导数公式大全

导 数 的 基 本 公 式 与 运 算 法 则基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式(x ) = x -1 .(ax) = ax lna . (ex) = ex. 0 (c c 为 任 意 常 数 ).ln1)(log axx a .1)(ln xx (sin x) = cos x. (cos x) = - sin x.(tan x) = sec2x . (cot x) = - csc2x .(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x . ,11)(arcsin 2xx -另 外 还 有 反 三 角 函 数 的 导 数 公 式 ：,1 1)(arccos 2xx - ,1 1)(arctan 2xx .1 1)cotarc( 2xx - 定 理 2. 1 设 函 数 u(x)、 v(x) 在 x 处 可 导 ，)0)()( )( xuxu xv在 x 处 也 可 导 ，(u(x) v(x) = u(x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);.)( )()()()()( )( 2xu xvxuxvxuxu xv - 导 数 的 四 则 运 算且则 它 们 的 和 、 差 、 积 与 商 推 论 1 (cu(x) = cu(x) (c 为 常 数 ).推 论 2 .)( )()(1 2 xu xuxu -( ) uvw u vw uv w uvw 乘 法 法 则 的 推 广 ： 补 充 例 题 ： 求 下 列 函 数 的 导 数 ：解 根 据 推 论 1 可 得 (3x4) = 3(x4)，(5cos x) = 5(cos x)， (cos x) = - sin x，(ex) = ex， (1) = 0，故 f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1)= 12x 3 - ex - 5sin x .f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1又 (x4) = 4x3， 例 1 设 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0). 例 2 设 y = xlnx ， 求 y .解 根 据 乘 法 公 式 ， 有y = (xlnx)= x (lnx) (x)lnxxxx ln11 .ln1 x 解 根 据 除 法 公 式 ， 有 22 222 )1( )1()1()1)(1(11 - - x xxxxxxy例 3 设 ,112 - xxy 求 y . 22 22 )1( )1()1()()1()(1( - x xxxx .)1( 12)1( )1(2)1( 22 2222 - - x xxx xxx 教 材 P32 例 2 求 下 列 函 数 的 导 数 ：3(1) cosy x x - 2(2) xy x e2(3) 1 xy x - 3 2(4) 2 3 siny x x x e 解 ： 3 3 2(1) ( cos ) ( ) (cos ) 3 siny x x x x x x - - 2 2 2 2(2) ( ) ( ) ( ) 2 ( 2)x x x x x xy x e x e x e xe x e x xe 2 22 2 2(1 ) (1 )(3) ( )1 (1 )x x x x xy x x- - - - - 2 2 21 ( 2 )(1 )x x xx- - - -222)1( 1 xx- 3 2(4) (2 ) (3 sin ) ( )y x x x e 0)sin(3)(2 3 - xxx)cos(sin36 2 xxxx - 高 阶 导 数如 果 可 以 对 函 数 f(x) 的 导 函 数 f (x) 再 求 导 ，所 得 到 的 一 个 新 函 数 ， 称 为 函 数 y = f(x) 的 二 阶 导 数 ，.dd 22xy记 作 f (x) 或 y 或 如 对 二 阶 导 数 再 求 导 ， 则称 三 阶 导 数 ， .dd 33xy记 作 f (x) 或 四 阶 或 四 阶 以 上 导数 记 为 y(4)， y(5)， ， y(n) ,dd 44xy ,dd nnxy或 ， 而 把 f (x) 称 为 f (x) 的 一 阶 导 数 . 例 3 求 下 列 函 数 的 二 阶 导 数(1) cosy x x (2) arctany x(1) cos ( sin ) cos siny x x x x x x - - xxxxxxxy cossin2)cos(sinsin - 21(2) 1y x 222)1( )1( xxy - 22 )1( 2xx- 解 ：二 阶 以 上 的 导 数 可 利 用 后 面 的 数 学 软 件 来 计 算 2.2.4 复 合 函 数 的 求 导 法 则2.2 ( ) ( )( ( )( ) ( ) dy dy dudx du dxdy f u u xdu u x x y f uu y f u xx x 定 理 若 函 数 在 点 可 导 ， 函 数 在 点 处 可 导 ， 则 复 合 函 数在 点 可 导 ， 且或 记 作 ： 推 论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可 导 ， 则 复 合 函 数 y = f ( (x) 也 可 导 ， .xvux vuyy 以 上 法 则 说 明 ： 复 合 函 数 对 自 变 量 的 导 数 等 于 复 合函 数 对 中 间 变 量 的 导 数 乘 以 中 间 变 量 对 自 变 量 的 导 数 .2 3 tan4.1 (3 1) ; 2) sin( 2); 3) ln cos ; 4) ;5) 2 x xy x y xy x y ey - - 例 求 下 列 函 数 的 导 数 ：） 3 23 2 2 2 22 2 2 2(1) ( ), ( ) 3 1, ( ) 3 ( ) ( ) 3(3 1) (3 1)3(3 1) 6 18 (3 1)y u x u x xy u x u x u x x xx x x x 解 ： 函 数 可 以 分 解 为 (2) 2 cos( 2) ( 2) 1cos( 2) 2cos( 2)2xy x xx xxx- - - - -把 当 作 中 间 变 量 ，(3) cos 1 sin (cos ) tancos cosx xy x xx x - -把 当 作 中 间 变 量 ， tan tan 2 tan(4) tan ( ) (tan ) secx x xxy e e x xe 把 当 作 中 间 变 量 ，(5) (2 ) 2 ln2 ( ) 2 ln2x x xxy x- - - - -把 当 作 中 间 变 量 ， 先 将 要 求 导 的 函 数 分 解 成 基 本 初 等 函 数 ,或常 数 与 基 本 初 等 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 . 任 何 初 等 函 数 的 导 数 都 可 以 按 常 数 和 基 本初 等 函 数 的 求 导 公 式 和 上 述 复 合 函 数 的 求 导法 则 求 出 . 复 合 函 数 求 导 的 关 键 : 正 确 分 解 初 等 函 数的 复 合 结 构 .求 导 方 法 小 结 ： 2 3 2 21 ( 1 ) ; (2) cos3 (3) 3 2 4 lgcos(3 2 )xy x y y x x x - - 练 习 ： 求 下 列 函 数 的 导 数 (课 堂 练 习 )（ ） ； ； （ ）2 2 2 2 2 2 22 2(1) 6 ( 1 )(2) 3 ln 3 sin 32 3(3) 2 3 2cos(3 2 ) sin(3 2 )(4) (3 2 ) 4 tan(3 2 )cos(3 2 ) cos(3 2 )x xy x xy xy x xx xy x x xx x - - - - - - 解 : 例 5： 求 下 列 函 数 的 导 数（ 1） （ 2）（ 3） （ 4）2cos xy 232 - xxeyxy lnlnln )1ln( 2 xxy 2.2.5 隐 函 数 的 导 数 00 ( )y x F x yF x y y y x与 的 关 系 由 方 程 （ ， ） 确 定 ， 未 解 出 因 变 量 的方 程 （ ， ） = 所 确 定 的 函 数 称 为 隐 函 数6 ( ) 1 .y dyy y x y xe dx 例 设 函 数 由 方 程 所 确 定 ， 求 (1) ( ), ( ) (1 ) 1 yy y y yy yy y x y xey e x e e x e yxe y eey xe - -解 ： 上 式 两 边 对 求 导 ， 则 有 即 1 ;2 .x yy y隐 函 数 的 求 导 步 骤 ：（ ） 方 程 两 边 对 求 导 ， 求 导 过 程 中 把 视 为 中 间 变 量 ，得 到 一 个 含 有 的 等 式（ ） 从 所 得 等 式 中 解 出 2 27 ( ) cos( ) .dyy y x y x y x dx - 例 设 函 数 由 方 程 所 确 定 ， 求2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 22 22 2 sin( ) ( )1 sin( ) (2 2 )1 2 sin( ) 2 sin( ) 1 2 sin( ) 1 2 sin( )1 2 sin( ) 1 2 sin( )xx y x y x yy x y x yyy x x y y x y yy x y y x x yx x yy y x y - - 解 ： 方 程 两 边 分 别 对 求 导 ， 得 2( ) 2 .dyy y x xy y x dx 练 习 ： 设 函 数 由 方 程 所 确 定 ， 求2 ( ) ( ) 2 2 2( 2 ) 22 2 xxy yy x y y yx y y yyy x y - 解 ： 两 边 分 别 对 求 导 ， 得 二 元 函 数 的 偏 导 数 的 求 法求 对 自 变 量 (或 )的 偏 导 数 时 ,只 须 将 另 一自 变 量 (或 )看 作 常 数 ,直 接 利 用 一 元 函 数 求 导 公 式 和四 则 运 算 法 则 进 行 计 算 .),( yxfz xy yx例 1 设 函 数 3 2 4( , ) 2 3 ,f x y x x y y - 求 ( , ),xf x y ( , ),yf x y (1,1),xf (1, 1),yf -解 ： xyxyyxxyxf xx 43)32(),( 2423 - 32423 122)32(),( yxyyxxyxf yy - 111413)1,1( 2 -xf 14)1(1212)1,1( 32 -yf 例 2 设 函 数 求),ln()( 2222 yxyxz xz yz解 ： xx yxyxyxyxxz )ln()ln()( 22222222 2 2 2 2 2 22 212 ln( ) ( ) ( )xx x y x y x yx y 2 22 ln( ) 2x x y x 2 22 ln( ) 1x x y 类 似 可 得 222222 2)()ln(2 yx yyxyxyyz 2 22 ln( ) 1y x y 二 元 函 数 的 二 阶 偏 导 数函 数 z = f ( x , y ) 的 两 个 偏 导 数),( yxfxz x ),( yxfyz y一 般 说 来 仍 然 是 x , y 的 函 数 ， 如 果 这 两 个 函 数 关 于 x , y 的 偏 导 数 也 存 在 ， 则 称 它 们 的 偏 导 数 是 f (x , y)的 二 阶 偏 导 数 .依 照 对 变 量 的 不 同 求 导 次 序 ， 二 阶 偏 导 数 有 四个 ： （ 用 符 号 表 示 如 下 ） xzxxz x 22xz ),( yxfxx ;xxz xzyxz y yx z 2 ),( yxfxy ;xyz yzxyz x xy z 2 ),( yxf yx ;yxz yzyyz y 22yz ),( yxf yy .yyz 其 中 及 称 为 二 阶 混 合 偏 导 数 .),( yxfxy ),( yxf yx类 似 的 ， 可 以 定 义 三 阶 、 四 阶 、 、 n 阶 偏 导 数 ，二 阶 及 二 阶 以 上 的 偏 导 数 称 为 高 阶 偏 导 数 ，),( ,),(yxf y yxf x而称 为 函 数 f ( x , y ) 的 一 阶 偏 导 数 .注 ： 当 两 个 二 阶 导 数 连 续 时 ， 它 们 是 相 等 的 即 ),( yxfxy ( , )yxf x y 例 3 arctan ,xy设 z试 求 函 数 的 四 个 二 阶 偏 导 函 数yx z2 xy z22 2zy2 2zx 思 考 题 一 求 曲 线 上 与 轴 平 行的 切 线 方 程 . 32 xxy - x 思 考 题 一 解 答232 xy - 令 0y 032 2 - x321 x 322 -x切 点 为 964,32 - 964,32所 求 切 线 方 程 为 964y 964-y和 若 有 不 当 之 处 ， 请 指 正 ， 谢 谢 ！