电磁场中电子的运动

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,电子在电磁场中的运动,西安交通大学,康永锋,电子光学 第二章 (Kang) P.2,提纲,牛顿运动方程,拉格朗日方程,最小作用原理,折射率与轨迹方程,电子运动的波动性质,引言,电子光学第二章(Kang) P.3,引言,运动规律,电子光学的主要研究对象是带电粒子的运动规律。（,质点动力学,-,轨迹,）,当我们忽略了带电粒子之间相互的电磁作用时，就可以将带电粒子运动看作为,单个质点,运动。因此可以利用单个粒子的质点运动方程，即,牛顿型运动,方程求解带电粒子运动规律。曲坐标系的拉,格朗日方程,，以及,相对论效应,。,变分原理（,哈密顿原理,和,最小作用原理,）以及与光线光学的相似性。,波动性原理；自由空间以及大尺度外电磁场，不考虑量子力学；只考虑,衍射效应,。,电子光学 第二章 (Kang) P.4,提纲,引言,拉格朗日方程,最小作用原理,折射率与轨迹方程,电子运动的波动性质,牛顿运动方程,电子光学第二章(Kang) P.5,牛顿运动方程,洛仑兹力,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,电子光学第二章(Kang) P.6,牛顿运动方程,洛仑兹力,具有电荷为,，运动速度为,电场强度和磁感应强度分别为,和,的电磁场中运动，将受到罗伦兹力的作用，可以表示为:,的电子在,(2-1),上式有两部分，第一部分为电场力，它对电子做功，即改变电子的能量，产生电子的加速和减速运动；,第二部分为磁场力，对电子不做功，它不能改变电子的能量，只改变运动方向。,利用该式可以描述电子的运动。,电子光学第二章(Kang) P.7,牛顿运动方程,牛顿方程,电子的动量满足牛顿方程：,(2-2),非相对论情形（电子速度远小于光速）,高能粒子,电子光学第二章(Kang) P.8,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理,由于磁力是不做功的，考虑带电粒子能量的变化仅仅由电场决定，用速度点乘牛顿方程的两端右端项的第二项磁场项等于零，可以得到方程：,(2-3),等式左边变换为：,等式右边变换为,电子光学第二章(Kang) P.9,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理,能量守恒,(2-4),令粒子速度为零时，电位为零。定义,加速电位 U*,动能、势能和静止能量守恒；粒子在任一点动能完全由加速电位决定。,粒子的运动速度,电子光学第二章(Kang) P.10,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理,能量守恒（低速）,同理，用速度点积牛顿方程两端，可得：,可得,电子光学第二章(Kang) P.11,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理,能量守恒（低速）,(2-4),说明，带电粒子的能量为恒定值，即动能与位能的和等于常数。因此可以建立电子运动速度与电位之间的关系。,电子光学第二章(Kang) P.12,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理,能量守恒（低速）,(2-5),引入加速电位U*,上式表示了在低速情况下，加速电位与电子速度之间的关系，其中电位表示的是规范化电位，即考虑电子动能为零作为参考点。,用它可以计算电子光学仪器的电子能量。在高速情况下，需考虑相对论。,电子光学第二章(Kang) P.13,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,运动方程的直角坐标形式的三个分量方程为：,电子光学第二章(Kang) P.14,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,运动方程的圆柱坐标形式的三个分量方程可有直角坐标变换而来；,利用坐标变换，可建立直角坐标x和y与圆柱坐标r和,之间的关系为：,上面的坐标对时间求微分有：,电子光学第二章(Kang) P.15,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,将而r方向的力表示为x和y方向的力的投影，可以得到分量形式,：,不变,电子光学第二章(Kang) P.16,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,将而r方向的力表示为x和y方向的力的投影，可以得到分量形式,：,电子光学第二章(Kang) P.17,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,将x和y的微分形式用r和,的微分形式代入，上述方程可以得到圆柱,坐标方程下的牛顿方程：,电子光学第二章(Kang) P.18,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,因此，将方程左端向的洛仑兹力项带入方程中，可得,电子光学第二章(Kang) P.19,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,课本（2.1.15）式给出了任意一般正交曲线坐标系的牛顿运动方程，相当复杂。,电子光学 第二章 (Kang) P.20,提纲,引言,牛顿运动方程,最小作用原理,折射率与轨迹方程,电子运动的波动性质,拉格朗日方程,电子光学第二章(Kang) P.21,拉格朗日方程,拉格朗日方程的意义,直角坐标系下推演拉格朗日方程,磁场存在的情形,考虑相对论后的拉格朗日函数,拉格朗日方程与牛顿运动方程的联系,电子光学第二章(Kang) P.22,拉格朗日方程,拉格朗日方程的意义,1.牛顿运动方程能够处理给定电磁场中带电粒子运动的质点动力学的全部内容。,2.但是牛顿运动方程运用到曲线坐标时，表达式比较复杂，而且缺乏直观意义；,3.而采用分析力学中的拉格朗日方程，利用广义坐标的表达形式更为直观，,物理意义更为清晰。,4.利用广义坐标，把粒子的速度,V,和势函数,U,和,A,用广义坐标,q,1,q,2,和,q,3,及其对,时间的,导函数,表示，则拉格朗日方程将自动产生三个标量的运动方程。,电子光学第二章(Kang) P.23,拉格朗日方程,直角坐标系下推演拉格朗日方程,由于静电场为保守场，因此可建立位函数W与场作用力的关系式为：,可以利用微分的性质，将上式中第一式的左端项写成用动能形式表示为,可得,电子光学第二章(Kang) P.24,拉格朗日方程,直角坐标系下推演拉格朗日方程,由于动能,T,只与,速度,有关，位能,W,只与,坐标,有关，根据偏微分的性质，动能T对坐标的微分为零，而位能W对速度的微分为零，因此用函数,带入方程中，可以得到上式的等价方程为：,同理对y和z分量可得出类似的方程，如果将式中的坐标用广义坐标表示,在分析力学中已经证明，在,q,i,为任意广义坐标时上式均成立。,电子光学第二章(Kang) P.25,拉格朗日方程,直角坐标系下推演拉格朗日方程,拉格朗日函数,静电场是位场，因此将位能和动能函数带入到拉格朗日函数后，得到静电 场中的拉各朗日函数,如果把,称为广义速度，可以称,为广义的力，而将,称为广义动量，那么,称为位场决定的力,电子光学第二章(Kang) P.26,拉格朗日方程,磁场存在的情形,因为磁场不是位场，磁场作用力不能用上面的位函数微分表示力，,但可以证明存在一个对应的广义力为：,在电场强度向量为,及磁感强度为,定义的电磁场中，可以用,电位,和磁矢位,表示为：,电子光学第二章(Kang) P.27,拉格朗日方程,磁场存在的情形,右端式的前两项表示电位和磁位引起的电场作用，后一项表示磁位引起的,磁场作用。,牛顿运动方程可以写为：,电子光学第二章(Kang) P.28,拉格朗日方程,磁场存在的情形,将右端项写成分量式，并化成全微分形式有：,其中,电子光学第二章(Kang) P.29,拉格朗日方程,磁场存在的情形,同理，对y 和 z分量也存在同样的方程，因此就有,令右端项后面的一项为,修正的拉格朗日函数为,则拉格朗日方程与牛顿方程一致。,电子光学第二章(Kang) P.30,拉格朗日方程,考虑相对论后的拉格朗日函数,静电场,考虑磁场,考虑相对论修正后，上式第一项并不代表粒子运动的动能。,电子光学第二章(Kang) P.31,拉格朗日方程,拉格朗日方程与牛顿运动方程的联系,从拉格朗日方程出发，能直接导出第一节给出的正交曲线坐标系的运动方程。举个例子，在球坐标系中，静电场情形拉格朗日函数,从拉格朗日方程就可以直接写出球坐标系中牛顿运动方程，见课本（2.2.14）,电子光学 第二章 (Kang) P.32,提纲,引言,牛顿运动方程,拉格朗日方程,折射率与轨迹方程,电子运动的波动性质,最小作用原理,电子光学第二章(Kang) P.33,最小作用原理,变分原理简述,泛函,欧拉方程,哈密顿原理,最小作用原理,轨迹相似性原理,电子光学第二章(Kang) P.34,最小作用原理,变分原理简述,1. 经典力学的质点动力学问题，除了用上面介绍的牛顿方程、拉格朗日方程表示外，还可以采用变分原理描述;,2. 描述简洁，具有高度概括性；,3. 变分原理的应用揭示了带电粒子运动的规律与光线光学的运动类似性，在此基础上建立和发展了电子光学。,4.所谓变分原理的数学问题是泛函求极值问题。,电子光学第二章(Kang) P.35,最小作用原理,泛函,我们知道函数的定义，即，假如一个连续变化的函数表示为：,那么,称为自变量,是自变量,的函数，如果一个,和,f(x),的关系为，,成立，则称,为泛函，,与,的关系类似于,与,的关系，因此也,函数,v,与,称为函数的函数。,电子光学第二章(Kang) P.36,最小作用原理,泛函,泛函求极值,同函数一样，泛函的稳定值可以用极值描述，即微分等于,0,时的值。,发生一微小变化，即扰动时，,如果函数,可以表示为,其中,(x),为任意给定函数，,为数值参数。参量,的变换意味着,函数,y,的连续变化。当,=0,时，函数,y,值为,f(x),即,y,0,。,电子光学第二章(Kang) P.37,最小作用原理,泛函,泛函求极值,当,变化时，显然泛函,v,也随着变化。,式中,因此,为,的一阶微分形式，用,表示，称为泛函,的一阶变分，称为泛函的极值，,称为二阶变分，如此类推,。,电子光学第二章(Kang) P.38,最小作用原理,泛函,在物理问题中一个常用的泛函表示形式是下面的定积分形式的泛函，这个积分形式的泛函极值问题，既变分问题所描述的是能量问题。假设一个积分形式的泛函表示为：,式中,y,是,x,的连续函数，且在该区间具有一阶、二阶导数存在。,现在研究泛函,的极值问题，由于当存在函数,时，,函数,y,和一阶微分可以分别表示为：,电子光学第二章(Kang) P.39,最小作用原理,泛函,因此，泛函,v,也是,的函数，泛函取极值可以表示为,，,即,函数,的两个端点值分别为,处，,处，,应有,电子光学第二章(Kang) P.40,最小作用原理,泛函,这时泛函V的极值可以表示为,根据端点的初始条件，上式中,代入方程中，可得：,电子光学第二章(Kang) P.41,最小作用原理,泛函,将上式第二项做分部积分,将两个端点值带入，由于,因此上式的第一项为零，极值可以表示为：,电子光学第二章(Kang) P.42,最小作用原理,欧拉方程,对于任意函数 ，上式成立的必要条件是,该式称为欧拉方程，变分学的一个基本方程。泛函极值的必要条件,是积分函数要满足欧拉方程，即欧拉方程成立，也就是说，上述,定积分泛函的极值问题等价于欧拉方程。,对于一个多变量泛函，可以用多个欧拉方程分量表示，而欧拉方程,等价于牛顿运动方程，即变分问题与牛顿运动方程是等价的。,电子光学第二章(Kang) P.43,最小作用原理,哈密顿原理,将积分函数,F,换成拉格朗日函数，对应的变分问题为：,对应的欧拉方程为：,电子光学第二章(Kang) P.44,最小作用原理,哈密顿原理,将拉格朗日函数带入到变分式中，即得到电磁场中粒子运动的哈密顿原理：,显然哈密顿原理中的积分函数是,能量,形式，满足哈密顿原理，表示在各种运动形式中，应满足能量最小。,哈密顿原理中的积分变量为,时间函数,，它表示粒子运动与时间坐标的关系，因此它对应的是运动方程，而对电子运动的规律研究，我们更感兴趣的是粒子运动的轨迹，因此希望泛函积分中的时间坐标换为空间的坐标。,电子光学第二章(Kang) P.45,最小作用原理,最小作用原理,根据哈密顿原理，带电粒子在电磁场中的运动可以用下式表示：,式中,为拉格朗日函数,可以定义广义动量P为(分量p,i,i=1,2,3),因此，广义动量P也可以表示为,电子光学第二章(Kang) P.46,最小作用原理,最小作用原理,用速度矢量,总能量为,点乘上式两边，可以得到,常数,因此，由于上式等于常数，满足变分为零的条件，即可以表示为：,电子光学第二章(Kang) P.47,最小作用原理,最小作用原理,而第一式,此式表示,最小作用原理,。,可以写成两个变分的和,而第二式由哈密顿原理可知，为零,，因此，上式可以写为,将广义动量带入,电子光学第二章(Kang) P.48,最小作用原理,最小作用原理,最小作用原理中的被积函数为动量，积分元是弧长。即，最小作用原理是将哈密顿,原理的一个能量对时间的积分求极值问题，变换成一个动量对弧长积分的求极值,问题，是完全等价的。,电子光学第二章(Kang) P.49,最小作用原理,轨迹的相似性原理,已知带电粒子在电磁场中运动，可以用最小作用原理表示，将被积函数用,广义动量表示，最小作用原理可以表示为：,当只有电场时，上式可以简化为,由于最小作用原理与带电粒子的运动方程是等价的，因此，可以利用最小作用原理的形式讨论带电粒子运动的规律和具有的性质：,电子光学第二章(Kang) P.50,最小作用原理,轨迹的相似性原理,1.轨迹与荷质比的关系,在不存在磁场的电场中，被积函数不含粒子质量和电荷，即,可以看出，对于不同类型的带电粒子，上式不变，即轨迹相同，也就是说，,不管粒子的质量和电荷的大小，轨迹是一样的，即，带电粒子在静电场中,运动轨迹与粒子的荷质比 无关。,但有磁场时，最小作用原理表示为：,可以看出轨迹与荷质比,有关，荷质比越大，磁场的作用越强。,电子光学第二章(Kang) P.51,最小作用原理,轨迹的相似性原理,2.轨迹与电磁场大小成比例变化无关,当仅存在,电场,时，将最小作用原理的被积函数乘以一个常数，不影响变分,为0条件的成立，说明，当电场增大或减小,K,倍时，被积函数不变，即轨迹不变。,当有,磁场,时，将式写成如下形式：,可以看出，电场变化,K,倍，磁场需要变化,倍，可以使轨迹保持不变,。,电子光学第二章(Kang) P.52,最小作用原理,轨迹的相似性原理,3.几何尺寸变化，轨迹形状不变，,当电场和磁场的相对分布不变，只是几何尺寸变化时，可以表示为：,轨迹与电磁场大小成比例变化无关,，,变换为,如果令坐标变量为,，,，,那么，微分弧元,，代入变分中，有,成立，可以说明尺寸变化同样倍数，但分布不变时，轨迹形状不变。,电子光学 第二章 (Kang) P.53,提纲,引言,牛顿运动方程,拉格朗日方程,最小作用原理,电子运动的波动性质,折射率与轨迹方程,电子光学第二章(Kang) P.54,折射率与轨迹方程,折射率,上节证明了最小作用原理与运动方程的等价性，即可以采用最小作用原理描述,一个带电粒子的运动轨迹。,本节证明，描述力学问题中带电粒子运动问题最小作用原理形式相似于光线光学,中的费马原理，从而将带电粒子运动轨迹表现形式与光线光学轨迹的表现形式,统一起来。,电子光学第二章(Kang) P.55,折射率与轨迹方程,折射率,和,分别为入射角和反射角，,为折射角，,和,已知光线光学的基础是折射和反射定律：,其中,分别为两个介质的折射率，可以证明沿折射-反射定律的实际光线路程，光的传播时间最短；,电子光学第二章(Kang) P.56,折射率与轨迹方程,折射率,和,为两种媒质中传播的相速度，,光反射情况下：,折射光程所需时间：,电子光学第二章(Kang) P.57,折射率与轨迹方程,折射率,可以说明，入射光程和反射光程为最短直线距离，所需时间最短，即光的传播时间为最短距离所需时间，右边等于最短距离比相速，既时间；左边为每段光线的时间,一般情况下由下式表示：,最小,电子光学第二章(Kang) P.58,折射率与轨迹方程,折射率,用积分表示为,最小，即,此式为费马原理，此式中的折射率表示为连续变化的函数。,该式与电子光学中最小作用原理一致，因此可以用光学传播的概念来描述带电粒子的运动规律,这是电子光学建立的理论基础。,电子光学第二章(Kang) P.59,折射率与轨迹方程,折射率,通过类比的方法得到电子光学的折射率为,其中,低速静电场中运动时，折射率表示可以简化为,电子光学折射定律为,电子光学第二章(Kang) P.60,折射率与轨迹方程,折射率,但电子光学中建立类似的棱镜是困难的，因为，棱镜需要电子透明且电位要有,突变界面，而制作突变界面工艺上是困难的，因此建立对电子透明的、电位突,变的电子棱镜将是非常有意义的研究方向。,电子光学第二章(Kang) P.61,折射率与轨迹方程,轨迹方程,利用折射率，从最小作用原理可以直接得到粒子轨迹方程,从最小作用原理或费马原理得到,等价的欧拉方程为：,1，2，3,电子光学第二章(Kang) P.62,折射率与轨迹方程,轨迹方程,其中,表示对弧长求导函数，如果将z坐标作为自变量，将,代入方程中可得到,对应的欧拉方程为,电子光学第二章(Kang) P.63,折射率与轨迹方程,轨迹方程,折射率为,其中，,电子光学第二章(Kang) P.64,折射率与轨迹方程,轨迹方程,展开后折射率,带入欧拉方程得到轨迹方程为：,电子光学第二章(Kang) P.64,折射率与轨迹方程,轨迹方程,另一个分量方程为：,电子光学 第二章 (Kang) P.65,提纲,引言,牛顿运动方程,拉格朗日方程,最小作用原理,折射率与轨迹方程,电子运动的波动性质,电子光学第二章(Kang) P.67,电子运动的波动性质,带电粒子的波动性,圆孔夫琅和费衍射,电子光学第二章(Kang) P.68,电子运动的波动性质,带电粒子的波动性,前面讨论的电子光学原理，基于带电粒子的粒子性，采用的质点动力学方法描述带电粒子在电磁场中的运动规律。,如同几何光学一样，在电子光学中存在着几何像差，但几何像差不能解释电子光学仪器的局限分辨率，这是由于电子除了与线形光学一样的折射、反射规律外，它同样具备干涉、衍射、偏正等现象，即具有另一个重要的性质,波动,现象。,电子光学第二章(Kang) P.69,电子运动的波动性质,带电粒子的波动性,目前，高分辨电子光学系统分辨率已经达到原子尺度，但是由于电子透镜的球,差不能克服，使用的光阑孔径非常小，所以衍射效应是影响系统分辨率的首要因素,之一。,研究高分辨电子像的形成和电子光学系统传递函数问题、电子离子与物质的,散射作用及其与物质微观结构的问题，利用衍射图样研究物质结构以及电子全息,技术等问题，都要把电子离子运动作为波动过程处理。,电子光学第二章(Kang) P.70,电子运动的波动性质,带电粒子的波动性,研究带电粒子的波动性，基础自然是量子力学。但是对于粒子在自由空间的运动,可以类似与波动光学，用惠根斯-菲涅尔原理处理。,自由电子和离子运动，可以视为德布罗意波，其动量、能量和波动参量的关系为：,式中,h,为普朗克常量，,。,为波动频率。,=2,为角频率。,为波长，,k =2,/,波数。,电子光学第二章(Kang) P.71,电子运动的波动性质,带电粒子的波动性,带电粒子的波长为：,低速运动粒子,相对论速度运动粒子,考虑到带电粒子的能量和速度完全由加速电位决定，上式可写为：,低速运动粒子,相对论速度运动粒子,电子光学第二章(Kang) P.72,电子运动的波动性质,带电粒子的波动性,对于电子，代入各个常数，可得,伏特时，波长,由此可见，电子波长比可见光短几个数量级，具有更高的分辨率。对于离子，,其质量比电子重得多，其波长还要短很多。,举例：当,电子光学第二章(Kang) P.73,电子运动的波动性质,圆孔夫琅和费衍射,当平行电子束通过一个圆孔光阑时，在光阑后面的屏幕上，出现明暗交替,的圆环条纹，这就是圆孔光阑的夫琅和费衍射现象。,图 2.2 圆孔衍射,电子光学第二章(Kang) P.74,电子运动的波动性质,圆孔夫琅和费衍射,在自由空间，可不用解薛定谔方程，而近似的利用惠根斯-菲涅尔原理。,根据惠更斯假说，波阵面上的每一个点均可看成产生球面子波的次级波源，以后任何时刻的波阵面都是由这些子波所形成的包络。,菲涅尔补充道：假定这些次级波相互干涉，说明了衍射现象。,圆孔光阑的夫琅和费衍射,当平行电子束通过一个圆孔光阑时，在光阑后面的屏幕上，出现明暗交替的圆环条纹，这就是圆孔光阑的夫琅和费衍射现象。,根据惠更斯菲涅尔原理，把圆孔分解为一个个圆形的次级波源，当衍射屏与圆孔的距离比圆孔直径大得多时，可以直接利用菲涅尔公式。,电子束可以看作为平面波,电子光学第二章(Kang) P.75,电子运动的波动性质,圆孔夫琅和费衍射,电子束可以看作为平面波,在光阑处，z=0，有,式中a为光阑孔径，在孔的右边，任一点电子波函数是位于光阑平面处无数,小面积元激励的次级球面波的叠加，所以在衍射屏某点的波函数为,式中,为次级波传播的方向与z轴的夹角。,电子光学第二章(Kang) P.76,电子运动的波动性质,圆孔夫琅和费衍射,由于,将s展开为：,s=,在夫琅和费衍射条件下，当只考虑前两项时，由于旋转对称性，光阑平面,膜孔内（激励源）和衍射屏上（观察点）的点分别用极坐标（,，,和（,，,）表示，则有,）,电子光学第二章(Kang) P.77,电子运动的波动性质,圆孔夫琅和费衍射,由于夫琅和费衍射成立时，s,很小，cos 近似为1，则波函数为,则,P点的衍射相对幅度为：,电子光学第二章(Kang) P.78,电子运动的波动性质,圆孔夫琅和费衍射,上式中对,的积分类似与贝塞尔函数积分,振幅公式可以写成,利用贝塞尔函数的迭推公式,因此,电子光学第二章(Kang) P.79,电子运动的波动性质,圆孔夫琅和费衍射,衍射花样的强度分布，即电子束密度是电子波振幅的平方，,是强度最大值，,是一阶贝塞尔函数。衍射强度分布如下图所示。,电子光学第二章(Kang) P.80,电子运动的波动性质,圆孔夫琅和费衍射,衍射花样的强度分布，即电子束密度是电子波振幅的平方，,是强度最大值，,是一阶贝塞尔函数。 ，衍射图形中心强度最大，,以下各暗环半径分别对应为,，,根据上式可以计算出电子束电流的分布范围，将此式对,第一个暗环半径内的电子电流占总电流的80%。,与第一个强度为零的暗环半径对应的,积分，可以得到，,电子光学第二章(Kang) P.81,Acknowledgement,Thank you for your attention.,