高级宏观经济学数学附录正规版资料

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高级宏观经济学数学(shxu)附录,第一页，共43页。,1,数学(shxu)基础,1、矩阵(j zhn)代数,2、微积分,第二页，共43页。,2,一、矩阵(j zhn)代数,1、特征值和特征向量,令A是nn方阵，v是非零的n维向量，a是纯量（实数或复数），使得Av=av，则称a是A的特征值，v是A对应于特征值的特征向量。,上式可写成：(A-aI)v=0,如果想要v不为(b wi)零，则（A-aI)的行列式必为零，即det(A-aI)=0。该式被称为特征方程。,特征方程的解就是A的特征值，每一个特征值都确定一个特征向量。,第三页，共43页。,3,2、矩阵的对角化,将矩阵A的特征向量组成(z chn)一个矩阵V（特征向量矩阵），将A的特征值组成(z chn)一个对角矩阵D，则：V-1 AV=D,3、结论,第一，如果所有的特征值都不相同，那么特征向量矩阵是非奇异的，即det(V)0。,第二，特征值对角矩阵的行列式与迹（主对角线上各元素之和）分别等于原始矩阵的行列式与迹。,第四页，共43页。,4,概念(ginin)检验,已知矩阵(j zhn),计算(j sun)该矩阵的特征值、特征向量、对角矩阵、特征向量矩阵及其逆矩阵。,第五页，共43页。,5,构造(guzo)：,特征(tzhng)多项式：,特征值：,特征值对角(du jio)矩阵：,第六页，共43页。,6,第三十八页，共43页。,构造(guzo)拉格朗日函数：,动态(dngti)最优化,初始条件为y1(0)=1和终端条件,例1：一阶线性自控常微分方程：,1、系数矩阵的两个特征值是正实数(shsh)，系统不稳定。,2、泰勒(ti l)定理,第四十一页，共43页。,第一，如果所有的特征值都不相同，那么特征向量矩阵是非奇异的，即det(V)0。,对定积分(jfn)微分,当f(x1,x2)=0时，隐含着x2是x1的一个(y)函数，隐函数定理用来计算x2对x1的导数：,的轨迹是直线(zhxin)y21,2、解析(ji x)解,上式可写成：(A-aI)v=0,如果想要v不为(b wi)零，则（A-aI)的行列式必为零，即det(A-aI)=0。,因此，方程(fngchng)有两个稳态。,-,每个特征值对应(duyng)一个特征向量,将其中(qzhng)一个标准化为1,同理可计算(j sun)出v2,特征向量矩阵,第七页，共43页。,7,特征向量矩阵(j zhn)的逆矩阵(j zhn),特征向量矩阵(j zhn)的余子式矩阵(j zhn),伴随矩阵(j zhn)等于余子式矩阵(j zhn)的转置矩阵(j zhn),第八页，共43页。,8,二、微积分中的一些(yxi)有用结论,1、隐函数法则,当f(x1,x2)=0时，隐含着x2是x1的一个(y)函数，隐函数定理用来计算x2对x1的导数：,快速(kui s)问答：下式中x2对x1的导数等于多少？,第九页，共43页。,9,2、泰勒(ti l)定理,令f（x）是一元函数。泰勒定理认为(rnwi)围绕点x*的函数的近似式为：,f(x1,x2)围绕(wiro)(x1*,x2*)的线性近似为：,泰勒定理可用于将非线性函数进行线性近似。,第十页，共43页。,10,3、罗必塔法则(fz)：用于计算0/0和/不定型。,分部(fn b)积分,4、微分(wi fn),第十一页，共43页。,11,概念检验：计算(j sun)积分,解答(jid),第十二页，共43页。,12,5,、微积分的基本原理,对原函数F(t)微分(wi fn)得到导数f(t)。,不定积分(b dn j fn),定积分(jfn),积分是微分的逆过程。,第十三页，共43页。,13,6、积分(jfn)的微分法则,不定积分对积分变量t的导数就是积分函数(hnsh)自身。,对定积分(jfn)微分,令,F(a,b,c),为描述,f(c,t),的定积分的函数，其中,a,和,b,分别是积分的下限和上限，,c,是一个参数。,对不定积分的微分,第十四页，共43页。,14,对定积分微分(wi fn)的莱布尼兹法则,第十五页，共43页。,15,微分方程(wi fn fn chn),微分方程是研究动态经济学的基本工具(gngj)。通过计算微分方程来分析变量的具体时间路径，以及能否收敛于均衡。,第十六页，共43页。,16,一、导论,变量为导数的方程称为微分方程。,如果只有一个自变量，称为常微分方程（ODE）。,常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。,宏观(hnggun)经济学使用的ODE都是对时间的导数。,例：,若x(t)是常数，方程被称为自控的（一个方程仅通过变量y而依赖于时间t,即t不独立出现）。,若x(t)0，方程被称为齐次的。,第十七页，共43页。,17,微分方程(wi fn fn chn)的解法,求解微分方程的目的在于找到变量的变化特征。,第一种解法：图解法。只能用于自控方程。,第二种解法：解析法。可以找到精确的解，只能用于线性函数。,第三种解法：数值分析。使用(shyng)现存软件，如Matlab的子程序ODE23和ODE45。,第十八页，共43页。,18,二、一阶常微分方程(wi fn fn chn)的解法,1、图解法。,例1：一阶线性自控常微分方程：,其中a和x是常数且大于0。,以y为横轴，以 为纵轴。由于 是y对时间的导数，因此，为正时，意味着y随着时间的变化(binhu)而增加；为负则减少。,第十九页，共43页。,19,图形为直线。,在纵轴的截距为-x，在横轴的截距为-x/a。,在y*点，0，即y不会随时间而变化，y*称为y的稳态值。,当yy*,0,y随时间而减少。反之(fnzh)则增加。,练习：当a0的动态。,y,y*,当直线的斜率为负时方程是稳定(wndng)的：无论初始值y(0)在何处，y(t)都将回到y*。,稳态值,第二十页，共43页。,20,例2：非线性函数(hnsh)的动态。,微分方程：,其中s、和都是正常数，且0且a220：系统(xtng)不稳定。,情形2：a110且a220：系统(xtng)稳定。,情形3：a110：鞍点路径稳定。,y1,y2,鞍点路径稳定(wndng)的相位图,稳定臂,不稳定臂,原点是稳态。鞍点路径既不是稳定又不是不稳定的。系统只有(zhyu)从横轴开始才会回到稳态。,结论：对角系统的稳定性依赖于系数的符号。若两者都为正，系统不稳定；若两者都为负，系统稳定；若两者异号，系统是鞍点路径稳定。,稳态,第二十八页，共43页。,28,（2）非对角系统,初始条件为y1(0)=1和终端条件,的轨迹是直线(zhxin)y21,在直线(zhxin)的下方，y21，即在该区域y1递增；同理，在直线(zhxin)的上方区域y1递减。,的轨迹是直线(zhxin)y1=10,在直线(zhxin)的左边，y2递减；右边递增。,第二十九页，共43页。,29,具有鞍点路径稳定性的非对角(du jio)系统的相位图,y,1,y,2,10,稳定臂,不稳定臂,稳态,第三十页，共43页。,30,非对角(du jio)系统稳定性：结论,1、系数矩阵的两个特征值是正实数(shsh)，系统不稳定。,2、两个特征值是负实数(shsh)，系统稳定。,3、两个特征值是实数(shsh)但异号，系统是鞍点路径稳定。,4、两个特征值是有负实部的复数，系统振荡收敛。,5、两个特征值是有正实部的复数，系统振荡且不收敛。,6、两个特征值是有零实部的复数，系统轨迹是环绕稳态运动的椭圆。,7、两个特征值相等，解为y(t)=(b1+b2t)eat,第三十一页，共43页。,31,（3）非线性系统,解答：的轨迹为：c=k;轨迹为k=10。,将k和c的动态结合到一起，系统的稳态是两条轨迹的交点(jiodin)。,系统是鞍点路径稳定的。,第三十二页，共43页。,32,k,c,稳定臂,不稳定臂,具有鞍点路径稳定的非线性系统(xtng)的相位图,第三十三页，共43页。,33,2、解析(ji x)解,（1）线性齐次系统(xtng),y(t)是一个n1列向量，A是nn常系数(xsh)矩阵。,解法：,假设,z(t)=V,-1,y(t),，则,其中，,V,是特征向量矩阵，,D,是特征值的对角矩阵。,先解出,z(t),，然后可解出,y(t),。,第三十四页，共43页。,34,（2）线性非齐次系统(xtng),解法与其次(qc)系统相同。,练习：求解(qi ji)以下线性系统的解。,第三十五页，共43页。,35,结论：对角系统的稳定性依赖于系数的符号。,伴随矩阵(j zhn)等于余子式矩阵(j zhn)的转置矩阵(j zhn),3、罗必塔法则(fz)：用于计算0/0和/不定型。,2、汉密尔顿对控制变量的倒数(do sh)为零。,例2：非线性函数(hnsh)的动态。,同理，在直线(zhxin)的上方区域y1递减。,其中a和x是常数且大于0。,1、系数矩阵的两个特征值是正实数(shsh)，系统不稳定。,解法与其次(qc)系统相同。,概念检验：计算(j sun)积分,2、泰勒(ti l)定理,（2）线性非齐次系统(xtng),其中(qzhng)，、y(t)和x(t)是n维列向量，A是常系数的nn方阵。,三、线性常微分方程(wi fn fn chn)系统,第二：两边同乘以eat并积分；,使用(shyng)现存软件，如Matlab的子程序ODE23和ODE45。,解题(ji t)思路,在z前乘以V可以得到(d do)原变量的解：,时间(shjin)t,y,1,(t),1,10,y,1,(t),的解,第三十六页，共43页。,36,静态(jngti)最优化,第三十七页，共43页。,37,一、无约束极大值,一元函数在闭区间a,b中极大值条件：,在极大值处，一阶导数为零，二阶导数小于零。,多元函数极大值条件：,必要条件是在该点处所有偏导数等于零，充分条件(chn fn tio jin)是函数严格凹（海赛矩阵是负定的）。,第三十八页，共43页。,38,二、古典(gdin)非线性规划,1、等式(dngsh)约束：优化问题 maxu(x1,xn),s.t.g(x1,xn)=a,构造(guzo)拉格朗日函数：,L（x1,xn，）=u(x1,xn)+a-g(x1,xn),将拉格朗日函数对每个变量求偏导等于零得：,Du(x)=Dg(x),即约束极大值的必要条件是在极大值处目标函数的梯度与约束函数的梯度成比例。比例因子就是拉格朗日乘数。,第三十九页，共43页。,39,2、不等式约束(yush)：库恩塔克条件,优化问题：max u(x1,xn),s.t.g1(x1,xn)a1,-,gm(x1,xn)am,库恩塔克条件(tiojin)：,Du(x)=iDgi(x),gi(x)ai，i0,ia-gi(x)=0 该条件(tiojin)被成为互补松弛性条件(tiojin),第四十页，共43页。,40,方法(fngf)1：贝尔曼的动态规划,方法(fngf)2：庞特里亚金的极大值原理,动态(dngti)最优化,第四十一页，共43页。,41,一、典型(dinxng)问题,问题(wnt)：,约束条件：,转移(zhuny)方程,非蓬齐博弈,c(t),是控制变量，,k(t),是状态变量。,第四十二页，共43页。,42,二、动态最优化求解(qi ji)步骤,1、构造(guzo)汉密尔顿函数,2、汉密尔顿对控制变量的倒数(do sh)为零。,3,、汉密尔顿对状态变量的倒数等于负的乘子对时间的倒数。,4,、横截