那么称为矩阵的最高阶非零子式

4.3 矩 阵 的 秩 一、子式定义 在 矩阵 中，任取 行与 列 ，位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得到的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式.nm AA k k ),( nkmk 2k kA k例如 111784 2463 3542A 118 26D 是 的一个2阶子式， 的2阶子式共有 个.D AA 18 2423 CC一般地， 矩阵 的 阶子式共有 个.nm A k knkmCC 二、矩阵的秩定义 设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵的秩，记作 或 .A rD 1rD Ar )(AR )(Ar规定：零矩阵的秩等于0.例1 求矩阵 和 的秩.A B , 174 532 321 A 00000 34000 52130 23012B ,174 532 321 A在 中，容易看出一个2阶子式A ,0132 21 D 的3阶子式只有一个A ,0A因此.2)( AR在 中，B 由于它是行阶梯形矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零， 024400 230 312 因此.3)( BR 00000 34000 52130 23012B这里的两个行列式分别是 和 的最高阶非零子式A B 说明根据行列式的展开法则知，在 中当所有 阶子式全为零时，所有高于 阶的子式也全为0，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；A 1r1rr矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；A A当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则A s ;)( sAR 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则A t ;)( tAR 矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.对于 阶矩阵 ，当 时， 称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.n nAR )(A A 由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个 ，当 时， 所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.n n.)( nAR | | 0A A | |A 三、矩阵的秩的计算定理 若 ，则BA ).()( BRAR 即两个等价矩阵的秩相等.说明根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明 12812160 1179120 11340 4146123 3rr 24 4rr 84000 84000 11340 41461 34 rr 00000 84000 11340 41461所以.3)( AR大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换 例2 设,41461 35102 16323 05023 A求矩阵 的秩，并求 的一个最高阶非零子式.A A解析：根据定理，为求 的秩，只需将 化为行阶梯形矩阵. A A 41461 35102 16323 05023A 41 rr 42 rr 13 2rr 14 3rr 12812160 1179120 11340 41461 再求 的一个最高阶非零子式.A r 161 502 623 523 0A 000 400 140 161r因此,3)( 0 AR 41461 35102 16323 05023A 00000 84000 11340 41461 在 中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到， 的子式都是 的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式 0A 0A A 502 623 523 .052 1162)1(502 1106 523 21 说明最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法. 41461 35102 16323 05023A 312 133 003 .0 例3 设,635 213 2111 A已知 ，求 与 的值.2)( AR 解析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列式，二是用初等变换.当 时， 的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题. 2)( AR A 635 213 2111 A 12 3rr 13 5rr 4580 4430 2111 4580 4430 2111 23 rr 0180 4430 2111 因为 ，故2)( AR ,01 ,05 即 .1,5说明此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简 单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论. 例4 设,6063 3242 0842 1221 A 4321b求矩阵 及矩阵 的秩.A ),( bAB 解析：此题中矩阵 的前4列与 的列相同，如果用初等行变换将 化为行阶梯形 ，则 就是 的行阶梯形，故从 中可同时看出 及B AB ),( bABA A B)(AR ).(BR 12 2rr 13 2rr 14 3rr 22 r 23 rr 24 3rr 53 r 34 rr 46063 33242 20842 11221),( bAB 13600 51200 02400 11221 10000 50000 01200 11221 00000 10000 01200 11221由此可见，,2)( AR .3)( BR 注： 00000 10000 01200 11221rB把此题中的 看作方程组的系数矩阵， 看作 常数项列，则 就是增广矩阵，由 的行阶梯 形矩阵知，这个方程组 无解，因为行 阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程A bB BbAx .10 四、矩阵的秩的性质若 为 矩阵，则A nm ;,min)(0 nmAR );0)()(),()( kARkARARAR T 若 ，则BA ).()( BRAR QP、 若 可逆，则);()( ARPAQR ),()(),()(),(max BRARBARBRAR 特别地，当b为列矩阵时，有;1)(),()( ARbARAR即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和. 证明 );()()( BRARBAR ,OBA lnnm 若 则.)()( nBRAR );(),(min)( BRARABR 例5 设 为 阶矩阵，证明A n .)()( nEAREAR 证因为,2)()( EAEEA 由性质，有)()( AEREAR 而),()( EARAER 所以 .)()( nEAREAR ,)2()()( nERAEEAR 例6 设 为 矩阵， 为 矩阵， 证明A nm B mn ,nm .0AB证根据性质，有,)( mnABR 而 为 阶矩阵，所以AB m .0AB 作业： P78-79 2.(2)(4) (5)