第四单元-第19讲-解直角三角形及其应用课件

,#,考点梳理自测,考法必研突破,第,19,讲解直角三角形及其应用,考点一,考点二,考点三,锐角三角函数,1,.,三角函数的概念,互余两角的三角函数关系,:sin(90,-A,),=,cos,A,;,cos(90,-A,),=,sin,A,.,考点一,考点二,考点三,2,.,特殊角的三角函数值,考点一,考点二,考点三,解直角三角形的一般类型,考点一,考点二,考点三,解直角三角形的实际应用,(,高频,),1,.,常见概念,考点一,考点二,考点三,2,.,解直角三角形的实际应用题的方法,解直角三角形的实际应用问题时,要读懂题意,分析背景语言,弄清题中各个量的具体意义及各个已知量和未知量之间的关系,把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题,具体方法如下,:,(1),紧扣三角函数的定义,寻找边角关系,;,考点一,考点二,考点三,(2),添加辅助线,构造直角三角形,.,作高是常用的辅助线添加方法,(,如图所示,),.,(3),逐个分析相关的直角三角形,利用直角三角形的边角关系求解,.,命题点,1,命题点,2,命题点,3,命题点,1,锐角三角函数,1,.,(2017,安徽,15,8,分,),提示,:,见第,1,讲第,20,题,命题点,1,命题点,2,命题点,3,2,.,(2016,安徽,15,8,分,),提示,:,见第,1,讲第,21,题,命题点,1,命题点,2,命题点,3,命题点,2,解直角三角形,3,.,(2012,安徽,19,10,分,),如图,在,ABC,中,A=,30,B=,45,AC=,2 ,求,AB,的长,.,解,:,过,C,作,CD,AB,于,D,ADC=,BDC=,90,B=,45,BCD=,B=,45,CD=BD,命题点,1,命题点,2,命题点,3,命题点,3,解直角三角形的应用,4,.,(2019,安徽,19,10,分,),筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如图,明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理,.,如图,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心,O,为圆心的圆,.,已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦,AB,的长为,6,米,OAB=,41,.,3,.,若点,C,为运行轨道的最高点,(,C,O,的连线垂直于,AB,),求点,C,到弦,AB,所在直线的距离,.,(,参考数据,:sin 41,.,3,0,.,66,cos 41,.,3,0,.,75,tan 41,.,3,0,.,88),命题点,1,命题点,2,命题点,3,解,:,连接,CO,并延长交,AB,于点,D,如图,由圆的对称性及垂径定理,得,CD,AB,AD=BD=AB=,3(,米,),.,在,Rt,AOD,中,OAB=,41,.,3,OD=,tan,OAD,AD=,tan,41,.,3,3,=,0,.,88,3,=,2,.,64(,米,),CD=OC+OD=,4,+,2,.,64,=,6,.,64(,米,),.,答,:,点,C,到弦,AB,所在直线的距离为,6,.,64,米,.,命题点,1,命题点,2,命题点,3,5,.,(2018,安徽,19,10,分,),为了测量竖直旗杆,AB,的高度,某综合实践小组在地面,D,处竖直放置标杆,CD,并在地面上水平放置一个平面镜,E,使得,B,E,D,在同一水平线上,如图所示,.,该小组在标杆的,F,处通过平面镜,E,恰好观测到旗杆顶,A,(,此时,AEB=,FED,),.,在,F,处测得旗杆顶,A,的仰角为,39,.,3,平面镜,E,的俯角为,45,FD=,1,.,8,米,问旗杆,AB,的高度约为多少米,?(,结果保留整数,)(,参考数据,:tan 39,.,3,0,.,82,tan 84,.,3,10,.,02),命题点,1,命题点,2,命题点,3,解法一,过点,F,作,AB,的垂线交,AB,于点,H,交,AE,于点,G,FH,DB,1,=,45,2,=,3,=,45,FEG=,90,.,设,AH=x,米,则,GH=x,米,FH=,(3,.,6,+x,),米,在,Rt,AFH,中,tan,AFH=,tan,39,.,3,解得,x,16,.,4,AB=AH+BH=AH+FD,18(,米,),.,答,:,旗杆,AB,的高度约为,18,米,.,命题点,1,命题点,2,命题点,3,解法二,由题意得,:,FED=,45,AEB=,FED=,45,FEA=,90,.,AB=FD,tan,AFE=,1,.,8,10,.,0218(,米,),.,答,:,旗杆,AB,高约为,18,米,.,命题点,1,命题点,2,命题点,3,6,.,(2017,安徽,17,8,分,),如图,游客在点,A,处坐缆车出发,沿,A-B-D,的路线可至山顶,D,处,假设,AB,和,BD,都是直线段,且,AB=BD=,600 m,=,75,=,45,求,DE,的长,.,(,参考数据,:sin 75,0,.,97,cos 75,0,.,26,1,.,41),命题点,1,命题点,2,命题点,3,解,:,在,Rt,ABC,中,AB=,600,m,ABC=,75,BC=AB,cos,75,600,0,.,26156(m),.,在,Rt,BDF,中,DBF=,45,DF=BD,sin,45,=,600,300,1,.,41423(m),.,四边形,BCEF,是矩形,EF=BC=,156(m),.,DE=DF+EF=,423,+,156,=,579(m),.,答,:,DE,的长为,579,m,.,命题点,1,命题点,2,命题点,3,7,.,(2016,安徽,19,10,分,),如图,河的两岸,l,1,与,l,2,相互平行,A,B,是,l,1,上的两点,C,D,是,l,2,上的两点,.,某人在点,A,处测得,CAB=,90,DAB=,30,再沿,AB,方向前进,20,米到达点,E,(,点,E,在线段,AB,上,),测得,DEB=,60,求,C,D,两点间的距离,.,命题点,1,命题点,2,命题点,3,命题点,1,命题点,2,命题点,3,8,.,(2015,安徽,18,8,分,),如图,平台,AB,高为,12,米,在,B,处测得楼房,CD,的仰角为,45,底部点,C,的俯角为,30,求楼房,CD,的高度,.,(1,.,7),命题点,1,命题点,2,命题点,3,考法,1,考法,2,考法,3,锐角三角函数,例,1(2017,湖北宜昌,),ABC,在网格中的位置如图所示,(,每个小正方形边长为,1),AD,BC,于,D,下列选项中,错误的是,(,),A.sin,=,cos,B.tan,C=,2,C.sin,=,cos,D.tan,=,1,答案,:,C,解析,:,先构建直角三角形再根据三角函数的定义解答,方法总结,求锐角的三角函数,首先要确定在哪个直角三角形中考察,其次要清楚所求的是哪两边之比,.,常通过,“,等角代换,”,将所求的锐角的三角函数转化到另外的直角三角形中考查,.,考法,1,考法,2,考法,3,对应练,1(2018,贵州贵阳,),如图,A,B,C,是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为,1,则,tan,BAC,的值为,(,),B,考法,1,考法,2,考法,3,对应练,3(2019,安徽合肥庐阳期末,),求值,:sin,2,45,+,3tan 30,tan 60,-,2cos 60,.,考法,1,考法,2,考法,3,解直角三角形,例,2(2018,四川自贡,),如图,在,ABC,中,BC=,12,tan,A=,B=,30,求,AC,和,AB,的长,.,分析,:,作,CH,AB,于,H.,在,Rt,BHC,中求出,CH,BH,在,Rt,ACH,中求出,AH,AC,即可解决问题,.,考法,1,考法,2,考法,3,方法总结,锐角三角函数沟通了直角三角形边角之间的关系,当三角形不是直角三角形时,常通过作高构造直角三角形解决,.,考法,1,考法,2,考法,3,对应练,4(2018,浙江金华,),如图,两根竹竿,AB,和,AD,斜靠在墙,CE,上,量得,ABC=,ADC=,则竹竿,AB,与,AD,的长度之比为,(,),B,考法,1,考法,2,考法,3,考法,1,考法,2,考法,3,考法,1,考法,2,考法,3,考法,1,考法,2,考法,3,解直角三角形的应用,例,3(2019,浙江绍兴,),如图,1,为放置在水平桌面,l,上的台灯,底座的高,AB,为,5 cm,.,长度均为,20 cm,的连杆,BC,CD,与,AB,始终在同一水平面上,.,(1),旋转连杆,BC,CD,使,BCD,成平角,ABC=,150,如图,2,求连杆端点,D,离桌面,l,的高度,DE,;,(2),将,(1),中的连杆,CD,绕点,C,逆时针旋转,使,BCD=,165,如图,3,问此时连杆端点,D,离桌面,l,的高度是增加了还是减少了,?,增加或减少了多少,?(,精确到,0,.,1 cm,参考数据,:,考法,1,考法,2,考法,3,分析,:,(1),如图,2,中,作,BO,DE,于,O.,解直角三角形求出,OD,即可解决问题,.,(2),作,DF,l,于,F,CP,DF,于,P,BG,DF,于,G,CH,BG,于,H.,则四边形,PCHG,是矩形,求出,DF,再求出,DF-DE,即可解决问题,.,解,:,(1),过点,B,作,BO,DE,垂足为,O,如图,2,则四边形,ABOE,是矩形,OBD=,150,-,90,=,60,DO=BO,sin,60,=,40,sin,60,=,20 (cm),DE=DO+OE=DO+AB=,20,+,539,.,6(cm),.,考法,1,考法,2,考法,3,(2),减少了,.,如图,3,过点,D,作,DF,l,于点,F,过点,C,作,CP,DF,于点,P,过点,B,作,BG,DF,于点,G,过点,C,作,CH,BG,于点,H,则四边形,PCHG,为矩形,CBH=,60,BCH=,30,又,BCD=,165,DCP=,45,考法,1,考法,2,考法,3,方法总结,解这类实际应用问题,关键是要将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系,即把实际问题抽象成数学模型,(,构造直角三角形,),然后根据直角三角形边、角以及边角关系求解,.,解题时应注意弄清仰角、俯角、水平距离、坡度,(,坡比,),、坡角等概念的意义,认真分析题意,观察图形,(,或画图,),找出要解的直角三角形,选择合适的边角关系式计算,并按照题中要求的精确度确定答案,注明单位,.,在一些问题中,如斜三角形问题,要根据需要添加辅助线,构造出直角三角形,从而转化为解直角三角形的问题,.,解题时方法要灵活,选择关系时尽量考虑用原始数据,减小误差,.,考法,1,考法,2,考法,3,对应练,7(2019,广西北部湾,),小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度,.,如图,已知她的目高,AB,为,1,.,5,米,她先站在,A,处看路灯顶端,O,的仰角为,35,再往前走,3,米站在,C,处,看路灯顶端,O,的仰角为,65,则路灯顶端,O,到地面的距离约为,(,已知,sin 35,0,.,6,cos 35,0,.,8,tan 35,0,.,7,sin 65,0,.,9,cos 65,0,.,4,tan 65,2,.,1)(,),A.3,.,2,米,B.3,.,9,米,C.4,.,7,米,D.5,.,4,米,C,考法,1,考法,2,考法,3,解析,:,过点,O,作,OE,AC,于点,E,延长,BD,交,OE,于点,F,设,DF=x,OF=,(3,+x,)tan,35,2,.,1,x=,0,.,7(3,+x,),x=,1,.,5,OF=,1,.,5,2,.,1,=,3,.,15,OE=,3,.,15,+,1,.,5,=,4,.,65,故选,C,.,考法,1,考法,2,考法,3,对应练,8(2018,山东枣庄,),如图,某商店营业大厅自动扶梯,AB,的倾斜角为,31,AB,的长为,12,米,则大厅两层之间的高度为,米,.,(,结果精确到,0,.,1,米,)(,参考数据,;sin 31,=,0,.,515