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第十二章第三节角的平分线的性质 问题引入 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ 用量角器度量，也可用折纸的方法。你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？ 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?证明： 在 ACD和 ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的对应边相等） AC平分DAB（角平分线的定义） E问题引入 知识点详解从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？ A BO M N C 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角AOB，作出A的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？知识点详解 通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？已知：AOC = BOC，点 P在OC上，PDOA，PEOB， 垂足分别为D，E。求证：PD =PE。知识点详解 证明：PDOA，PEOB。PDOPEO=90。在 PDO和 PEO中，PDOPEO，AOCBOC，OPOP， PDO PEO(AAS)。PDPE。知识点详解 角平分线性质:角平分线上的点到这个角的两边距离相等。几何语言: OC是AOB的平分线,PDOA,PEOB PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。知识点详解 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图，PDOA，PEOB，点D、E为垂足，PDPE求证：点P在AOB的平分线上。知识点详解 证明: PDOA，PEOB(已知)， PDOPEO90(垂直的定义)在Rt PDO和Rt PEO中 POPO(公共边) PD=PE Rt PDO Rt PEO(HL) PODPOE 点P在AOB的平分线上知识点详解 结论: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。几何语言: P是AOB 内的一点,PDOA于D,PEOB于E且PD=PEOP是AOB的平分线 (到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)知识点详解 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和 求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程。知识点详解 例题详解如图， ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于FBM是 ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。同理，PE=PF.PDPE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 AB CP MND E F 要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） DCs作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。例题详解 练习题1、直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( )A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 D分析:由于没有限制在何处选址，故要求的地址共有四处。 2、如图， ABC中，C=90，AD是 ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。 证明：AD平分CAB DEAB，C90（已知） CDDE (角平分线的性质) 在t CDF和Rt EDB中, CD=DE （已证）,DF=DB （已知） Rt CDF Rt EDB (HL) CF=EB （全等三角形对应边相等）练习题 结论总结 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言表示为： QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。用数学语言表示为： QDOA，QEOB，点Q在AOB的平分线上 QDQE
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