通信原理第2章

,2.2.3,平稳随机过程自相关函数的性质,对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。原因如下,:,其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，,可通过自相关函数来描述；,其二，自相关函数与平稳随机过程的,频谱特性,有着内在的联系。,因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。,设,(t),为实平稳随机过程，则它的自相关函数为,:,R()=E,(t)(t+),(2.2-8),则具有如下性质,:,（,1,）,R(0)=E,2,(t),=S0,(t),的平均功率,(2.2-9),即,:,平稳随机过程的均方值就是自相关函数在,=0,时的非负值,S,。并且这个,S,代表了随机过程的平均功率。,（,2,）,R()=E,2,(t),(t),的直流功率,(2.2-10,）,当,时，,(t),与,(t+),没有依赖关系，即统计独立，且认为,(t),中不含周期分量。,（,3,）,R()=R(-),的偶函数,(2.2-11),（,4,）,|R()|R(0),(2.2-12),即,:,自相关函数在,=0,时具有最大值。,（,5,）,R(0)-R()=,2,方差，,(t),的交流功率,(2.2-13),且当均值为,0,时，有,R(0)=,2,。,（,6,）若平稳,(t),满足,(t)=(t+T),，,则称其为,周期平稳随机过程，其中,T,为过程的周期。,并且其自相关函数,R(),也为,周期函数，,并且,周期,也为,T,。,（,7,）若平稳,(t),含有一个周期分量，则其,R(),也含有一个,相同,周期的,周期分量。,这里举个例子说明：,例,1,:,设某接收机的输入混合信号,X,(,t,),是随机相位正弦信号,S,(,t,),和噪声电压,N,(,t,),的和，即：，并且 是,(0,2 ),上均匀分布的随机变量。且,N(t),为平稳随机过程，求,X(t),的自相关函数。,解,:,既然,N,(,t,),为平稳随机过程，则可以设其自相关函数为,R,N,(),，则,X,(,t,),的自相关函数为：,其中：,例,2,:,已知平稳随机过程,(,t,),的自相关函数为：,利用自相关函数的性质求,(,t,),的均值与方差。,解,:,根据性质,2,可得：,R,()=,E,2,(,t,),=36,则有：,E,(,t,),=6,再由性质,1,可得：,R,(,0,)=,E,2,(,t,),=40,最后可由性质,5,得：,R,(,0,)-,R,()=,2,=40-36=4,因此求得，均值为,36,，方差为,4,。,2.2.4,平稳随机过程的功率谱密度,随机过程的频谱特性是用它的,功率谱密度,来表述的。,我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号,f,(,t,),，它的功率谱密度为：,式中，,F,T,(),是,f,(,t,),的截短函数,f,T,(t),（见图,2-2,）所对应的频谱函数。,（,2.2-14,）,图,2-2,功率信号,f(t),及其截短函数,我们可以把,f,(,t,),看成是平稳随机过程,(,t,),中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用式（,2.2-14,）来表示。,但是由于,(,t,),是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功,率谱密度。,这个时候可以把,随机过程的功率谱密度,应看做是,任一实现,的,功率谱的统计平均,，即,(,t,),的,平均功率,S,则可表示成：,（,2.2-15,）,（,2.2-16,）,其傅里叶反变换为：,虽然式（,2.2-15,）给出了平稳随机过程,(,t,),的功率谱密度,P,(),，但我们很难直接用它来计算功率谱。,那么，如何方便地求功率谱,P,(),呢？,我们知道，确知的,非周期功率信号,的,自相关函数,与其,频谱密度函数,是一对,傅立叶变换,关系。那么对于随机过程，也有类似的关系，即：,于是有：,因为,R,(0),表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。,因此，,P,(),必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。所以，平稳随机过程的功率谱密度,P,(),与其自相关,函数,R,(),是一对傅里叶变换关系,即,（,2.2-17,）,（,2.2-18,）,或,简记为,:,R()P,(),关系式（,2.2-18,）,称为,维纳,-,辛钦,定理，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。,它是联系随机过程的频域和时域两种分析方法的基本关系式。,（,2.2-19,）,2.2.5,平稳随机过程功率谱密度的性质,功率谱密度是平稳随机过程在频率域的重要统计参量,它具有下列重要性质,:,（,1,）功率谱密度,是非负的,，即：,P,()0,，,可以根据其定义式：,可以得到：，所以得到：,P,()0,（,2,）功率谱密度是,的,实函数,，这里可以根据其定义式看出：,是,的,实函数，所以,P(),必然为,的,实函数。,（,3,）对于实随机过程来说，功率谱密度是,的,实函数，,这里同样可以根据定义式证明。,因此有：,P,(-)=,P,(),并且，可定义,单边谱密度,P,1,(),为：,0,P,1,()=,（,4,）对于实随机过程来说，功率谱密度可积，即：,根据：,可以说明功率谱密度函数曲线下的总面积（即随机过程的全部功率）等于过程的均方值。由于平稳随机过程均方值是有限的，因此功率谱密度可积。,例,3,：,某随机相位余弦波 ，其中,A,和,0,均为常数，是在,(0,2),内,均匀分布,的随机变量。求,(t),的自相关函数与功率谱密度。,解：,(1),先考察,(t),是否广义平稳：,可见,(t),的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔,有关，所以,(t),为广义平稳随机过程。,根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，则根据：,cos,c,(-c)+(+c),所以，功率谱密度为,P,()=,(-c)+(+c),平均功率为：,S=R(0)=,