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第十二章第三节角的平分线的性质 问题引入 在练习本上画一个角,怎样得到这个角的平分线? 用量角器度量,也可用折纸的方法。你能评价这些方法吗?在生产生活中,这些方法是否可行呢? 如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?证明: 在 ACD和 ACB中 AD=AB(已知) DC=BC(已知) CA=CA(公共边) ACD ACB(SSS) CAD=CAB(全等三角形的对应边相等) AC平分DAB(角平分线的定义) E问题引入 知识点详解从利用平分角的仪器画角的平分线中,你受到哪些启发?如何利用直尺和圆规作一个角的平分线? A BO M N C 利用尺规我们可以作一个角的平分线,那么角的平分线有什么性质呢? 如图,任意作一个角AOB,作出A的平分线OC,在OC 上任取一点P,过点P 画出OA,OB 的垂线,分别记垂足为D,E,测量 PD,PE 并作比较,你得到什么结论?知识点详解 通过动手实验、观察比较,我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗?已知:AOC = BOC,点 P在OC上,PDOA,PEOB, 垂足分别为D,E。求证:PD =PE。知识点详解 证明:PDOA,PEOB。PDOPEO=90。在 PDO和 PEO中,PDOPEO,AOCBOC,OPOP, PDO PEO(AAS)。PDPE。知识点详解 角平分线性质:角平分线上的点到这个角的两边距离相等。几何语言: OC是AOB的平分线,PDOA,PEOB PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。知识点详解 反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?已知:如图,PDOA,PEOB,点D、E为垂足,PDPE求证:点P在AOB的平分线上。知识点详解 证明: PDOA,PEOB(已知), PDOPEO90(垂直的定义)在Rt PDO和Rt PEO中 POPO(公共边) PD=PE Rt PDO Rt PEO(HL) PODPOE 点P在AOB的平分线上知识点详解 结论: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。几何语言: P是AOB 内的一点,PDOA于D,PEOB于E且PD=PEOP是AOB的平分线 (到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)知识点详解 由角的平分线的性质的证明过程,你能概括出证明几何命题的一般步骤吗? (1)明确命题中的已知和求证;(2)根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和 求证;(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证 明过程。知识点详解 例题详解如图, ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 证明:过点P作PDAB于D,PEBC于E,PFAC于FBM是 ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。同理,PE=PF.PDPE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 AB CP MND E F 要在区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处米,应建在何处?(比例尺 1:20 000) DCs作夹角的角平分线OC,截取 OD=2.5cm ,D即为所求。例题详解 练习题1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ( )A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 D分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。 2、如图, ABC中,C=90,AD是 ABC的角平分线,DEAB于E,F在AC上BD=DF,求证:CF=EB。 证明:AD平分CAB DEAB,C90(已知) CDDE (角平分线的性质) 在t CDF和Rt EDB中, CD=DE (已证),DF=DB (已知) Rt CDF Rt EDB (HL) CF=EB (全等三角形对应边相等)练习题 结论总结 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言表示为: QDOA,QEOB,QDQE点Q在AOB的平分线上。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。用数学语言表示为: QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE
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