概率、变量分布列与期望

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率、变量分布列与期望,【达标过关】,1、袋中有3个白球和若干个红球，现从中任取2个球，若取到白球个数的期望值为0.75，则袋中的红球个数为_.,5,2、在区间0,10内随机取出2个数，则2个数的平方和也在区间0,10内的概率为（）,D,D,4.,D,1.随机事件的概率,（1）随机事件的概率范围：0,P,(,A,)1;必然事件的,概率为1；不可能事件的概率为0.,（2）古典概型的概率,P,（,A,）=.,（3）几何概型的概率,P,（,A,）=,A,中所含的基本事件数,基本事件总数,构成事件,A,的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）,2.互斥事件有一个发生的概率,P,（,A,B,）=,P,（,A,）,+,P,（,B,）.,3.条件概率,在,A,发生的条件下,B,发生的概率：,P,（,B,|,A,）=.,4.相互独立事件同时发生的概率,P,（,AB,）=,P,（,A,）,P,（,B,）.,5.独立重复试验,如果事件,A,在一次试验中发生的概率是,p,，那么它在,n,次独立重复试验中恰好发生,k,次的概率为,P,n,（,k,）=p,k,（,1,-p）,n-,k,，,k,=,0，1，2，,n.,【典例分析】,【例1】在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取出一张卡片，记下 它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子 中任意取出一张卡片，记下它的读数y，试求：（1）x+y是10的倍数的概率；,（2）xy是3的倍数的概率,.,解,（,1）先后两次抽取卡片，每次都有1到10这,10个结果，故所得有序实数对（x，y）共有10,10=100个.因为x+y是10的倍数，它包含下列10个数对：（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），,（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），,（9，1），（10，10），故x+y是10的倍数的概率,P（A）=.,（2）要使,xy,是3的倍数，只要,x,是3的倍数或,y,是3的倍数即可，在这里可分三类：,x,是3的倍数，,y,不是3的倍数，这样的数对（,x,，,y,）,有 个；,x,不是3的倍数，,y,是3的倍数，这样的数对（,x,，,y,）,有 个；,x,，,y,都是3的倍数的数对（,x,，,y,）有 个.,故,xy,是3的倍数的概率为 .,【例2】设,b,和,c,分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量,表示方程,x,2,+,bx,+,c,=0实根的个数(重根按一个计).,(1)求方程,x,2,+,bx,+,c,=0有实根的概率;,(2)求 的分布列和数学期望;,(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程,x,2,+,bx,+c=0,有实根的概率.,解,(1)基本事件总数为66=36,若使方程有实根，,则=,b,2,-4,c,0,即,当,c,=1时,b,=2,3,4,5,6;当,c,=2时,b,=3,4,5,6;,当,c,=3时,b,=4,5,6;当,c,=4时,b,=4,5,6;,当,c,=5时,b,=5,6;当,c,=6时,b,=5,6;,目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，,因此方程,x,2,+,bx,+,c,=0有实根的概率为,(2)由题意知,=0,1,2,故 的分布列为,(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件,M,“方程,x,2,+,bx,+,c,=0有实根”为事件,N,0,1,2,P,某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知,该种产品的成本,C,与产量,q,的函数关系式为,(,q,0).该种产品的市场前景无,法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概,率及产品价格,p,与产量,q,的函数关系式如下表所示:,市场情形,概率,价格,p,与产量,q,的函数关系式,好,0.4,p,=164-3,q,中,0.4,p,=101-3,q,差,0.2,p,=70-3,q,【尝试训练】,设,L,1,L,2,L,3,分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量 表示当产量为,q,而市场前景无法确定的,利润.,(1)分别求利润,L,1,L,2,L,3,与产量,q,的函数关系式;,(2)当产量,q,确定时,求期望,(3)试问产量,q,取何值时,取得最大值.,解,(1)由题意可得,(2)由期望定义可知,=0.4,L,1,+0.4,L,2,+0.2,L,3,(3)由(2)可知 是产量,q,的函数,得,f,(,q,)=-,q,2,+100.,令,f,(,q,)=0,解得,q,=10,q,=-10(舍去）.,由题意及问题的实际意义(或当0,q,10时,f,(,q,)0;当,q,10时,f,(,q,)0),可知,当,q,=10时,f,(,q,)取得最大值，,即 最大时的产量,q,为,10,.,1.连掷两次骰子得到的点数分别为,m,和,n,记向量,a,=,(,m,n,)与向量,b,=(1,-1)的夹角为 ,则 的概,率是_.,解析,由向量夹角的定义,图形直观可得,当点,A,(,m,n,)位于直线,y,=,x,上及其下方时,满足 点,A,(,m,n,)的总个数为66个,而位于直线,y,=,x,上及其下方的,点,A,(,m,n,)有,(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共21个,故所求概率,P,=,【课堂巩固】,2.已知变量,x,y,具有线性相关关系,测得一组数据如,下:(2,30),(4,40),(5,60),(6,50),(8,70),若它们,回归直线的斜率为6.5,则在这些样本点中任取一点,它在回归直线上方的概率为 (),A.B.C.D.,解析,因为,所以回归直线方程为 经检验知,只有,点(5,60),(8,70)在回归直线上方,所以所求概率为,A,3.(2009,山东)在区间 上随机取一个数,x,cos,x,的值介于0到 之间的概率为 (),A.B.C.D.,解析,在区间-1,1上随机取一个数,x,即,x,-1,1,时,其长度为2,又,x,-1,1时,此时满,足 的,x,的取值范围为,0,1,即,x,1,故,x,0,1满足 的长,度为 由对称性,当,x,-1,0时,满足0,的区间长度也是 故所求概率为,A,4.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长,都等于6 cm.现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格,上,则硬币落下后与格线有公共点的概率是 (),A.0 B.1 C.D.,解析,本题属几何概型,其测度为线,段长度,如图硬币圆心落点应考虑在,AM,或,BN,上,P,(,A,)=,C,5.已知,:,0,x,4,0,y,2,则 的概率是_,.,解析,当0,y,1时,0,y,1,即图中阴影部分.,其面积为,S,1,=,当,y,1时,1,y,2,即图中阴影部分.,其面积为,S,2,=,综上可知:所求的概率为,P,=,6.甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一,个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲,队中每人答对的概率均为 乙队中3人答对的概率,分别为 且各人正确与否相互之间没有影响.,用 表示甲队的总得分.,(1)求随机变量 分布列和数学期望;,(2)用,A,表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一,事件,用,B,表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一,事件,求,P,(,AB,).,解,(1),方法一,由题意知 的可能取值为0,1,2,3,且,所以 的分布列为,的数学期望为,0,1,2,3,P,方法二,根据题设可知,因此 的分布列为,(2),方法一,用,C,表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用,D,表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以,AB,=,C,+,D,且,C,、,D,互斥,由互斥事件的概率公式得,P,(,AB,)=,P,(,C,)+,P,(,D,)=,方法二,用,A,k,表示“甲队得,k,分”这一事件,用,B,k,表示“乙队得,k,分”这一事件,k,=0,1,2,3.,由于事件,A,3,B,0,A,2,B,1,为互斥事件,故是,P,(,AB,)=,P,(,A,3,B,0,+,A,2,B,1,)=,P,(,A,3,B,0,)+,P,(,A,2,B,1,),