资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第八节 二项分布及其应用（理）,一、条件概率及其性质,1,条件概率的定义,设,A,、,B,为两个事件，且,P,(,A,),0,，称,P,(,B,|,A,),为,在事件,A,发生的条件下，事件,B,发生的条件概率,2,条件概率的求法,求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概,型概率公式，即,P,(,B,|,A,),.,3,条件概率的性质,(1),条件概率具有一般概率的性质，即,0,P,(,B,|,A,)1.,(2),如果,B,和,C,是两个互斥事件，则,P,(,B,C,|,A,),P,(,B,|,A,),P,(,C,|,A,),二、事件的相互独立性,1,设,A,、,B,为两个事件，如果,P,(,AB,),，则称事件,A,与事件,B,相互独立,2,如果事件,A,与,B,相互独立，那么 ，,也都相互独立,P,(,A,),P,(,B,),“相互独立”与“事件互斥”有何不同？,提示：,两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响,.,两事件相互独立不一定互斥,.,三、二项分布,在,n,次独立重复试验中，设事件,A,发生的次数为,X,，在每,次试验中事件,A,发生的概率为,p,，那么在,n,次独立重复试,验中，事件,A,恰好发生,k,次的概率为,P,(,X,k,),(,k,0,1,2,，,，,n,),此时称随机变量,X,服从二项分布，记作,，并,称,为成功概率,(1,p,),n,k,X,B,(,n,，,p,),p,1,甲射击命中目标的概率为,0.75,，乙射击命中目标的概率,为 ，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概,率为,(,),B.1,解析：,答案：,C,P=,2,在,4,次独立重复试验中，随机事件,A,恰好发生,1,次的概率,不大于其恰好发生两次的概率，则事件,A,在一次试验中,发生的概率,p,的取值范围是,(,),A,0.4,1 B,(0,0.4,C,(0,0.6 D,0.6,1),解析：,答案：,A,3,甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，,一年中下雨天甲市占,20%,，乙市占,18%,，两市同时下雨,占,12%.,则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为,(,),A,0.6 B,0.7,C,0.8 D,0.66,解析：,甲市为雨天记为,A,，乙市为雨天记为,B,，,则,P,(,A,),0.2,，,P,(,B,),0.18,，,P,(,AB,),0.12,，,P,(,B,|,A,),答案：,A,4,在,4,次独立重复试验中事件,A,出现的概率相同，若事件,A,至少发生一次的概率为 ，则事件,A,在,1,次试验中出现,的概率为,_,解析：,A,至少发生一次的概率为 ，则,A,的对立事件：事件,A,都不发生的概率为,1-,，所以，,A,在一次试验中出现的概率为,答案：,5,某机械零件加工由,2,道工序组成，第,1,道工序的废品率,为,a,，第,2,道工序的废品率为,b,，假定这,2,道工序出废品,是彼此无关的，那么产品的合格率是,_,解析：,合格率为,(1,a,)(1,b,),ab,a,b,1.,答案：,ab,a,b,1,1,区分条件概率,P,(,B,|,A,),与概率,P,(,B,),它们都以样本空间,为总样本，但它们取概率的前提是,不相同的概率,P,(,B,),是指在整个样本空间,的条件下事,件,B,发生的可能性大小，而条件概率,P,(,B,|,A,),是在事件,A,发,生的条件下，事件,B,发生的可能性大小,2,求法：,(1),利用定义分别求,P,(,A,),，,P,(,AB,),，得,P,(,B,|,A,),(2),先求,A,含的基本事件数,n,(,A,),，再求在,A,发生的条件,下,B,包含的事件数即,n,(,AB,),，得,P,(,B,|,A,),1,号箱中有,2,个白球和,4,个红球，,2,号箱中有,5,个白球和,3,个红球，现随机地从,1,号箱中取出一球放入,2,号箱，然后从,2,号箱随机取出一球，问从,2,号箱取出红球的概率是多少？,本题可分为两种互斥的情况：一是从,1,号箱取出红球；二是从,1,号箱取出白球,.,然后利用条件概率知识来解决,.,【,解,】,记事件,A,：最后从,2,号箱中取出的是红球；,事件,B,：从,1,号箱中取出的是红球,则,P,(,B,),从而,P,(,A,),P,(,AB,),P,(,A,),P,(,A,|,B,),P,(,B,),P,(,A,|),P,(),1,将本例中,2,号箱的球放入,1,号箱中，从,1,号箱中每次取一,个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件,下，第二次取到白球的概率是多少？,解：,记,A,为第一次取到白球，,B,为第二次取到白球，,AB,为,两次都取到白球,1,相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互,不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件,不会同时发生,2,求用,“,至少,”,表述的事件的概率时，先求其对立事件的,概率往往比较简便,(2009,全国卷,),甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜,3,局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为,0.6,，乙获胜的概率为,0.4,，各局比赛结果相互独立已知前,2,局中，甲、乙各胜,1,局,(1),求甲获得这次比赛胜利的概率；,(2),设,X,表示从第,3,局开始到比赛结束所进行的局数，求,X,的分布列及数学期望,（,1,）甲获得这次比赛胜利当且仅当甲先胜,2,局,故分三类,.,（,2,）,X,的取值为,2,、,3.,【,解,】,记,A,i,表示事件：第,i,局甲获胜，,i,3,4,5,，,B,j,表示事件：第,j,局乙获胜，,j,3,4,5.,(1),记,B,表示事件：甲获得这次比赛的胜利,因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜,2,局，从而,B,A,3,A,4,B,3,A,4,A,5,A,3,B,4,A,5,，,由于各局比赛结果相互独立，故,P,(,B,),P,(,A,3,A,4,),P,(,B,3,A,4,A,5,),P,(,A,3,B,4,A,5,),P,(,A,3,),P,(,A,4,),P,(,B,3,),P,(,A,4,),P,(,A,5,),P,(,A,3,),P,(,B,4,),P,(,A,5,),0.60.6,0.40.60.6,0.60.40.6,0.648.,(2),X,的可能取值为,2,3.,由于各局比赛结果相互独立，所以,P,(,X,2),P,(,A,3,A,4,B,3,B,4,),P,(,A,3,A,4,),P,(,B,3,B,4,),P,(,A,3,),P,(,A,4,),P,(,B,3,),P,(,B,4,),0.60.6,0.40.4,0.52,，,P,(,X,3),1,P,(,X,2),1,0.52,0.48.,X,的分布列为,X,2,3,P,0.52,0.48,E,(,X,),2,P,(,X,2),3,P,(,X,3),20.52,30.48,2.48.,2,(2010,济南模拟,),在某社区举办的,“,2009,全运会知识有奖问,答比赛,”,中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识,的问题，已知甲回答对这道题的概率是 ，甲、丙两人,都回答错的概率是 ，乙、丙两人都回答对的概率是,.,求乙、丙两人各自回答对这道题的概率,解：,记,“,甲回答对这道题,”“,乙回答对这道题,”“,丙回答对这道,题,”,分别为事件,A,、,B,、,C,，,则,1,判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：,(1),在同样的条件下重复，相互独立进行；,(2),试验结果要么发生，要么不发生,2,在利用,n,次独立重复试验中，恰好发生,k,次的概率,P,(,x,k,),(1,p,),n,k,，,k,0,1,2.,要注意,n,，,k,，,p,的取值,3,遇到,“,至少,”“,至多,”,问题时，要考虑从对立事件入手计,算,4,二项分布模型,(1),判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,是否为,n,次独立重复试验,随机变量是否为在这,n,次独立重复试验中某事件发生,的次数,(2),涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽,查问题时，由于产品数量很大，因而抽查时，抽出次品,与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为,各次抽查的结果是彼此独立的,(2009,辽宁高考,),某人向一目标射击,4,次，每次击中目标的概率为,.,该目标分为,3,个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为,136,，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比,.,(1),设,X,表示目标被击中的次数，求,X,的分布列；,(2),若目标被击中,2,次，,A,表示事件,“,第一部分至少被击中,1,次或第二部分被击中,2,次,”,，求,P,(,A,),（,1,）,X,服从二项分布即,XB,（,2,）事件,A,分四种情况,.,【,解,】,(1),依题意知,X,B,即,X,的分布列为,X,0,1,2,3,4,P,(2),设,A,i,表示事件,“,第一次击中目标时，击中第,i,部分,”,，,i,1,2.,B,i,表示事件,“,第二次击中目标时，击中第,i,部分,”,，,i,1,2.,依题意知,P,(,A,1,),P,(,B,1,),0.1,，,P,(,A,2,),P,(,B,2,),0.3,，,A,A,1,B,1,A,1,B,1,A,2,B,2,，,所求的概率为,P,(,A,),P,(,A,1,),P,(,B,1,),P,(,A,1,B,1,),P,(,A,2,B,2,),P,(,A,1,),P,(),P,(),P,(,B,1,),P,(,A,1,),P,(,B,1,),P,(,A,2,),P,(,B,2,),0.10.9,0.90.1,0.10.1,0.30.3,0.28.,3,甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是,假设,两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人,各次射击是否击中目标相互之间也没有影响求两人各,射击,4,次，甲恰好击中目标,2,次且乙恰好击中目标,3,次的,概率,解：,记,“,甲射击,4,次，恰有,2,次击中目标,”,为事件,A,，,“,乙射击,4,次，恰有,3,次击中目标,”,为事件,B,.,由于甲、乙射击相互独立，,故,P,(,AB,),P,(,A,),P,(,B,),所以两人各射击,4,次，甲恰有,2,次击中目标且乙恰有,3,次击中目标的概率为,相互独立事件与独立重复试验事件的概率问题一直是高考的重点，多在解答题中以实际问题为背景，结合离散型随机变量的分布列的求法综合考查,.,同时也考查考生分析问题解决问题的能力及运算能力，具有一定的区分度,.2009,年湖南卷在解答题中考查了二项分布问题,.,(2009,湖南高考,),为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含项目的个数分别占总数的,现有,3,名工人独立地从中任选一个项目参与建设,(1),求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；,(2),记,X,为,3,人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求,X,的分布列及数学期望,解,记第,i,名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,A,i,，,B,i,，,C,i,，,i,1,2,3.,由题意知,A,1,，,A,2,，,A,3,相互独立，,B,1,，,B,2,，,B,3,相互独立，,C,1,，,C,2,，,C,3,相互独立，,A,i,，,B,j,，,C,k,(,i,，,j,，,k,1,2,3,，且,i,，,j,，,k,互不相同,),相互独立，且,P,(,A,i,),(1),他们选择的项目所属类别互不相同的概率,P,3,！,P,(,A,1,B,2,C,3,),6,P,(,A,1,),P,(,B,2,),P,(,C,3,),(2),设,3,名工
展开阅读全文