求变力的功的几种方法

专 题 :求 变 力 做 功 的 几 种 方 法 功 的 计 算 在 中 学 物 理 中 占 有 十 分 重 要 的 地 位 ， 中 学 阶 段 所 学 的 功 的计 算 公 式 W=FScosa只 能 用 于 恒 力 做 功 情 况 ， 对 于 变 力 做 功 的 计 算 则 没有 一 个 固 定 公 式 可 用 ， 现 对 变 力 做 功 问 题 进 行 归 纳 总 结 如 下 : 一 、 等 值 法 二 、 微 元 法 三 、 平 均 力 法 四 、 图 象 法 五 、 能 量 转 化 法 求 变 力 做 功 1、 用 动 能 定 理 求 变 力 做 功 2、 用 机 械 能 守 恒 定 律 求 变 力 做 功 3、 用 功 能 原 理 求 变 力 做 功 4、 用 公 式 W=Pt求 变 力 做 功 一 、 等 值 法 等 值 法 即 若 某 一 变 力 的 功 和 某 一 恒 力 的 功 相 等 ， 则 可 以 同 过 计 算 该 恒力 的 功 ， 求 出 该 变 力 的 功 。 而 恒 力 做 功 又 可 以 用 W=FScosa计 算 ， 从 而 使问 题 变 得 简 单 。 例 1、 如 图 1， 定 滑 轮 至 滑 块 的 高 度 为 h， 已 知 细 绳 的 拉 力 为 F（ 恒 定 ） ，滑 块 沿 水 平 面 由 A点 前 进 s米 至 B点 ， 滑 块 在 初 、 末 位 置 时 细 绳 与 水 平 方 向夹 角 分 别 为 和 。 求 滑 块 由 A点 运 动 到 B点 过 程 中 ， 绳 的 拉 力 对 滑 块 所 做的 功 。 分 析 ： 设 绳 对 物 体 的 拉 力 为 T， 显 然 人 对 绳 的 拉 力 F等 于 T。 T在 对 物 体做 功 的 过 程 中 大 小 虽 然 不 变 ， 但 其 方 向 时 刻 在 改 变 ， 因 此 该 问 题 是 变 力 做功 的 问 题 。 但 人 对 绳 做 的 功 就 等 于 绳 的 拉 力 对 物 体 做 的 功 。 而 拉 力 F的 大小 和 方 向 都 不 变 ， 所 以 F做 的 功 可 以 用 公 式 W=FScosa直 接 计 算 。 由 图 可知 ， 在 绳 与 水 平 面 的 夹 角 由 变 到 的 过 程 中 ,拉 力 F的 作 用 点 的 位 移 大 小 为 ： 二 、 微 元 法 当 物 体 在 变 力 的 作 用 下 作 曲 线 运 动 时 ， 若 力 的 方 向 与 物 体 运 动 的 切线 方 向 之 间 的 夹 角 不 变 ， 且 力 与 位 移 的 方 向 同 步 变 化 ， 可 用 微 元 法 将 曲线 分 成 无 限 个 小 元 段 ， 每 一 小 元 段 可 认 为 恒 力 做 功 ， 总 功 即 为 各 个 小 元段 做 功 的 代 数 和 。 例 2 、 如 图 2所 示 ， 某 力 F=10牛 作 用 于 半 径 R=1米 的 转 盘 的 边 缘 上 ，力 F的 大 小 保 持 不 变 ， 但 方 向 始 终 保 持 与 作 用 点 的 切 线 方 向 一 致 ， 则 转动 一 周 这 个 力 F做 的 总 功 应 为 ： A 0焦 耳 B 20焦 耳 C 10焦 耳 D 20焦 耳 分 析 ： 把 圆 周 分 成 无 限 个 小 元 段 ， 每 个 小元 段 可 认 为 与 力 在 同 一 直 线 上 ， 故 W=FS，则 转 一 周 中 各 个 小 元 段 做 功 的 代 数 和 为 W=F 2R=10 2J=20J， 故 B正 确 。 三 、 平 均 力 法 如 果 力 的 方 向 不 变 ， 力 的 大 小 对 位 移 按 线 性 规 律 变 化 时 ， 可 用 力 的算 术 平 均 值 （ 恒 力 ） 代 替 变 力 ， 利 用 功 的 定 义 式 求 功 。 例 3、 一 辆 汽 车 质 量 为 105千 克 ， 从 静 止 开 始 运 动 ， 其 阻 力 为 车 重 的0.05倍 。 其 牵 引 力 的 大 小 与 车 前 进 的 距 离 变 化 关 系 为 F=103x+f0， f0是 车所 受 的 阻 力 。 当 车 前 进 100米 时 ， 牵 引 力 做 的 功 是 多 少 ？ 解 析 ： 由 于 车 的 牵 引 力 和 位 移 的 关 系 为 F=103x+f0， 是 线 性 关 系 ， 故前 进 100米 过 程 中 的 牵 引 力 做 的 功 可 看 作 是 平 均 牵 引 力 所 做 的 功 。 由题 意 可 知 f 0 0.05 105 10N 5 104N,所 以 前 进 100米 过 程 中 的 平 均牵 引 力 N 1 105N, W S 1 105 100J 1 107J。 四 、 图 象 法 如 果 力 F随 位 移 的 变 化 关 系 明 确 ， 始 末 位 置 清 楚 ， 可 在 平 面 直 角 坐 标系 内 画 出 F x图 象 ， 图 象 下 方 与 坐 标 轴 所 围 的 “ 面 积 ” 即 表 示 功 。 例 如 ： 对 于 例 3除 可 用 平 均 力 法 计 算 外 也 可 用 图 象 法 。 由 F=103x+f0可知 ， 当 x变 化 时 ， F也 随 着 变 化 ， 故 本 题 是 属 于 变 力 做 功 问 题 ， 下 面 用 图 象求 解 。 牵 引 力 表 达 式 为 F=103x+0.5 105， 其 函 数 表 达 图 象 如 图 3。 根 据 F-x图 象 所 围 的 面 积 表 示 牵 引 力 所 做 的 功 ， 故 牵 引 力 所 做 的 功 等 于 梯 形 OABD的 “ 面 积 ” 。 所 以 五 、 能 量 转 化 法 求 变 力 做 功 功 是 能 量 转 化 的 量 度 ， 已 知 外 力 做 功 情 况 可 计 算 能 量 的 转 化 ， 同 样 根据 能 量 的 转 化 也 可 求 外 力 所 做 功 的 多 少 。 因 此 根 据 动 能 定 理 、 机 械 能 守 恒定 律 、 功 能 关 系 等 可 从 能 量 改 变 的 角 度 求 功 。 1、 用 动 能 定 理 求 变 力 做 功 动 能 定 理 的 内 容 是 ： 外 力 对 物 体 所 做 的 功 等 于 物 体 动 能 的 增 量 。 它的 表 达 式 是 W外 = EK， W外 可 以 理 解 成 所 有 外 力 做 功 的 代 数 和 ， 如 果 我 们 所研 究 的 多 个 力 中 ， 只 有 一 个 力 是 变 力 ， 其 余 的 都 是 恒 力 ， 而 且 这 些 恒 力 所做 的 功 比 较 容 易 计 算 ， 研 究 对 象 本 身 的 动 能 增 量 也 比 较 容 易 计 算 时 ， 用 动能 定 理 就 可 以 求 出 这 个 变 力 所 做 的 功 。 例 4、 如 图 4所 示 ， AB为 1/4圆 弧 轨 道 ， 半 径 为 0.8m， BC是 水 平 轨 道 ，长 3m， BC处 的 摩 擦 系 数 为 1/15， 今 有 质 量 m=1kg的 物 体 ， 自 A点 从 静止 起 下 滑 到 C点 刚 好 停 止 。 求 物 体 在 轨 道 AB段 所 受 的 阻 力 对 物 体 做 的 功 。 分 析 ： 物 体 在 从 A滑 到 C的 过 程中 ， 有 重 力 、 AB段 的 阻 力 、 AC段的 摩 擦 力 共 三 个 力 做 功 ， WG=mgR，fBC=umgsBC， 由 于 物 体 在 AB段 受 的阻 力 是 变 力 ， 做 的 功 不 能 直 接 求 。根 据 动 能 定 理 可 知 ： W外 =0， 即 ： mgR-umgsBC-WAB=0 W AB=mgR-umgsBC=6(J) 2、 用 机 械 能 守 恒 定 律 求 变 力 做 功 如 果 物 体 只 受 重 力 和 弹 力 作 用 ， 或 只 有 重 力 或 弹 力 做 功 时 ， 满 足 机 械 能守 恒 定 律 。 如 果 求 弹 力 这 个 变 力 做 的 功 ， 可 用 机 械 能 守 恒 定 律 来 求 解 。 例 5、 如 图 5所 示 ， 质 量 m为 2千 克 的 物 体 ， 从 光 滑 斜 面 的 顶 端 A点 以v0=5米 /秒 的 初 速 度 滑 下 ， 在 D点 与 弹 簧 接 触 并 将 弹 簧 压 缩 到 B点 时 的 速 度 为零 ， 已 知 从 A到 B的 竖 直 高 度 h=5米 ， 求 弹 簧 的 弹 力 对 物 体 所 做 的 功 。 分 析 ： 由 于 斜 面 光 滑 ,故 机 械 能 守 恒 ， 但 弹 簧的 弹 力 是 变 力 ， 弹 力 对 物 体 做 负 功 ， 弹 簧 的 弹性 势 能 增 加 ， 且 弹 力 做 的 功 的 数 值 与 弹 性 势 能的 增 加 量 相 等 。 取 B所 在 水 平 面 为 零 参 考 面 ，弹 簧 原 长 处 D 点 为 弹 性 势 能 的 零 参 考 点 ， 则 状 态 A： EA= mgh+mv02/2 对 状 态 B： EB= W弹 簧 +0 由 机 械 能 守 恒 定 律 得 ： W弹 簧 = （ mgh+mv02/2） = 125（ J） 。 3、 用 功 能 原 理 求 变 力 做 功 功 能 原 理 的 内 容 是 ： 系 统 所 受 的 外 力 和 内 力 （ 不 包 括 重 力 和 弹 力 ） 所 做的 功 的 代 数 和 等 于 系 统 的 机 械 能 的 增 量 ， 如 果 这 些 力 中 只 有 一 个 变 力 做 功 ，且 其 它 力 所 做 的 功 及 系 统 的 机 械 能 的 变 化 量 都 比 较 容 易 求 解 时 ， 就 可 用 功能 原 理 求 解 变 力 所 做 的 功 。 例 6、 质 量 为 2千 克 的 均 匀 链 条 长 为 2米 ， 自 然 堆 放 在 光 滑 的 水 平 面 上 ，用 力 F竖 直 向 上 匀 速 提 起 此 链 条 ， 已 知 提 起 链 条 的 速 度 v=6米 /秒 ， 求 该 链 条全 部 被 提 起 时 拉 力 F所 做 的 功 。 分 析 ： 链 条 上 提 过 程 中 提 起 部 分 的 重 力 逐 渐 增 大 ,链 条 保 持 匀 速 上 升 ，故 作 用 在 链 条 上 的 拉 力 是 变 力 ， 不 能 直 接 用 功 的 公 式 求 功 。 根 据 功 能 原 理 ，上 提 过 程 拉 力 F做 的 功 等 于 机 械 能 的 增 量 ， 故 可 以 用 功 能 原 理 求 。 当 链 条 刚被 全 部 提 起 时 ， 动 能 没 有 变 化 ， 重 心 升 高 了 L/2=1米 ， 故 机 械 能 的 变 化 量 为 ： E=m g L/2=2 10 1=20（ J） 根 据 功 能 原 理 力 F所 做 的 功 为 ： W=20J 4、 用 公 式 W=Pt求 变 力 做 功 例 7、 质 量 为 4000千 克 的 汽 车 ， 由 静 止 开 始 以 恒 定 的 功 率 前 进 ， 它经 100/3秒 的 时 间 前 进 425米 ， 这 时 候 它 达 到 最 大 速 度 15米 /秒 。 假 设 汽车 在 前 进 中 所 受 阻 力 不 变 ， 求 阻 力 为 多 大 。 分 析 ： 汽 车 在 运 动 过 程 中 功 率 恒 定 ， 速 度 增 加 ， 所 以 牵 引 力 不 断减 小 ， 当 减 小 到 与 阻 力 相 等 时 速 度 达 到 最 大 值 。 汽 车 所 受 的 阻 力 不变 ， 牵 引 力 是 变 力 ， 牵 引 力 所 做 的 功 不 能 用 功 的 公 式 直 接 计 算 。 由于 汽 车 的 功 率 恒 定 ， 汽 车 功 率 可 用 P=Fv求 ， 速 度 最 大 时 牵 引 力 和 阻力 相 等 ， 故 P=Fv m=fvm， 所 以 汽 车 的 牵 引 力 做 的 功 为 W汽 车 =Pt=fvmt根据 动 能 定 理 有 ： W汽 车 fs=mvm2/2， 即 fvmt fs= mvm2/2 代 入 数 值 解 得 ： f=6000N。