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第十六章,数系的扩充与复数的引入,考点帮,必备知识通关,考点,1,复数的有关概念,考点,2,复数的四则运算,考法帮,解题能力提升,考法,1,复数的概念,考法,2,复数的运算,考,法,3,复数的几何意义,考情解读,考点内容,课标,要求,考题取样,情境,载体,对应,考法,预测,热度,核心,素养,1.复数的概念,理解,2020全国,T1,课程,学习,考法1,数学运算,2019,全国,T2,课程,学习,考法,3,2.复数的运算,掌握,20,20,全国,T,2,课程,学习,考法,1,，,2,数学运算,考情解读,命题分,析预测,本章是高考的必考内容,主要考查复数的概念和复数的四则运算,(,尤其是除法运算,),一般出现在选择题的前三题中,比较简单,属于送分题,分值,5,分,.,预测,2022,年高考会延续近几年高考的命题特点,复习中应重视基本概念的理解,把握好基本的四则运算,.,主要考查考生的数学运算能力和等价转化思想的应用,.,考点,1,复数的有关概念,考点,2,复数的四则运算,考点帮,必备知识通关,考点,1,复数的,有关概念,1,.,复数的有关概念,名称,含义,复数的,定义,形如,a,+,b,i(,a,R,b,R,),的数叫作复数,其中实部为,a,虚部为,b,i,为虚数单位且,i,2,=-1,.,复数,分类,a,+,b,i,为实数,b,=0;,a,+,b,i,为虚数,b,0;,a,+,b,i,为纯虚数,a,=0,且,b,0(,a,b,R,),.,复数,相等,a,+,b,i=,c,+,d,i,a,=,c,且,b,=,d,(,a,b,c,d,R,),.,考点,1,复数的,有关概念,名称,含义,共轭,复数,考点,1,复数的,有关概念,名称,含义,复平面,建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x,轴叫作实轴,y,轴叫作虚轴,.,实轴上的点都表示实数,;,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数,.,复数,的模,易错警示,(1),一个复数为纯虚数,不仅要求实部为,0,还需要虚部不为,0,.,(2),两个不全是实数的复数不能比较大小,.,(3),互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称,.,考点,1,复数的,有关概念,2,.,复数的几何意义,复数集,C,和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集,C,与复平面内所有以原点,O,为起点的向量组成的集合也是一一对应的,.,考点,2,复数的四则运算,1,.,复数的运算法则,设,z,1,=,a,+,b,i,z,2,=,c,+,d,i(,a,b,c,d,R,),.,运算法则,运算形式,加法,z,1,+,z,2,=(,a,+,b,i)+(,c,+,d,i)=(,a,+,c,)+(,b,+,d,)i,.,减法,z,1,-,z,2,=(,a,+,b,i)-(,c,+,d,i)=(,a,-,c,)+(,b,-,d,)i,.,乘法,z,1,z,2,=(,a,+,b,i)(,c,+,d,i)=(,ac,-,bd,)+(,ad,+,bc,)i,.,除法,考点,2,复数的四则运算,2,.,复数的运算律,对任意的,z,1,z,2,z,3,C,:,加法运算律,交换律,:,z,1,+,z,2,=,z,2,+,z,1,.,结合律,:(,z,1,+,z,2,)+,z,3,=,z,1,+(,z,2,+,z,3,),.,乘法运算律,交换律,:,z,1,z,2,=,z,2,z,1,.,结合律,:(,z,1,z,2,),z,3,=,z,1,(,z,2,z,3,),.,分配律,:(,z,1,+,z,2,),z,3,=,z,1,z,3,+,z,2,z,3,.,考点,2,复数的四则运算,3,.,复数加、减运算的几何意义,若复数,z,1,z,2,在复平面内对应的点分别为,Z,1,Z,2,O,为坐标原点,则,:,(1),复数加法的几何意义,若向量,不共线,则复数,z,1,+,z,2,是以,为两邻边的平行四边形的对角线,所对应的复数,.,(2),复数减法的几何意义,复数,z,1,-,z,2,是,所对应的复数,.,考法,1,复数的概念,考法,2,复数的运算,考法,3,复数的几何意义,考法帮,解题能力提升,考,法,1,复数的概念,示例,1,(1)2019,全国卷,2,5,分,设,z,=i(2+i),则,=,A,.,1+2i B,.,-1+2i,C,.,1-2i D,.,-1-2i,(2)2017,天津,9,5,分,理,已知,a,R,i,为虚数单位,若,为实数,则,a,的值为,.,思维导引,(1),利用复数的四则运算及共轭复数的定义即可得出结果,.,(2),根据复数的除法法则,先把,化简成,x,+,y,i(,x,y,R),的形式,然后令,y,=0,即可求解,.,也可以引进参数,利用复数相等的定义列方程组求解,.,考,法,1,复数的概念,解析,(1),依题意得,z,=i,2,+2i=-1+2i,=-1-2i,故选,D,.,(2),解法一,因为,i,为实数,所以,=0,解得,a,=-2,.,解法二,令,=,t,(,t,R),则,a,-i=,t,(2+i)=2,t,+,t,i,所以,解得,a,=-2,.,考,法,1,复数的概念,示例,2,若,i(,x,+,y,i)=3+4i(,x,y,R),则复数,x,+,y,i,的模是,A.2B.3C.4D.5,思维导引,根据复数的运算法则和模的计算公式求解,.,解析,解法一,因为,i(,x,+,y,i)=3+4i,所以,-,y,+,x,i=3+4i,所以,x,=4,y,=-3,故,|,x,+,y,i|=|4-3i|=,=5,.,解法二,因为,i(,x,+,y,i)=3+4i,所以,|i(,x,+,y,i)|=|3+4i|,所以,|i|,x,+,y,i|=5,所以,|,x,+,y,i|=5,.,答案,D,考,法,1,复数的概念,方法技巧,求解与复数概念相关问题的技巧,(1),复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需先把所给复数化为,a,+,b,i(,a,b,R,),的形式,再根据题意列方程,(,组,),求解,.,(2),求复数的模时,直接根据复数的模的公式,|,a,+,b,i|=,和性质,|,|=|,z,|,|,z,2,|=|,|,2,=,z,|,z,1,z,2,|=|,z,1,|,|,z,2,|,|,|=,进行计算,.,考,法,1,复数的概念,(3),复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法,.,注意,(1),解题时一定要先看复数是否为,a,+,b,i(,a,b,R),的形式,以确定实部和虚部,;(2),无论一个复数是实数还是虚数,都要保证这个复数的实部和虚部有意义,.,考,法,2,复数的运算,示例,3,(1)2018,全国卷,1,5,分,理,=,A.-,i,B,.-,i,C.-,I,D.-,i,(2),已知复数,z,=1+,则,1+,z,+,z,2,+,z,2 020,=,A.1+i,B.1-i,C.1,D.0,思维导引,(1),利用复数的除法法则求解,;(2),先对复数,z,进行化简,再根据等比数列的求和公式或借助,i,n,(,n,N),的周期性求解,.,考,法,2,复数的运算,解析,(1),由题意得,=-,i,.,(2),解法一,(,根据等比数列的前,n,项和公式求解,),因为,z,=1+,=1+,=i,所以,1+,z,+,z,2,+,z,2 020,=,=1,.,解法二,(,利用周期性求解,),因为,z,=1+,=1+,=i,所以,1+,z,+,z,2,+,z,2 020,=1+i+i,2,+i,2 020,=505,(1+i-1-i)+1=1,.,答案,(1)D,(2)C,考,法,2,复数的运算,点评,(1),要学会区分,(,a,+,b,i),2,=,a,2,+2,ab,i-,b,2,(,a,b,R),与,(,a,+,b,),2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,(,a,b,R);,(2),要学会区分,(,a,+,b,i)(,a,-,b,i)=,a,2,+,b,2,(,a,b,R),与,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,(,a,b,R),.,考,法,2,复数的运算,方法技巧,1,.,在复数的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,把含有虚数单位,i,的项看作一类同类项,不含,i,的项看作另一类同类项,;,除法运算则需要分母实数化,解题中注意要把,i,的幂化成最简形式,.,2,.,复数运算中的常用结论,(1)(1i),2,=2i,=i,=-i,.,(2),=,b,-,a,i,.,(3)i,4,n,=1,i,4,n,+1,=i,i,4,n,+2,=-1,i,4,n,+3,=-i,i,4,n,+i,4,n,+1,+i,4,n,+2,+i,4,n,+3,=0(,n,N,),.,考,法,3,复数的几何意义,示例,4,(1)2019,全国卷,2,5,分,理,设,复数,z,满足,|,z,-i|=1,z,在复平面内对应的点为,(,x,y,),则,A.(,x,+1),2,+,y,2,=1B.(,x,-1),2,+,y,2,=1,C.,x,2,+(,y,-1),2,=1D.,x,2,+(,y,+1),2,=1,(2)2016,全国卷,1,5,分,理,已知,z,=(,m,+3)+(,m,-1)i,在复平面内对应的点在第四象限,则实数,m,的取值范围是,A.(-3,1),B.(-1,3),C.(1,+),D.(-,-3),考,法,3,复数的几何意义,解析,(1),解法一,z,在复平面内对应的点为,(,x,y,),z,=,x,+,y,i(,x,y,R),.,|,z,-i|=1,|,x,+(,y,-1)i|=1,x,2,+(,y,-1),2,=1,.,解法二,|,z,-i|=1,表示复数,z,在复平面内对应的点,(,x,y,),到点,(0,1),的距离为,1,x,2,+(,y,-1),2,=1,.,(2),由已知可得复数,z,在复平面内对应的点的坐标为,(,m,+3,m,-1),因为点在第四象限,所以,解得,-3,m,1,.,答案,(1)C,(2)A,考,法,3,复数的几何意义,方法技巧,(1),复数,z,、复平面上的点,Z,及向量,三者间的联系为,z,=,a,+,b,i(,a,b,R,),Z,(,a,b,),=(,a,b,),据此可知,确定复数在复平面内对应的点所在的位置,只要将复数化为代数形式后,根据对应点,Z,的坐标确定即可,反之,根据,Z,的坐标即可写出复数,z.,(2),由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观,.,
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