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,最短路径问题,（一）,最值问题,最多,最少,最长,最短,最胖,最瘦,“,最短路径问题”,复习,1,如图，连接,A,、,B,两点的所有连线中，哪条最短？,为什么？,路线,最短,两点之间，线段最短,点,P,是直线,l,外一点，点,P,与该直线,l,上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？,复习,2,PC,最短,垂线段最短,如图，在,直线,l,上求作一点,C,，使得,CA,+,CB,最短,引例,作法：,连接,AB,，交直线,l,于点,C,点,C,即为所求,.,依据：,两点之间，线段最短,.,C,如图，牧马人从,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,图形语言,如图，,在直线,l,上,求作一点,C,，使,CA,+,CB,最,短,文字语言,符号,语言,例,如图，,在直线,l,上求作一点,C,，使,CA,+,CB,最短,.,例,如图，,在直线,l,上求作一点,C,，使,CA,+,CB,最短,.,例,C,思考：,A,、,B,在直线,l,同侧,A,、,B,在直线,l,异侧,能否,通过图形的变化（轴对称、平移等,），,将,问题转化为我们研究过的问题呢？,如图，,在直线,l,上求作一点,C,，使,CA,+,CB,最短,.,C,例,C,如图，,在直线,l,上求作一点,C,，使,CA,+,CB,最短,.,问题转化为：,在直线,l,上求作一点,C,，,使,CA,+,CB,最短,.,例,如图，,在直线,l,上求作一点,C,，使,CA,+,CB,最短,.,作法：,（1）作点,B,关于直线,l,的对称点,B,；,（2）连接,A B,交直线,l,于点,C,；,（3）则点,C,即为所求的点.,例,如图，,在直线,l,上求作一点,C,，使,CA,+,CB,最短,.,例,C,思考,：,如何证明这,条路径最短？,在,直线上另外任取一点,C,，,连接,AC,，,BC,，,B C,证明,：,B,和,B,关于直线,l,对称,BC,=,BC,，,BC,=,BC,.,需证明：,CA,+,CB,C,A,+,C,B,如图，,在直线,l,上求作一点,C,，使,CA,+,CB,最短,.,例,C,思考,：,如何,证明这条路径最短？,在,直线上另外任取一点,C,，,连接,AC,，,BC,，,B C,证明,：,B,和,B,关于直线,l,对称,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,.,需证明：,CA,+,CB,C,A,+,C,B,由,两,点之间，线段最短,：,AB,AC,+,C B,，,AC,+,BC,AC,+,BC,，,如图，,在直线,l,上求作一点,C,，使,CA,+,CB,最短,.,例,C,思考,：,如何,证明这条路径最短？,在,直线上另外任取一点,C,，,连接,AC,，,BC,，,B C,证明,：,B,和,B,关于直线,l,对称,需证明：,CA,+,CB,C,A,+,C,B,由,两,点之间，线段最短,：,AB,AC,+,C B,，,AC,+,BC,AC,+,BC,，,AC,+,BC,AC,+,CB,.,BC,=,BC,，,BC,=,BC,.,如图，牧马人从,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,例,如图，,在直线,l,上求作一点,C,，使,CA,+,CB,最短,.,例,将实际问题抽象成数学问题，用数学语言表达,总结：,利用轴对称转移线段，将问题,转化为研究过的引例：即两点之间，线段最短的,问题,用符号语言证明结论,有两棵树位置如图，树的底部分别为,A,，,B,，地上有一只昆虫沿着,A,B,的路径在地面上爬行,小树顶,D,处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶,C,处,问小鸟飞至,AB,之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置,在,AB,上求作一点,P,，使得,PC,+,PD,最短,练习,在,AB,上,求作一点,P,，使得,PC,+,PD,最,短,作法：,（,1）作,点,C,关于,AB,的对称点,C,；,（2）,连接,D,C,交,AB,于点,P,；,（3）则,点,P,即,为所求的点,.,C,有两棵树位置如图，树的底部分别为,A,，,B,，地上有一只昆虫沿着,A,B,的路径在地面上爬行,小树顶,D,处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶,C,处,问小鸟飞至,AB,之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置,练习,作法：,（,1）作,点,D,关于,AB,的对称点,D,；,（2）,连接,CD,交,AB,于点,P,；,（3）则,点,P,即所,求的点.,P,如图，已知点,D,，,点,E,分别是等边三角形,ABC,中,BC,、,AB,边的中点，,AD,=,5,，点,F,是,AD,边上的动点，则,BF,+,EF,的最小值为,_.,例,例,如图，已知点,D,，,点,E,分别是等边三角形,ABC,中,BC,、,AB,边的中点，,AD,=,5,，点,F,是,AD,边上的动点，则,BF,+,EF,的最小值为,_.,方法：,利用轴对称转移线段，将问题,转化为研究过两点之间，线段最短的问题,.,问题：,B,和,E,，作哪个点的对称点更,好,？,例,如图，已知点,D,，,点,E,分别是等边三角形,ABC,中,BC,、,AB,边的中点，,AD,=,5,，点,F,是,AD,边上的动点，则,BF,+,EF,的最小值为,_.,如图，已知点,D,，,点,E,分别是等边三角形,ABC,中,BC,、,AB,边的中点，,AD,=,5,，点,F,是,AD,边上的动点，则,BF,+,EF,的最小值为,_.,思路：,B,和,C,关于直线,AD,对称,BF,=,CF,若,BF,+,EF,最小，只需,CF,+,EF,最小,由两点之间，线段最短可知：,线段,CE,的长即为,BF,+,EF,的最小值,.,例,如图，已知点,D,，,点,E,分别是等边三角形,ABC,中,BC,、,AB,边的中点，,AD,=,5,，点,F,是,AD,边上的动点，则,BF,+,EF,的最小值为,_.,例,思路：,B,和,C,关于直线,AD,对称,BF,=,CF,若,BF,+,EF,最小，只需,CF,+,EF,最小,由两点之间，线段最短可知：,线段,CE,的长即为,BF,+,EF,的最小值,.,D,、,E,是等边,ABC,中,BC,、,AB,的中点,CE,=,AD,=5.,总结：,分析题目中的定点和动点，转化为我们熟悉的最短路径问题,利用等边三角形的轴对称性找到合适的对称点,如图，已知点,D,、点,E,分别是等边三角形,ABC,中,BC,、,AB,边的中点，,AD,=5,，点,F,是,AD,边上的动点，则,BF,+,EF,的最小值为,_.,例,课堂小结,最短路径问题,如图，在,直线,l,上求作一点,C,，使得,CA,+,CB,最短,最短路径问题,依据：两点之间，线段最短,关键：利用轴对称实现线段的转移,需要注意的细节,区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴,利用图形的轴对称性，会简化过程,课堂小结,如图，,P,、,Q,为,ABC,边上的两个定点，在,BC,边上求作一点,M,，使,PM,+,MQ,最短,课后作业,
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