中学代数研究课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,2024/12/1,1,第四章函,数,第一节,函数的发展及其科学价值,微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图形。世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。,在人类历史上，很早就研究过方程，但是都没有形成函数的思想。函数概念是在资本主义文明萌芽时期的,16,至,17,世纪才逐渐产生。,运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心第一位。,2023/9/281 第四章函 数,2024/12/1,2,伽利略研究抛物体的运动及自由落体运动，产生了函数,s=gt,2,/2,。他明确宣称，科学的本质是数学。他说：“给我延展和运动，我将把宇宙构造出来。”,古希腊的二次曲线是静止的图像。伽利略则证明，把物体倾斜地抛向空中时，其路径是圆锥曲线中的抛物线。,笛卡儿最先提出了“变量”的概念，它在,几何学,中间不仅引入了坐标都好而且实际上已引入了变量,x,y,还注意到,y,依赖于,x,而变化，这正是函数思想的萌芽。,恩格斯对此作了高度的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微升和集成已就立刻成为了必要，而他们也能立即产生了,”。,2023/9/282 伽利略研究抛物体的运动及,2024/12/1,3,牛顿则认识到，曲线是动点的轨迹。动点的位置,(x,y),是时间的函数。牛顿创立微积分的时候，用“流数”表示变量间的关系。,莱布尼兹则用“,Function,”一词表示随着曲线上一,点变动而变动的量。,李善兰在,代微积拾级,一书中将,Function,翻译,为“函数”，并一直沿用至今。,牛顿和莱布尼兹用极限方法研究函数的性质，取,得极大的成功。微积分学随之诞生，函数作为微积分,的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。,2023/9/283 牛顿则认识到，曲,2024/12/1,4,1755,年，欧拉给出了函数明确的定义：,“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一些变量的函数”。,1851,年，黎曼定义：“我们假定,Z,是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量,W,的一个值与之对应，则称,W,是,Z,的函数。”,2023/9/284 1755年，欧拉给出了函数明,2024/12/1,5,1939,年，布尔巴基学派著作认为，,若,E,F,是两个集合，两者的笛卡儿集是指,(x,y) xX,y Y,，,X,Y,中的任何子集,S,称为,X,与,Y,之间的一种关系。,如果关系,F,满足：对于每一个,xX,、都存在唯一的一个,yY,，使得,(x,y) F,，则称关系,F,是一个函数。,这三种函数的定义，分别是变量说，对应说（映射说），关系说。,这是函数概念的三个里程碑。他们彼此不同，又相互联系。,2023/9/285 1939年，布尔巴基学,2024/12/1,6,18,世纪以来，分析学一直是数学的核心学科。很多数学分支都是以“函数”作为研究工具。函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。,在,20,世纪以前，中学数学的中心是方程。,1908,年，克莱因担任国际数学教育委员会主席，首次提出，中学数学应当以函数为中心。第二次世界大战之后，函数思想全面进入中学数学课程。,中国在,1949,年以前，中学里的数学课程依然是“以代数为纲”，方程式论占据绝大部分篇幅。,到了,20,世纪,50,年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学过程中的核心地位。,2023/9/286 18世纪以来，,2024/12/1,7,现在，函数是中学数学的核心内容。,在初中阶段，以平面直角坐标系和实数为基础，介绍了常量与变量、函数的概念及其表示法，,然后具体研究了正比例函数及其图像、反比例函数及其图像、一次函数的图像和性质、抛物线的顶点和开口方向等内容。,在高中阶段，主要介绍，二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等内容，,并将函数和方程、曲线联系起来，为微积分教学提供评弹，为描摹现实世界提供数学模型。,2023/9/287 现在，函数是中学数学的核,2024/12/1,8,第二节函数的三种定义,1.,函数的变量说定义,：一般地，假设在一个变化过程中有两个变量,x,与,y,，如果变量,y,随着,x,的变化而变化，那么就说,x,是自变量，,y,是因变量，也称,y,是,x,的函数。,x,的取值范围叫做函数的定义域，与,x,的值对应的,y,的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。,这种描述性的定义，是函数的传统定义。它建立在变量的基础上，强调了变化，而描述变化，正是函数最重要的特性。上世纪,50,年代的中学数学教材中的函数定义就是这样的。,2023/9/288 第二节函数的三种定义,2024/12/1,9,应该看到，这个定义中的变量概念难以精确化。什么是变量，并没有给出明确的定义。同时，因变量如和“依赖”自变量、也没有说明。,于是，就容易对“,y=x,2,与,x=y,2,是否为同一个函数”而产生误解。,更仔细的分析，会发现常数函数,y=sin,2,x+cos,2,x(=1),x,变了，,y,却不变，从字面上看就不是“随自变量的变化而变化”了。,函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握，不能放弃，却也不能不发展。,因此，我们需要一个更加细致、更精确的函数定义,2023/9/289 应该看到，这个定义中的变量概念难,2024/12/1,10,设,A,为非空实数集，如果存在一个对应规律,f,，对,A,中每一个元,x,按照对应规律,f,，存在,R,中间唯一的一个实数,y,与之对应，则称对应的规律,f,是定义在,A,上的函数，表为,f,：,AR.,集合,A,称为函数,f,的定义域，元,x,所对应的,y,值称为,x,的函数值，表为,f,（,A,）,即,f(A)=yly=f(x),xA,R,。,2.,函数的对应说定义：,由于,x A,与,y R,处于不同的地位，因此称,x,是自变量、,y,是因变量。,2023/9/2810 设A为非空实数集，如果存在一个,2024/12/1,11,它把函数看作是定义域到值域这两个实数集合之间的单值对应，突出地反映了变量之间的对应关系。在高中阶段基本上就用这种定义。,函数的本质是变量之间的关系，而描述这种关系的正是“对应”。,它能够微观地、明确地指出因变量是如何随着自变量的变化而变化的。,这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。,例如分段函数；又如著名的狄利克雷函数，虽然是一个非常抽象的函数，但是采用映射的函数定义能够非常准确、明晰地刻画这个函数。,2023/9/2811 它把函数看作是定义域到值域,2024/12/1,12,设,A,，,B,是两个非空集合，如果按照某种对应法则,f,、对于集合,A,中的任何一个元，在集合,B,中都有唯一的元和它对应，,这样的对应叫做从集合到集合,B,的映射，记作,f,：,AB,。,由于映射是用对应来定义的，所以说“对应说”与“映射说”其实是一回事。,目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情况：,如果集合,A,，,B,都是数集，这样的映射称为函数。,2023/9/2812 设A，B是两个非空集合，如,2024/12/1,13,布尔巴基学派认为，用“对应”定义函数还不够原始，给出了以下十分形式化的定义：,(1),集合的笛卡儿积。,集合,X,和集合,Y,的笛卡儿积是全体序偶,(x,y),的集合，其中,xX, y Y,，记为,XY=(x,y) l x X, y Y,。,3.,函数的关系说定义,(2),关系。,一个具有定义域,X,和值域,Y,的关系,R,是指笛卡儿集,XY,的一个子集,R,，如果,(x,y) R,、称,x,与,y,具有关系,R,，记作,xRy,。,2023/9/2813 布尔巴基学派认为，用“对应,2024/12/1,14,设,f,是集合,X,与集合,Y,的关系、即,f,XY,，如果还满足,(x,1,y,1,) f, (x,1,y,2,) f,、则,y,1,=y,2,，那么称,f,是集合,X,到集合,Y,的函数。,这个定义指出，函数是一个特殊的关系。在这种关系中，不存在两个不同的序偶,(x,y),有同一个第一元，因此，函数是两个集合的关系。,函数的定义：,但是，两个集合间的关系不一定是两个集合间的函数。,2023/9/2814 设f是集合X与集合Y的关系、即,2024/12/1,15,函数的定义域是某个集合的整体，而不能是这个集合的一部分，而关系则不然；,在函数的定义中，对于任意给的,x X,，则存在唯一的,y,与之对应，而在关系的定义中，却可以有多于一个的元与之对应，所以说函数是一种特殊的关系。,“关系说”将函数用集合论的语言加以描述，除集合论的概念以外，没有使用其他未经定义的日常语言，因而是完全数学化的定义。,函数和关系虽然都是刻画关于两个集合元之间的联系的，但是有区别的。,这种定义是函数的形式化定义。,2023/9/2815 函数的定义域是某个集合的整,2024/12/1,16,三个函数定义，各有各的不同特点。“变量说”最,朴素、最根本，也是最重要的，初学者更容易接受。,“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精,细性质具有一定的优势。,但是，关系说过于形式化、抽去了函数关系生动,的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式,的表达，所以初学者不易掌握，当然也不适合放在中,学的教材中。,“关系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、,人工智能设计中具有一定的作用。,2023/9/2816 三个函数定义，各有各的不,2024/12/1,17,中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。,这些初等函数称为基本初等函数。基本函数的一个重要特点是它能通过一个统一的代数式是在定义域上表达出来。,定义,1,（初等函数）由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做初等函数。,第三节初等函数,y,=,x,不是初等函数。,一、初等函数的定义,初等函数可以根据函数解析式所用的运算种类来进,行分类。,2023/9/2817 中学所学习的主要初等函数有：常,2024/12/1,18,不是代数函数的初等函数叫做超越函数。,代数函数又可以分为有理函数和无理函数：,定义,2,如果一个函数使用基本初等函数经过有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初等函数，则叫做代数函数。,由和经过有限次加、减、乘、除四则运算所得到的代数函数叫做有理函数；,不是有理函数的代数函数叫做无理函数。,2023/9/2818 不是代数函数的初等函数叫做超越,2024/12/1,19,非有理整函数（用了除法）的有理函数叫做有理分式函数。,有理函数中，如果仅用到加、减、乘运算所得到的函数叫做有理整函数，,有理整函数,有理函数,代数函数,有理分函数,初等函数,无理函数,超越函数,2023/9/2819 非有理整函数（用了除法）的,2024/12/1,20,例如,从外表上看是超越函数,.,但对应规律可以用代数运算,y,=1+,x,2,表示出来,.,区别一个初等函数属于那一类函数、有时不能只从表达式的外表来区分，而应当从他的对应规律的性质来确定。,又例如，,从外表上看是无理函数，但实际上他的对应规律可以由,y,=,x,3,来表示，所以是有理函数。,证明一个初等函数是超越函数通常用反证法。例见,P100.,2023/9/2820 例如,2024/12/1,21,1.,初等函数和微积分的关系,微积分学研究的对象，主要是初等函数。求初等函数的导数，以及求初等函数的不定积分都好成为微积分运算的主干。微积分学推动初等数学的研究。,二、初等函数的几个问题,三角学早在古希腊时期已经出现，但是作为任意角的三角函数、在欧拉手里才完成。,对数也是到了微积分产生以后，才单独作为一个特定的数学对象：函数,y,=,logx,。,2023/9/2821 1.初等函数和微积分的关系,2024/12/1,22,初等函数的导数仍然是初等函数，但是初等函数,的不定积分（原函数）则不一定是初等函数。,工程技术学界使用的函数，多半仍然是初等函数。在建立描摹大自然的数学模型时，初等函数能够基本,上满足需要。,这样的原函数自然就是所谓的“高等函数”了。,引进一些高等函数，主要是积分的需要，他们虽然重要，但在使用的广泛性上确比不上初等函数。,2023/9/2822 初等函数的导数仍然是初等函,2024/12/1,23,整数幂和有理数幂，容易理解。无理指数幂的定义却必须依赖极限运算。它和幂函数、指数函数的定义也直接相关。,对于,为无理数的情形，需要证明两件事：,2.,无理数幂的问题,柯西数列的收敛。它的极限值极为,。,(1),对任意选定的有理数列,a,n,由于,a,n,是柯西数列，不难证明,an,都是柯西收敛数列。,2023/9/2823 整数幂和有理数幂，容易理,2024/12/1,24,这就把,定义好了。,由此幂函数和指数函数就能够定义在全体实数集上。,(2),的值与,a,n,的选取无关，而只与,a,n,的极限,有关。,在中学里，不可能进行这样的定义，一般使用一个简单的例子，直观地加以解释就是了。,2023/9/2824 这就把 定义好了。,2024/12/1,25,对数的发明在于简化计算。过去，中学数学教材中以能够简化大数字的乘法作为引入对数的主要原因。现在由于计算机和计算机的普遍使用，对数的这种计算功能几乎完全废弃。,对数的价值何在,?,3.,对数的意义,对数函数的现代意义是,：作为一种数学模型，对数函数提供了缓增的类型。对数对于信息论时分重要，信息量的数学模型离不开对数。,对数的运算是指数运算的逆运算。指数的增长是“爆炸似的”，对数的增长是“缓幔似的”。这是描述自然界数量增长的一个特定模式。,2023/9/2825 对数的发明在于简化计算。过去，,2024/12/1,26,一般地说，三角学是几何学的一部分。,平面几何是定性地处理三角形的边角关系（全等形，平行垂直，大边对大角等），,4.三角函数,把方程思想引入三角形边角关系的处理，三角学又成为几何方法与代数方法相互沟通的桥梁。,三角教学是定量地表示三角形边角之间的定量关系，主要手段是使用比例、正弦定理、余弦定理等等。,2023/9/2826 一般地说，三角学是几何学的一部,2024/12/1,27,自然现象中的许多问题都是周期运动，都可以用三角函数反映他们的运动规律。,三角函数也称为圆函数，是正弦、,、正矢、余矢等八种函数的总称。,三角函数的重要在于它的周期性。,付里叶级数的发现，使得三角函数成为表示函数的基础。三角级数我们的研究带来了很大的方便。,2023/9/2827 自然现象中的许多问题都是,2024/12/1,28,1.,函数的定义域,函数的定义域是研究函数的基础。,确定函数的定义域的原则：,(1),当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中表示自变量的实数的集合；,三、初等函数的定义和值域,(3),当函数用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数,X,的集合；,(4),当函数由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。,(2),函数用图像给出时，函数的定义域是指图像在,X,轴上的投影所覆盖的实数集合；,2023/9/2828 1.函数的定义域 确,2024/12/1,29,(1),若,f,(,x,),是整式,则定义域为全体实数；,(2),若,f,(,x,),是分式，则定义域为使分母不为,0,为的全体实数；,确定初等函数定义域的依据是：,(4),函数,f,(,x,)=,x,0,的定义域是,(-,0)(0,+),。,(3),若,f(x),是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数；,2023/9/2829 (1)若f(x)是整式,2024/12/1,30,(1),对于式子,log,g(x),f(x),，则,g(x),0,g(x) 1,f(x),0,；,(2),若函数形如,tanf(x),，则,f(x) k,+,/2(kZ),；若函数形如,cotf(x),，则,f(x) k,(k Z),；,某些复合函数的定义域的确定原则：,(4),对于函数,y=fg(x),，若,y=f(u),的定义域为,D,1,，,u=g(x),的定义域为,D,2,，则一方面应有,x D,2,，另一方面应有,g(x) D,1,，所以,y=fg(x),的定义域是,D=x,|,x D,2,且,g(x) D,1,.,(3),对于,arcsinf(x,),arccosf(x),，则,|,f(x),|,1,；,2023/9/2830 (1)对于式子logg(x)f,2024/12/1,31,确定函数的定义域的原则和表示方法合在一起就是求函数定义域的方法。,定义域的表示方法，一般有区间表示法、不等式表示法和的集合表示法等。,求函数的定义域一般是通过解不等式或解不等式组来完成的。,2023/9/2831 确定函数的定义域的原则和表示,2024/12/1,32,函数的值域就是函数值和组成的集合。,确定函数的值域的原则：,(1),当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中的实数,y,的集合；,2.,函数的值域,(3),当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；,(4),当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题实际意义确定。,(2),当函数用图像给出时，函数的值域是指图像在,y,轴上的投影所覆盖的实数的集合；,2023/9/2832 函数的值域就是函数值和组成的,2024/12/1,33,求值域在高中数学中也是难点之一，它没有固定的方法和模式，绝大多数值域问题与函数的最值问题有关，,解答这类问题涉及具体的解题方法，又涉及一些抽象的逻辑方法，难以找到比较固定的求解模式。现介绍一些常用的方法。,求函数的值域是相当复杂的数学问题，所以初中阶段不要求讨论值域。,(2),图像法,(1),观察法,通过对函数定义域的观察，再结合对函数解析式的分析，可以求得函数的值域。,2023/9/2833 求值域在高中数学中也是难点之一,2024/12/1,34,配方化的理论依据是：对任意的恒成立。或者对任意的，恒成立，或者用“若；则”。使用配方法求函数的值域时,要注意等号成立的条件。,(4)反函数法,(3)配方法,(5)不等式法,如果函数的反函数存在，由函数解得反函数，求出反函数的定义域，以确定函数的值域。,(6),三角代换法,把求代数函数的值域化为求三角函数的值域，但在,代换时必须使三角函数的值域与被代换变量的取值范,围一致。,2023/9/2834 配方化的理论依据是：对任意的,2024/12/1,35,由于定义域是非空的，所以,x,一定存在，那么当,P(,x,) 0,时，方程有实数解，则判别式,0,，从而得到,y,的变化范围；,当,P(,y,)=0,时，把,y,的值代回原来的函数的解析式中可得,x,的值，,(7),判别式法,如果,x,是定义域中的值，那么相应的,y,是值域中的值，应补充在值域中，否则相反。由此可以求得函数的值域。,如果函数式,y,=,f,(,x,),可以化为关于,x,的二次方程，即,形如,p(y)x,2,=q(y)x+q(y)=0.,2023/9/2835 由于定义域是非空的，所以,2024/12/1,36,如果函数在,a,b,上连续，它的最大值和最小值分别是,m,和,M,，那么函数的值域是,m,M,。,此外，还可以利用求导法等来求函数的值域。,(8),最值法,避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值的偏题。,在教学中，应强调对于函数概念本质的理解，,2023/9/2836 如果函数在a,b上连续,2024/12/1,37,研究函数主要是研究函数的特征，而函数的特征可以直观地用函数的图象显示出来。,本节只用初等方法进行探讨，这对打好数学基础、熟悉初等函数的特点并能把它们应用于实际问题具有一定的价值。,第四节函数的图像与函数的特征,掌握函数的图像是数形结合研究函数的重要手段，根据函数的图形，一方面能迅速准确地得到函数的某些特征；另一方面，典型的函数图像可以帮助人们理解和记忆函数的性质及其特征。,一、关于函数的图像,2023/9/2837 研究函数主要是研究函数的特征,2024/12/1,38,由于有序实数对与一平面上的点的一一对应关系，所以作函数的图像基本的方法就是描点法。,但是不可能把函数的每一个点都描绘清楚，这就需要借住函数的特征，,一提到一个函数，我们往往想到的是具有代表性的函数的图像。,先了解函数的大致轮廓，然后再作出函数的图形来。,2023/9/2838 由于有序实数对与一平面上的,2024/12/1,39,1.,确定函数定义域；,2.,研究函数的有界性；,3.,研究函数的奇偶性；,4.,研究函数的单调性；,绘制函数图像的主要步骤：,7,如果函数有渐近线，先把渐近线求出来，在讨论函数的变化趋势；,8.,用平滑曲线将各部分连接起来。,5.,研究函数的周期性；,6.,找出函数个特殊点；,2023/9/2839 1.确定函数定义域； 3,2024/12/1,40,利用已知函数的图像，经过平移、对称或放缩等初等变换，可以得到一些初等函数图形。,三、函数的一些主要性质,有界性、奇偶性、单调性和周期性。,二、用初等变换作出函数图形,1.,两个奇（或偶）函数的代数和仍然是奇（或偶）函数。,(,一,),关于函数奇偶性有几个重要的结论：,2.,两个奇（或偶）函数的积是偶函数；一个奇函数,和一个偶函数的积是奇函数。,2023/9/2840 利用已知函数的图像，经过平移、,2024/12/1,41,3.,如果奇函数的反函数存在，并且定义在对称于原点的数集上，那么这个反函数也是奇函数。,4.,奇（或偶）函数的倒数函数（分母不为）仍是奇（或偶）函数。,(2),内函数是偶函数，则不论外函数是奇函数或偶函数，复合函数都是偶函数。,(1),内函数是奇函数，则当外函数是奇（或偶）函数时,复合函数是奇（或偶）函数。,5.,复合函数的奇偶性（定义域在对称于原点的数集上）,2023/9/2841 3.如果奇函数的反函数存在,2024/12/1,42,两个函数在讨论的区间里都是递增的（或递减的），就称这两个函数依同向变化；如果其中一增一减,就称,这两个函数依反向变化。,有以下结论：,1.,单调函数,f,与,f,+,c,（常数）依同向变化。,(,二,),关于函数单调性的一个问题,3.,如果两个单调函数依同向变化，则他们的和也和他们依同向变化。,2.,单调函数,f,与,cf,（,c,为常数）,.,当,c,大于,0,时,依同向变化；当小于零时，依反向变化。,2023/9/2842 两个函数在讨论的区间里都是递增,2024/12/1,43,5.,单调函数与它的的倒数函数（分母不为）在这个函数不等于零的同号区间里依反向变化。,6.,单调函数和他的反函数依同向变化。,4.,如果两个正值（或负值）单调函数依同向变化，那么他们的乘积与他们依同向（或反向）变化。,值得注意的是，函数的单调性总是与所讨论的区间联系在一起的。最明显的例子是反比例函数。,7.,复合函数的内、外函数都是单调函数，如果他们依同向（或反向）变化，那么复合函数是否单调递增（或递减）的。,2023/9/2843 5.单调函数与它的的倒,请你点评一下,P116,例,8,的两种解法,.,2024/12/1,44,请你点评一下P116例8的两种解法.2023/9/2844,2024/12/1,45,周期函数的一切周期组成的数集一定是一个无界的无穷集合。周期函数的定义域也一定是一个上、下无界的数集。,但是，周期函数的定义域无一定就是,R,，例如正切函数。,(,三,),关于周期性的一些问题,有没有没有最小正周期的周期函数,?,例如,y,=,c.,但如果周期函数的所有正周期中有最小的值，这个最小值就叫做函数的最小正周期（也称基本周期或主周期）。,中学里接触的周期函数主要是三角函数，使用更多的是正弦函数和余弦函数。数学分析课程告诉我们，许多实用的周期函数都可以展开为三角级数。,2023/9/2845 周期函数的一切周期组成,课堂作业,:,求函数的,定义域和值域,.,2024/12/1,46,课堂作业: 求函数的,2024/12/1,47,函数是中学里最重要的概念之一，也是学生学习的难点。,一、从函数的“变量说”过渡到“对应说”,第五节函数概念的教学,学习函数，首先要根据实际问题的需要，构造用函数思想表示的数学模型。这必须从自己身边可以观察的变量谈起。,许多现实问题可以归因于研究数量的变化过程。变化是一个朴素的概念，不再加以定义的本原概念。,2023/9/2847 函数是中学里最重要的概念之一,2024/12/1,48,函数概念的教学，从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。,初中阶段从学生容易掌握的描述性函数定义入手，也就是采用函数的变量说，便于和实际相联系。,几乎所有领域都有函数应用的实例，甚至包括日常生活的语言也引用了函数的许多词汇，“指数增长”，“直线上升”，“周期性发展”，“单调下降”等等。,在这里，要注意函数体现变量之间的各种各样的关系，不要错误地以为函数就是一种类型。,构建函数的一般概念以后，然后通过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等具体函数的研究，结合图像分析，继续加深学生对函数概念的理解。,2023/9/2848 函数概念的教学，从实际背,2024/12/1,49,这个时候学生需要抽象地思考，超出函数的具体表达式的限制，把“对应法则”作为函数概念的核心。,这就是要求从变量说过渡到对应说。,进入高中阶段，要求用两个数集之间对应的方式来阐述函数的意义。,“对因说”在处理复合函数与反函数问题上，由于使用集合语言，在表示上比“变量说”方便并且自然。,对因说的函数概念，可以形象化的解释为一架加工机。他把自变量加工成因变量。,2023/9/2849 这个时候学生需要抽象地思考,2024/12/1,50,在引入函数概念之前，需要完成从常量到变量的转变。字母除了表示定数以外，还可以表示变化的量。,如何引导学生把静态的表示式看成动态的过程，是函数降雪的关键。,学习函数概念，要实现由静到动的转变。,小学高年级学生都会计算具体的数学问题，初中生和能写出某些变量之间的表示式，但是他们还不能看到变量之间的变化过程。,“照片”，“录像”。,2023/9/2850 在引入函数概念之前，需要完,2024/12/1,51,这就是说，哪一个算式和运动联系起来并不容易。,实际教学中，可以把定数表示为数轴上的一个定点，而把变量看成是一个动点。,在此之前，学生的经验只涉及常量的运算。字母和符号在他们的认知结构中知识代表一个特定的具体数量。,并在坐标系上描出这些点，致使学生容易感受到变量的真实意义。,先确定自变量数轴上的取值范围，在取自变量的一系列特定值，列出相应的另一个变量的对应值，,2023/9/2851 这就是说，哪一个算式和运动,2024/12/1,52,函数把多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了有机的整合。,二、弄清函数与代数式、方程的关系,2.,函数是一个二元方程,y-f(x) = 0,。它有无穷多个解。运用方程方法，可以寻求函数的特殊值。,1.,任何代数式,A(x),可以看作带有变量,x,的函数的代数表达式：,y=A(x),求代数式的值就是求这个代数函数的函数值。,2023/9/2852 函数把多项式、变量、坐标系和,2024/12/1,53,4.,在坐标平面上，二元方程,F(x,y) = 0,的图像是一条曲线。曲线也可以表示为一个方程。,3.,函数的不动点，是指满足,f(x),=,x,的点,x,，这相当于解方程,f(x),x,=,0,。,弄清这些数学概念之间的联系，是中学里一项重要的学习内容。,函数,y,=,f,(,x,),的图像也是一条曲线，不过这种曲线和平行于,y,轴的直线只交于一点。,2023/9/2853 4.在坐标平面上，二元,2024/12/1,54,数学科学的基本任务之一是研究“数量关系”。已知数和未知数之间的等式关系是方程，变量和变量之间的依赖关系则是函数。,研究函数的依赖关系要使用两个变量。在学习心理上，这要求学生在同时使用两个表象，因而有一定的,难度。,三、突出“依赖关系”，提倡“函数建模”,一般地说，观察变量之间承载着依赖性比较容易，而要具体写出来就难了。,认识变量之间的依赖关系和具体表示这一关系，属于不同层次的认识水平。,2023/9/2854 数学科学的基本任务之一是研,2024/12/1,55,教师：“根据我们要学习函数的概念，在学习新概念之前，首先让我们思考两个问题：,1.,请同学们想一个你生活中遇到的在某过程中有变化的量，选一个字母表示；,现在研究一个教学案例。,P120,（展示题板，给学生两分钟议论时间，然后提问。）,2.,然后再想一想有没有另一个与前一变量有关的也在变化的量，设法把它们的关系用字母表示出来。”,2023/9/2855 教师：“根据我们要学习函数的,2024/12/1,56,学生,A,：,“一天的温度是变化的，可以用字母,Q,表示；另外时间也在变，可以用,T,表示。关系,我没想好。”,学生,B,：“吹气球时气球的体积是变的，可以用,V,来表示；另外吹的时间越长吹得越大，时间是变的，可以用,T,表示。但是关系不好找。”,学生,C,：“铅笔每支,0.5,元，买的数量,M,和总价,P,都可是变量，关系是,P=0.5M,。”,2023/9/2856 学生A： “一天的温度是变化的,2024/12/1,57,但温度与时间的关系比较复杂，不妨先记为,Q=?(T),（这样记有助于将来引入抽象的函数记号）；,因为气球的种类形状很多，想一下子找到,V,和,T,的关系确实不容易。他们的关系也不妨记为,V=?(),；,教师：“这些问题很有趣，买铅笔我们得到了具体的表达式；,（在这里教师没有硬去直接讨论体积与时间的关系，而是退一步讨论体积与球半径的关系，处理比较自然，体现了转化的数学思想。）,现在我们把问题简化一下，假若气球是一个圆球，,体积就容易计算了。另外再把球半径,R,当着另一个变量，这时,V,和,R,的关系就可以表示了。”,2023/9/2857 但温度与时间的关系比较复杂，不,2024/12/1,58,教师：“很好！由于时间关系，其他同学的想法就作为课后讨论题吧。,现在，我们大家分析一下以上的问题，不难发现，,在所讨论的过程中，,0.5,元,/,支是不变的，也是不变的，是常量。,学生,D,：“,V=4,R,3,/3,”,我们说变量,T,R,M,是自变量，变量,Q,P,是自变量的,函数。这就是我们要介绍的新概念,函数（展示定义）。”,以上几个问题的共同点都有两个变量，而且是相互联系的，其中一个变量（如,T,和,R,及,M,）每取定一个值，另一个变量（如,Q,和,V,及,P),就通过相互关系唯一地确定了一个数值。,2023/9/2858 教师：“很好！由于时间关系，其,2024/12/1,59,在这个案例中，学生很容易找出变量，也知道某两个变量之间有依赖关系。是中学里最重要的概念之一，也是学生学习的难点。,但是具体给出关系式比较难。吹气球时，时间和体积究竟有没有关系,?,学生的回答是有关系，但是不知道是什么关系。,从实际事例中寻找函数关系，构造事物变化过程中的具体函数关系，就是构造函数模型。,有关系，表明是函数，但必须把关系记录下来，才得到这个函数。,2023/9/2859 在这个案例中，学生很容易找出,2024/12/1,60,列表法、图像法和解析式法都可以表示函数。不过，数学所要研究的函数，绝大多数是需要算式的。,建立函数模型、主要是找到算式表示，才能通过论证和计算解决问题。,四、关于函数的三种表示方法,要寻求算式，但又不限于算式、是掌握函数概念的一部分。,离散的数字表格，可以插值形成连续函数，图像则可以用算式逼近或数字近似。,2023/9/2860 列表法、图像法和解析式法,2024/12/1,61,根据同一表格中的数据，却得出了完全不同的结论。,这说明，图示法可以直接由表格生成，,看看一个香港的教学案例。P121,这次我们各级的教科书中很少涉及。,也可以改换角度，用另一种方法加以诠释。,2023/9/2861 根据同一表格中的数据，却得出,2024/12/1,62,函数作为“变化过程”的描述和作为“对应关系”的描述本是认识函数概念的不同的侧面，,不能说成后者比前者更好，或者“对应说是现代化的”，“变量说是陈旧的”等等。,五、微观和宏观：函数的“对应说”比“变量说”更高级,吗？,这是宏观上的把握。,在数学的应用中，需要通过行走变量之间的关系，超出客观现象的规律。,2023/9/2862 函数作为“变化过程”的描述和,2024/12/1,63,这就涉及到变量之间的对应关系。,宏观和微观是人们认识世界和社会的普遍方法。用这两种不同观点研究函数，是很正常的。,而作为数学本身对进步而言，需要在宏观的基础上，微观的考察函数、,取值唯一只是为了研究方便所进行的技术处理。,函数概念中还提到了“唯一的”,y,值。其实，“唯一”,并不是函数的核心成分。,2023/9/2863 这就涉及到变量之间的对应关系。,2024/12/1,64,在中学阶段，也有多值函数。例如平方根函数都好分成两支处理就是了。,反三角函数则用取主值支的方法进行研究。,如果不唯一，无非出现多值函数而已，多值函数在复变函数论中很重要。,对今后应用和解题也没有帮助，因此不必费太多的心思。,因此，在函数定义教学中，反复强调“唯一值”，其实无助于函数观念的建立，,2023/9/2864 在中学阶段，也有多值函数。例,2024/12/1,65,接受函数的抽象表示也是一个难点。教师给出函数的定义时，往往会有学生问“,f,和,x,是不是乘的关系？”。,因此，教学中不要直接说：“通常我们把,y,是,x,的函数，表示为,y,=,f(x),”,六、抽象地、符号地理解,f(x),的意义,这样就写出了表达式,y =,f(x),。这样表示，可以避免学生产生错觉。,而是先说“,f,代表自变量和因变量之间的对应关系，对于定义域内任意的,x,，通过对应关系,f,（刚才的,x,被括号括在内）对应出唯一的一个,y,（在黑板上刚才的式子前写下“,y=,”）”，,2023/9/2865 接受函数的抽象表示也是一个难点,2024/12/1,66,美国数学教育家杜宾斯基提出了数学概念教学的,APOS,理论，其核心思想是，,任何一个数学概念的建立，必须经各四个层次，即分为行动,(Action),，过程,(Process),，对象,(Object),，,概型,(Scheme),，,七、用美国杜宾斯基的概念教学理论进行函数教学,接着把所学习的概念能够成为一个独立的数学对象，最后在学习者的头脑中形成一个该概念的思维概型。,意思是先要学习者进行具体的数学操作，然后经历特定的数学过程，,2023/9/2866 美国数学教育家杜宾斯基提出了,2024/12/1,67,杜宾斯基在解释,APOS,理论时，经常以函数为载体进行阐述。,第一步,(,行动,),学习者用,2,对应,4,；,3,对应,9,；,4,对应,16,。这是个别值字的对应，学习者必须自己动手操作。,以这四个阶段的第一个英文字母，命名这一概念教学的理论为,APOS,理论。,这就把函数的对应思想抽象出来，或者把函数看作一台“加工机器”。于是，出现,y,=,f(x),的表示，这是一个普遍的对应过程。,第二步,(,过程,),此时进行第一次抽象，感知一般的对应：任何的对应。,2023/9/2867 杜宾斯基在解释APOS理论时,2024/12/1,68,此时，函数,f(x),是一个独立的个体。,这时的函数是一个“对象”，它略去了过程，也没有对应关系，而是将两个函数的全部内涵放在一起进行处理。,第三步,(,对象,),当我们进行了多次的尝试之后，已经获得了许多函数,(,不同的加工机器,),。,函数既有具体的变量，对应关系，还有定义域、图像，可以进行四则运算等等，他们以有机整体的方式形成函数知识模块。,第四步,(,概型,),此时，函数只是作为一个整体存在于学习者的脑海中。,2023/9/2868 此时，函数 f(x) 是一个独,作业,:,预习第五章,第二节,P134,例,3, P135,例,6,第三节,P141,例,7.,第四节,P143,例,1,例,2,第五节,P145,例,1,例,2,例,3.,2024/12/1,69,作业: 预习第五章2023/9/2869,2024/12/1,70,本章结束,2023/9/2870本章结束,