可得到结论【解答】解：（1）a=0，b=3时：f（x）=x2（x3）2ex，f（x）=exx（x3）（x2）（+3），令f（x）0，解得：x3或0x2或x3，令f（x）0，解得：3x0或2x3，f（x）在（，3），（0，2），（3，+）递增，在（3，0），（2，3）递减；（2）（i）解：a=0时，f（x）=x2（x+b）ex，f（x）=x2（x+b）ex+x2（x+b）（ex）=exxx2+（b+3）x+2b，令g（x）=x2+（b+3）x+2b，=（b+3）28b=（b1）2+80，设x1x2是g（x）=0的两个根，当x1=0或x2=0时，则x=0不是极值点，不合题意；当x10且x20时，由于x=0是f（x）的极大值点，故x10x2g（0）0，即2b0，b0（ii）解：f（x）=ex（xa）x2+（3a+b）x+2baba，令g（x）=x2+（3a+b）x+2baba，则=（3a+b）24（2baba）=（a+b1）2+80，于是，假设x1，x2是g（x）=0的两个实根，且x1x2由（i）可知，必有x1ax2，且x1、a、x2是f（x）的三个极值点，则x1=，x2=，假设存在b及x4满足题意，当x1，a，x2等差时，即x2a=ax1时，则x4=2x2a或x4=2x1a，于是2a=x1+x2=ab3，即b=a3此时x4=2x2a=ab3+a=a+2或x4=2x1a=ab3a=a2，当x2aax1时，则x2a=2（ax1）或（ax1）=2（x2a）若x2a=2（ax1），则x4=，于是3a=2x1+x2=，即=3（a+b+3）两边平方得（a+b1）2+9（a+b1）+17=0，a+b+30，于是a+b1=此时b=a，此时x4=b3=a+若（ax1）=2（x2a），则x4=，于是3a=2x2+x1=，即=3（a+b+3）两边平方得（a+b1）2+9（a+b1）+17=0，a+b+30，于是a+b1=，此时b=a，此时x4=b3=a+，综上所述，存在b满足题意，当b=a3时，x4=a2，b=a时，x4=a+，b=a时，x4=a+【点评】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识第26页（共26页）