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1,第二讲 运动学基础,2,运动的分解：固定坐标，瞬时坐标 （,1,、,2,、,3,、,4,、,5,）,速度和加速度的关联性 （,6,、,7,、,8,、,9,）,相对运动,两线交点的运动 （,12,、,13,）,矢量投影法 （,14,、,15,）,（,10,、,11,）,3,1,.,轰炸机在,h,高处以,v,0,沿水平方向飞行，水平距离为,L,处有一目标。,(1),飞机投弹要击中目标，,L,应为多大？,(2),在目标左侧有一高射炮，以初速,v,1,发射炮弹。若炮离目标距离,D,，为要击中炸弹，,v,1,的最小值为多少？,(,投弹和开炮是同一时间,),。,3,4,(1),炸弹飞行时间,(2),在地面参照系中，炮弹和炸弹做的都是曲线运动，不易研究我们可以取炸弹为参照物，只要炮弹的合速度指向飞机即可在炸弹参照系中，不用考虑,g,，炮弹有一水平向左的速度,v,0,和,v,1,，要,v,0,和,v,1,的合速度沿,BA,方向，而且又要,v,1,最小，显然要,v,1,垂直于,BA,，此时,由,v,0,t=L,可得,5,v,1,取这个最小值的条件是炸弹尚未落地，即炮弹的飞行时间要小于炸弹飞行时间,将,L,代人，即：,6,(3),若,*,炸弹平抛,炮弹斜抛,可解得,最后,炮弹恰好击中它，此时,v,1,最小。在地面系中,则只能在炸弹刚落地时，,7,2.,灯挂在离地板高,h,、天花板下,H,-,h,处。灯泡爆破，所有碎片以同样大小的初速度,v,0,朝各个方向飞去，求碎片落到地面上的半径,R,。,(,可认为碎片与天花板的碰撞是弹性的，与地面是完全非弹性的。,),若,H,=5m,，,v,0,=10m/s,，,g,=10m/s,2,求,h,为多少时，,R,有最大值并求出该最大值。,3,8,(1),假设碎片不会碰顶，应有,此时,时，,可见，当,配方,9,(2),若,h,不满足上述要求，则以,角飞出的碎片将撞击天花板，飞行轨迹发生变化此时，抛得最远的碎片应该是未撞击天花板而最高点恰好和天花板相切的碎片这时有,由以上三式可解得：,即,以上假设要求,10,(3),因为,所以最后的结果是当,h=3,75m,时，,R,有最大值,12,99m,求极值，可得当,h=3.75m,时,R,有极大值,下面再考虑碎片碰顶的情况,此时,所以在不碰顶时，,h,越大,R,越大,h,可取的最大值是,11,3.,一质量为,的小球自离斜面上,处高为,的地方自由落下。若斜面光滑，小球在斜面上跳动时依次与斜面的碰撞都是完全弹性的，欲使小球恰能掉进斜面上距,点为,的,处小孔中，则球下落高度,应满足的条件是什么？（斜面倾角,为已知）,12,解：取如图所示的,x,-,y,坐标，小球第一次弹起的速度为,v,0,a,x,=,g sin,a,y,=-,gcos,v,0,x,=,v,0,sin,v,0,y,=,v,0,cos,相邻两次与斜面的碰撞之间的时间,小球在,x,方向上作匀加速运动，第一次弹起的距离,13,以后每碰一次，都比前一次增加,因此,n,次碰撞下行的总距离,又,14,4.,速度,v,0,与水平方向成角,抛出石块，石块沿某一轨道飞行。如果蚊子以大小恒定的速率,v,0,沿同一轨道飞行。问蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度？空气阻力不计。,15,解：蚊子作匀速率运动，因此只有法向加速度,a,石子飞行高度,在,/,2,处的速度：,v,x,=,v,0,cos,v,y,=,飞行方向,=,可得,g,的法向分量,a,n,=,g cos,这就是石子此时的法向加速度，因此有,可以得到,16,蚊子的向心加速度,17,5.,快艇系在湖面很大的湖的岸边（湖岸线可以认为是直线），突然快艇被风吹脱，风沿着快艇以恒定的速度,沿与湖岸成,的角飘去。你若沿湖岸以速度,行走或在水中以速度,游去，（,1,）人能否赶上快艇？（,2,）要人能赶上快艇，快艇速度最多为多大？,3,（两种解法）,18,原解,：,设人先在岸上跑,t,1,，再在水中游,t,3,（如图）,如果,t,3,0,，故当,0.49,t,1,t,2,2.59,t,1,时能追上。,19,原解：用矢量图解：,从,O,点开始，过了,t,1,秒，人到,A,点，艇到,B,点。将人在水中的速度沿,OB,和,AB,两个方向分解，并使其沿,OB,方向的分量,v,2,恰好等于,v,0,，那么人和艇在,OB,方向上相对静止，靠,v,2,人就一定能追上艇。,(,关键是上述分解能否进行,),在下图中,故有,要求,有,AE,=,v,1,(,定值,),20,再看,角，显然，,v,0,越大，,越大，但,太大了，,v,2,就可能够不到,EC,，因此，要求,v,2,能够上,EC,的最大的,角。,在直角 中，由于,，故,max,=30,=60-15=45,故,（即,v,0,）的最大值为：,21,v,1,t,1,v,2,(t-t,1,),v,m,t,利用费马原理可知。最省时的追赶路线是,可得,=30,0,。在位移,中用正弦定律,由,只要船速,v,0,v,m,，总可以追上。,又解：,22,6.,已知：如图所示装置，,v,1,，,，,，,，,求,v,2,O,A,B,C,23,O,A,B,C,因为,O,点围绕,A,点做圆周运动，所以,V,的方向垂直于,OA,，于是由,O,、,B,两点速度关联有：,同样，,由,O,、,C,两点速度关联有：,由以上两式可解得：,24,7.,如图所示，合页构件由两菱形组成，边长分别为,L,和,L,，若顶点,以匀加速度,水平向右运动，当,BC,垂直于,OC,时，,A,点速度恰为,v,，求此时节点,和节点,C,的加速度各为多大,?,思考：如果是在,OC,和,BC,成一般角,的时候呢？,25,因为,OB,的长度总是,OA,长度的,2/3,，所以,C,点的速度沿,CB,方向：,C,点的向心加速度,:,C,点的切向加速度,和,向,x,方向投影之和等于 ，,可求出,。,26,8.,一根长为,l,的薄板靠在竖直的墙上。某时刻受一扰动而倒下，试确定一平面曲线,f,(,x,y,)=0,，要求该曲线每时每刻与板相切。,(,地面水平,),。,27,设某一时刻，,A,、,B,两端的速度分别为,v,A,和,v,B,那么有,因为要求曲线处处与杆相切，则杆上该切点,C,的速度方向一定是沿杆方向的设,C,点离,A,端的距离为,a,，,x,、,y,方向的分速度分别为,v,A,和,v,y,，那么应该有,因此该曲线的参数方程为,曲线的直角坐标方程,由,有,28,9.,一三角板两直角边分别长,a,、,b,。开始时斜面靠在,y,轴上，板面垂直于墙，然后,A,、,B,分别沿,y,轴和,x,轴运动。求斜边完全与,x,轴重合时，,C,点所经的路程。,B,a,b,C,A,y,x,O,29,(1),任意时刻，,A,、,B,、,C,、,O,四点共圆，因此有,是一个定值，即,C,点始终在,y=tanx,直线上运动,(2),由关联速度可知，,C,点的速度,v,C,和,B,点的速度,v,B,沿,BC,的分量必须相等同理，,v,C,和,v,A,沿,AC,的分量也必须相等因此，当,BC,也垂直于,x,轴时，,v,C,=O,这个位置就是,C,点由向上运动转而向下运动的转折点所以,C,点经过的总路程,30,10.,一只船以,4m/s,的速度船头向正东行驶，海水以,3m/s,的速度向正南流，雨点以,10m/s,的收尾速度竖直下落。求船中人看到雨点的速度,31,列式,2,。作图：如右图,3,。计算,方向可用,BDC,和,ADB,来表示,A,32,11,。一滑块,p,放在粗糙的水平面上，伸直的水平绳与轨道的夹角为,，手拉绳的另一端以均匀速度,v,0,沿轨道运动，求这时,p,的速度和加速度。,2,33,解：由于水平面很粗糙，不沿绳方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此,P,的速度一定沿绳的方向那么,P,的速度,在,Q,系中，,P,有一个垂直于,PQ,的速度,现取,Q,为参照系因为,Q,无加速度，所以,P,在,Q,系中的加速度等于,P,在地面系中的加速度,34,因为,很小，所以,cos=1,，,sin=,，因此,以上的,a,t,，对自学过高等数学的同学，很容易通过求导得出因此,35,12.,如下图，,v,1,、,v,2,、,已知，求交点的,v,0,.,2,36,解,1,：,在,AA,O,中算出,OA,在,OBB,中算出,OB,（,=A,O,）,在,中算出,37,解：,速度叠加法,令,1,不动，交点在,1,上的速度,v,2A,=v,2,/sin,;,令,2,不动，交点在,2,上的速度,v,1A,=v,1,/sin,38,13,两个半径为,R,的圆环，一个静止，另一个以速度,v,0,自左向右穿过。求如图的,角位置（两圆交点的切线恰好过对方圆心）时，交点,A,的速度和加速度。,39,解：,A,沿圆环运动，其,x,方向分量,又,A,在水平方向匀速运动,a,x,=0,可将,a,分解在切向,a,t,和法向,a,n,，有：,(,也可用微元法求,v,A,),40,14.,缠在轴上的线被绕过滑轮,后，以恒定速度,拉出。这时线轴沿水平平面无滑动滚动。求线轴中心点,的速度随线与水平方向的夹角,的变化关系。线轴的内、外半径分别为,和,。,41,解：轴上,A,点同时参与两个运动：一个是,O,点的平动（速度为,v,），另一个是围绕,O,点的转动，速度为,r,，因为轮和地面之间无滑动，所以有,即,将上式投影到,AB,线的方向上，,将,=,v,/,R,代入，可求得,特殊地，当,即,时，,有,42,15.,一个半径为,R,的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为,a,的匀加速运动在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动,(,如图,),当半圆柱体的速度为,v,时，杆与半圆柱体接触点,P,与柱心的连线与竖直方向的夹角为,，求此时竖直杆运动的速度和加速度,2,43,(1),取半圆柱体作为参照系在此参照系中，,P,点做圆周运动，即,V,杆柱,的方向沿着圆上,P,点的切线方向根据题意，,P,的方向是竖直向上的因为,所以可画出矢量三角形,PAB,，由此可知,(2),在半圆柱体参照系中，,P,点的加速度由切向加速度和法向加速度构成，即,其中,44,由相对运动公式，可知,式的矢量图如图所示将式中的各矢量向半径方向上投影，可得,此方法重要！,
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