资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.指数幂的概念,（1）根式,一般地,如果一个数的,n,次方等于,a,(,n,1且,n,N,*,),那么这个数叫做,a,的,n,次方根.也就是,若,x,n,=,a,，则,x,叫做,其中,n,1且,n,N,*,.式子 叫做,这里,n,叫做,a,叫做,.,（2）根式的性质,当,n,为奇数时，正数的,n,次方根是一个正数，负数的,n,次方根是一个负数，这时，,a,的,n,次方根用符号,表示.,2.6 指数与指数函数,要点梳理,a,的,n,次方根,根式,根指数,被开方数,当,n,为偶数时,正数的,n,次方根有两个,它们互为相反数，这时，正数的正的,n,次方根用符号,表示，负的,n,次方根用符号,表示.正负两个,n,次方根可以合写为,.,.,当,n,为奇数时，.,当,n,为偶数时，,负数没有偶次方根.,零的任何次方根都是零.,2.有理指数幂,（1）分数指数幂的表示：,正数的正分数指数幂是,a,(,a,0,m,n,N,*,n,1).,正数的负分数指数幂是,(,a,0,m,n,N,*,n,1).,0的正分数指数幂是,0的负分数指数幂无意义.,(2)有理指数幂的运算性质,a,r,a,s,=(,a,0,r,s,Q,),(,a,r,),s,=(,a,0,r,s,Q,),(,ab,),r,=(,a,0,b,0,r,Q,.,0,a,r,+,s,a,rs,a,r,b,r,3.指数函数的图象与性质,a,1,0,a,0时,；,x,0时,；,x,1,0,y,1,0,y,1,R,增函数,1.已知 ，则化简 的结果是 （）,A.B.,C.D.,解析,基础自测,C,2.设指数函数,f,(,x,)=,a,x,(,a,0且,a,1)，则下列等式不正确的是,（）,A.,f,(,x,+,y,)=,f,(,x,),f,(,y,)B.,f,(,xy,),n,)=,f,n,(,x,),f,n,(,y,),C.D.,f,(,nx,)=,f,n,(,x,),解析,f,(,x,+,y,)=,a,x+y,=,=,f,(,x,),f,(,y,),f,（,nx,）=,a,nx,=（,a,x,）,n,=,f,n,（,x,），,A,、,C,、,D,均正确,故选,B,B,3.函数,f,(,x,)=,a,x,-,b,的图象如图所示，其中,a,、,b,为常数，则下列,结论正确的是 (),A,.,a,1,b,0,B,.,a,1,b,0,C,.0,a,0,D,.0,a,1,b,0,解析,由函数图象知函数为减函数，0,a,1.,当,x,=0时，0,f,(,x,)=,a,-,b,0.故0,a,1,b,0.,D,4.关于函数,f,(,x,)=2,x,-2,-,x,(,x,R,，有下列三个结论：,f,(,x,)的值域为,R,；,f,(,x,)是,R,上的增函数；,对任意,x,R,有,f,(-,x,)+,f,(,x,)=0成立.,其中全部正确的结论是 (),A,.,B,.,C,.,D,.,解析,由于,y,=2,x,与,y,=2,-,x,的值域为（0，+），且分别为增,函数和减函数，,f,（,x,）=2,x,-2,-,x,的值域为,R,，且,f,(,x,)在,R,上递增，,又,f,(-,x,)=2,-,x,-2,x,f,(-,x,)+,f,(,x,)=0.,A,5.（2007,山东理,，2）已知集合,M,=-1,1,则,M,N,等于（）,A,.-1,1,B,.-1,C,.0,D,.-1,0,解析,x,Z,=,x,|-2,x,f,(,c,x,),D,.大小关系随,x,的不同而不同,【思维启迪】,求出,b,、,c,之值再比较之，注意,b,x,与,c,x,在对称轴,的哪一边,.,解析,f,（1+,x,）=,f,（1-,x,）.,f,（,x,）的对称轴为直线,x,=1,由此得,b,=2,又,f,(0)=3,c,=3，,f,（,x,）在（-,1）上递减，在(1,+)上递增.,题型二 利用指数函数的单调性比较大小,A,若,x,0,则3,x,2,x,1,f,(3,x,),f,(2,x,)，,若,x,0，则3,x,2,x,f,(2,x,),f,(3,x,),f,(2,x,),故选,A,.,探究拓展,（1）比较大小通常有如下方法：作差法；作商法；单调性法；中间量法.如 与 的大小比较，可采用中间量 （2）对于多个数值大小比较问题，可先将这些数值分类，先比较它们与某些特殊值（如0,-1,1等）的大小，然后再将各部分比较大小.（3）对于含参数的大小比较问题，有时需对参数进行分类讨论.,求下列函数的定义域、值域及其单调区间：,（1）,（2）,【,思维启迪,】,(1)定义域是使函数有意义的,x,的取值范围，,单调区间利用复合函数的单调性求解.,（2）利用换元法，同时利用复合函数单调性判断方法进而,求得值域.,解,（1）依题意,x,2,-5,x,+40,解得,x,4或,x,1,f,（,x,）的定义域是（-，14，+）.,题型三 指数函数的图象与性质,令,x,（-，14，+），,u,0，即,而,函数,f,(,x,)的值域是1，+）.,当,x,（-，1时，,u,是减函数，,当,x,4，+）时，,u,是增函数.,而31,由复合函数的单调性可知，,在（-，1上是减函数，,在4，+）上是增函数.,故,f,（,x,）的增区间是4，+），减区间是（-，1.,（2）由,函数的定义域为,R,令,g,(,t,)=-,t,2,+4,t,+5=-(,t,-2),2,+9,t,0,g,(,t,)=-(,t,-2),2,+99,等号成立的条件是,t,=2,即,g,(,x,)9,等号成立的条件是 即,x,=-1，,g,（,x,）的值域是（-，9.,由,g,(,t,)=-(,t,-2),2,+9,(t,0,),是减函数，,要求,g,(,x,)的增区间实际上是求,g,(,t,)的减区间，,求,g,(,x,)的减区间实际上是求,g,(,t,)的增区间.,g,（,t,）在（0，2上递增，在2，+）上递减，,由 可得,x,-1,由 可得,x,-1.,g,（,x,）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，,故,g,(,x,)的单调递增区间是（-，-1，,单调递减区间是-1，+）.,探究拓展,（1）涉及复合函数单调性问题，首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间.（2）利用定义证明时可分层比较，对于内外层函数，注意“同增异减”.,（12分）,设,a,0 是,R,上的偶函数.,（1）求,a,的值；,（2）求证：,f,(,x,)在(0,+)上是增函数.,【,思维启迪,】,（1）利用,f,(-,x,)=,f,(,x,)得恒等式，求参数,a,;,(2)利用单调性定义证明.,（1）,解,f,（,x,）是,R,上的偶函数，,f,（-,x,）=,f,（,x,）,1分,对一切,x,均成立，,而,a,0,a,=1.,题型四 指数函数的综合应用,3分,4分,(2),证明,在（0，+)上任取,x,1,、,x,2,，且,x,1,x,2,5分,则,x,1,0,x,2,0,x,1,+,x,2,0,10分,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故,f,(,x,)在（0,+）上是增函数.12分,8分,探究拓展,对于含参数的函数，若其具有奇偶性，则可根据定义建立恒等式，通过分析系数得到关于参数的方程或方程组，求出即可；而单调性多与参数的取值有关，应根据情况进行分类讨论.,方法与技巧,1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸,展性，,x,轴是函数图象的渐近线.当0,a,1时，,x,-,y,0;当,a,1时，,a,的值越大，图象,越靠近,y,轴，递增的速度越快；当0,a,0,a,1)的图象和性质受,a,的影响，要分,a,1与0,a,1来研究.,2.对可化为,a,2,x,+,b,a,x,+,c,=0或,a,2,x,+,b,a,x,+,c,0(0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.,1.化简下列各式（其中各字母均为正数）：,（1）,（2）,解,(1)原式,2.已知实数,a,、,b,满足等式 下列五个关系式：0,b,a,;,a,b,0;0,a,b,;,b,a,0;,a,=,b,.其中不可能成立的关系,式有 （）,A,.1个,B,.2个,C,.3个,D,.,4个,解析,作 的图象，如图.,当,x,0时，则有,a,b,0;成立.,当,x,0时，则有0,b,a,;成立.,当,x=,0时，则有,a,=,b,=0.成立.,故不成立，因而选B,B,3.求下列函数的单调递增区间：,（1）,解,（1）函数的定义域为,R,.,令,u,=6+,x,-2,x,2,则,二次函数,u,=6+,x,-2,x,2,的对称轴为,在区间 上，,u,=6+,x,-2,x,2,是减函数，,又函数 是减函数，,函数 在 上是增函数.,故 的单调递增区间为,（2）令,u,=,x,2,-,x,-6,则,y,=2,u,二次函数,u,=,x,2,-,x,-6的对称轴是 在区间 上,u,=,x,2,-,x,-6是增函数.,又函数,y,=2,u,为增函数，,函数 在区间 上是增函数.,故函数 的单调递增区间是,4.已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,)有最小正周期2,且当,x,(0，1),时,(1)求,f,(,x,)在-1,1上的解析式；,(2)证明：,f,(,x,)在(0,1)上是减函数.,(1),解,当,x,（-1，0）时，-,x,（0，1）.,f,(,x,)是奇函数，,由,f,(0)=,f,(-0)=-,f,(0)，,且=-,f,(-1+2)=-,f,(1),得,f,(0)=,f,(1)=,f,(-1)=0.,在区间-1，1上，有,（2）证明 当,x,（0，1）时，,f,(,x,)=,设0,x,1,x,2,1,则,0,x,1,x,2,0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故,f,(,x,)在（0，1）上单调递减.,1.的大小顺序为 （）,A,.,B,.,C,.,D,.,解析,2.,B,3.,B,4.,C,5.,A,B,6.当,x,0时，函数,f,(,x,)=(,a,2,-1),x,的值总大于1，则实数,a,的取,值范围是 （）,A,.1|,a,|2,B,.|,a,|0时，,f,(,x,)=(,a,2,-1),x,的值总大于1，,a,2,-11，,a,2,2，,7.,C,8.函数,y,=,a,x,（,a,0,且,a,1）在1，2上的最大值比最小值,大 则,a,的值是,.,解析,当,a,1时，,y,=,a,x,在1，2上单调递增，,故 得,当0,a,0时，2,x,1,x,3,0.,f,(,x,)为偶函数，当,x,0.,综上可得,f,(,x,)0.,11.已知函数 (,a,0，且,a,1).,(1)判断,f,(,x,)的单调性；,（2）验证性质,f,(-,x,)=-,f,(,x,),当,x,(-1,1)时，并应用该性质,求满足,f,(1-,m,)+,f,(1-,m,2,)0的实数,m,的范围.,解,（1）设,x,1,x,2,x,1,-,x,2,1,则,所以,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,)在（-,+）上为增函数；,同理，若0,a,1则,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,)在（-,+）上为增函数.,综上，,f,(,x,)在,R,上为增函数.,(2),则,显然,f,(-,x,)=-,f,(,x,).,f,(1-,m,)+,f,(1-,m,2,)0,即,f,(1-,m,)-,f,(1-,m,2
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