在模型化思想下用角度关系处理立体几何问题

在模型化思想下用角度关系处理立体几何问题 余亮高中立体几何的根底是点、线、面位置关系和空间几何体结构.立体几何中外接球、异面直线夹角等问题常常通过将几何体补全成长方体、平行六面体、“三节棍等模型来解决.反之，我们也能从长方体、平行六面体等模型中一局部来得到角的数量等价关系，再通过模型化思想和角的等价关系式来解决立体几何中角的问题.首先给出两个引例.引例1如图l，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，那么有：1cosC1AB=cosC1ACcosCAB;2sinCAC1=sinCiABsinCBC1.证明在RtABC1，RtABC，RtBCC1，RtACC1中，所以cosC1AB=cosC1ACcosCAB，sinC1AC=sinC1ABsinCBC1.不难发现引例中C1AC为C1A与平面ABCD所成线面角，CBC1为二面角C-AB-C1的平面角.引例2如图2，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设二面角B-AA1-D的平面角为，那么有cos证明分别过点B，D向棱AA1作垂线，垂足分别引例l和引例2的三个结论为相关问题的解决提供了模型化的结论，以下例说之.例12021年高考全国III卷理.16a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，6都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有以下结论：当直线AB与a成60角时，AB与6成30。角;当直线AB与a成60角时，AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的选项是_.填写所有正确结论的编号解析平移直线a，b为相交直线，并交于点B，那么构造成长方体一局部如以下图，设AB与a所成角为l，AB与b所成角为2由结论得cosi=cosABCcosCBM，cos2=cosABCcosCBN，评注l空间直线位置关系问题通过补形，将无形化为有形，借助长方体或平行六面体处理直线位置关系极为直观、方便;2结论描述的本质是三余弦定理：平面口的一条斜线/与a所成角为l，a内的直线m与/在a上的射影/夹角为2，/与m所成角为，那么cos=cOslCOS2;3由线面角的定义最小角定理，易得直例22021I略;假设PA=PD=ABDC，APD=90，求二面角A-PB-C的余弦值.解以BA，BP，BC为边构造平行六面体如以下图，不难得到PAB为等腰直角三形，PBC为等边三角形;底面四边形ABCD为矩形，那么PBA=45，PBC=60，ABC=90;设二面角由A-BP-C平面角为，由结论有cos评注l长方体与平行六面体构造方式一样，都是以三边来构造四棱柱;2结论描述的本质是三面角三余弦定理：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所对面角的余弦减去另两个面角的余弦之积，再除以这两个面角的正弦之积.例42021年高考全国II卷理.19如图7，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直90，E是PD的中点.I略;点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M-AB-D的余弦值.解以BM为长方体体对角线，BC为长方体一条棱，CM为长方体一条面对角线，AB为长方体一条棱所在直线构造长方体.过程如下：取AD边上中点O，连接PO，CO;再过点M作PO的平行线MD1交CO于点Dl;再过点D1作BC的平行线交AB于点A1如图8，以D1C，D1M，D1A1构造长方体A1BCD1-M1N1NM如图9由结论不难得到，MA1D1为二面角M-AB-D的平面角.因为BM与底面ABCD所成角为45，那么sin45=sinMA1D1sinMBA1.评注l对于模型化思想，引例不仅仅提供了角与角关系，更提供了得到线面角、二面角的方法.2结论描述的本质是三正弦定理：二面角M-AB-N的度数为a，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为，和平面所成的角为y，那么siny=sinasin.參考文献【1】王强芳.立体几何问题的模型化处理J.中学数学教学参考，200407：17-19