数学史概论第四讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,印度数学,1,印度文明概述,2 古代绳法经中的数学,3,“,巴克沙利手稿”与零号,4 “悉檀多”时期的印度数学,（四）,婆什迦罗,(一）阿耶波多,（三）,马哈维拉,（二）婆罗摩笈多,第 4,讲. 古代与中世纪的东方数学,印度数学（公元512世纪）,史前时期：公元前2300年前,哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期国家,早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度,后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成,列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生,帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国,古印度简况,强盛独立的王朝孔雀王朝（前324前187），笈多王朝（公元320540）、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响,吠陀印度雅利安人的作品，婆罗门教的经典,绳法经（前8前2世纪）：庙宇、祭坛的设计与测量，包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理等,印度数学,吠陀时期(公元前10-前3世纪),悉檀多时期(公元5-12世纪),印度数学,吠陀手稿,（毛里求斯，1980）,古代绳法经中的数学,吠陀,测绳的法规：,几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值：,用到,= 3.004,和,关于正方形祭坛的计算中取,圆周长,弧长,“巴克沙利手稿”与零号,巴克沙利(Bakhshali)手稿:数学内容涉及到分数,平方根,数列,收支与利润计算,比例算法,级数求和,代数方程等,其代数方程包括一次方程,联立方程组,二次方程.该书使用了一些数学符号,如减号,将“12,7,” 记成“12 7,”,出现了,10个完整的十进制数码,用点表示0：,印度人以“0”表示“无”概念与佛教的“空”(梵文Snya)有关.,用圆圈符号“0”表示零也是印度人的一项伟大发明,最早出现于9世纪的瓜廖尔(Gwalior)地方的一块石碑上,大约在11世纪,10个完整印度数码臻于成熟.印度人不仅把“0”视作记数法中的空位,而且也视其为可施行运算的一个特殊的数.公元773年,印度数码传入阿拉伯国家,后来通过阿拉伯人传到欧洲,成为今天国际通用的所谓阿拉伯数码。,“悉檀多”时期的印度数学,阿耶波多(AryabhataI,476-约550）,婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-665）,马哈维拉(Mahavira,9世纪),婆什迦罗(Bhaskara，1114-约1185)等。,(一）阿耶波多,现今所知有确切生年的印度最早数学家,天文数学著作:,阿耶波多历数书(499),贡献：,对希腊三角学的改进；,一次不定方程的解法。,半弦与全弦所对弧的一半相对应,B,C,A,以半径的1/3438作为度量弧的单位给出了第一象限内间,隔为3,45,的正弦差值表。,印,度第一个正弦表:天文著作苏利耶历数全书,(约5世纪),阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程 整数解，首先对,a,，,b,使用辗转相除法得到系列商,q,1,q,2,q,3, ,q,n, 以及相应的余数系列：,r,1,r,2,r,3, ,r,n,= 0 ,依法则：,计算, 得到 的渐近分数序列：,有,，,，,于是不定方程的特解为,（二）婆罗摩笈多,著作:,婆罗摩修正体系(628)肯德卡迪亚格(约665),贡献:,把0作为一个数来处理,对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则,给出二次方程的求根公式,给出佩尔(Pell)方程的一种特殊解法:“瓦格布拉蒂”,方法:首先选择适当的整数,k,与,k,，分别找出,ax,2,+ k =,y,2,和,ax,2,+ k =,y,2,的解(,)与(,),再做所谓“瑟马萨” 的组合,得到:,为,ax,2,+ k k =,y,2,的解.,取,k = k, 若,a,2,+,k,=,2,，则是,a x,2 +,k,2 = y 2的解.,这样就得到,a x,2,+ 1 =,y,2,的解：,婆罗摩笈多进一步指出，只要在k = ,1,，,2,，,4,的条件下，求得,a x,2,+ k =,y,2,的一组解(,),，就可得出,a x,2,+ 1 =,y,2,无穷组解。,婆罗摩笈多在肯德卡迪亚格中利用二次插值法构造了间隔为15的正弦函数表，给出下面的插值公式：,于是,（其中,h,= 15,x,1,，,sin(,h,)与,2,sin(,h,)分别表示一、二阶差分）,婆罗摩笈多正弦差分表,角度 正弦线 一阶差 二阶差,0 0 39 -3,15 39 36 -5,30 75 31 -7,45 106 24 -9,60 130 15 -10,75 145 5,90 150,几何方面: 获得边长为,a,，,b,，,c,，,d,的四边形的面积公式：,实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一点，后来马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为0的四边形，从而获得海伦公式。12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑。,p,= (,a,+,b,+,c,+,d,)/2 .,马哈维拉,著作：,计算方法纲要,内容：,九个部分（1）算术术语，（2）算术运算，（3）分数运算，,（4）各种计算问题，（5）三率法（即比例）问题，,（6）混合运算，（7）面积计算，（8）土方工程计算；,（9）测影计算。,给出了一般性的组合数公式,给出椭圆周长近似公式：,受九章算术或中国其它算书的影响。,施里德哈勒(Sridhara, 9世纪):计算概要, 日用数学著作。,印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家,数学著作：莉拉沃蒂（Llvat）和算法本源,代表印度古代数学最高水平的著作,天文著作：天球和天文系统之冠,莉拉沃蒂,共有13章：第一章给出算学中的名词术语；第二章是关于整数、分数的代数运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第三章论各种计算法则和技巧；第四章关于利率等方面的应用题；第五章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第六章关于平面图形的度量计算；第七至十章关于立体几何的度量计算；第十一章为测量问题；第十二章是一些代数问题，包括不定方程；第十三章是一些组合问题。该书很多数学问题用歌谣的形式给出。,算法本源,主要是算术和代数著作。,什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对“库塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对,ax,2,+ 1 =,y,2,，婆什迦罗首先选择适当的整数,k,，找出,a x,2,+ k =,y,2,的一组特解(,)，即,a,2,+ k =,2,，另外再找一个整数,m,，使（1，,m,）是,a x,2,+（,m,2,-,a,）=,y,2,的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到,婆什迦罗,最后根据“库塔卡”方法，可以找到,m,使,k,m,+,并且使,m,2,-,a,最小。计算,满足,a x,2,+,k,(,m,2,-,a,）=,y,2, 即,则（,1,，,1,）是方程,ax,2,+,k,1,=,y,2,的解。用,1,，,1,，,k,1,代替,，,，,k,，重复做上面的演算，若干次后就得到,a x,2,+,p,=,y,2,的特解（其中,p,= ,1,，,2,，,4,），再根据婆罗摩笈多的方法得到,ax,2,+ 1 =,y,2,的无穷个解。,婆什迦罗能够熟练地使用诸如和差与半角等三角公式，在解二次方程中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如 和,的无理数的平方根。,3.1 阿拉伯帝国的兴起,3.2 阿拉伯的代数,3.3 阿拉伯的三角学与几何学,阿拉伯国家指以阿拉伯民族为主体的国家，大多分布在亚洲西部和北非一带，一般使用阿拉伯语，信奉伊斯兰教。然而“阿拉伯数学”并非指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下的中亚西亚地区的数学，包括穆斯林、希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。,阿拉伯数学,阿拉伯数学,伊斯坦布尔的天文学家（1971）,消化希腊数学, 吸收印度数学,文化中心: 巴格达,9-15世纪繁荣600年,对文艺复兴后欧洲数学的进步有深刻影响,希腊(公元前6世纪-公元6世纪),印度(公元5-12世纪),阿拉伯科学(公元9-15世纪),波斯(公元前6世纪-前3世纪),阿尔 ,花拉子米（乌兹别克, 783850）（苏联, 1983）,早期阿拉伯数学: 8世纪中叶9世纪,代数教科书的鼻祖：代数学(820) (复原与对消),1140年被罗伯特(英)译成拉丁文,欧洲延用几个世纪标准的代数学教科书,阿拉伯数学,印度计算法,花拉子米(约783850):还原与对消计算概要(al-Kitb al-mukhta sar f hisb al-jabr wal-muqbala,约820年前后) 简称代数学,“Al-jabr” : 还原移项; “al-muqbala”: 对消. 传入欧洲后，到十四世纪“Al-jabr”演变为拉丁语“Algebra”，也就成了今天的英文“Algebra”。,(i) 用代数方式处理线性方程组和二次方程；,(ii) 第一次给出一元二次方程一般代数解法,及几何证明,(iii) 引进移项、合并同类项等代数运算,代数学首先指出，该书的数学问题都是由根（,x,）、平方（,x,2,）和数（常数）这三者组成。,阿拉伯的代数学,(一）花拉子米代数学,分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。第一章讨论,ax,2,=,bx,型方程；第二章讨论,ax,2,=,b,型方程；第三章讨论 一次方程,ax,=,b,；第四、五、六章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：,x,2,+,px,=,q,x,2,+,q,=,px,x,2,=,px,+,q, 都给出了相应的求根公式。这六种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式,明确指出,二次方程可能有两个正根,也可能有负根,但他不取负根与零根。,之后，花拉子米又以几何方式证明上述各种解法的合理性。如对方程,x,2,+ 21 = 10,x,求解过程的证明如下：,图1,图2,花拉子米分两种情形讨论。,(1) 当,x, 5时，以,x,为边作正方形,ABCD,，在边,BC,上截取,BL,= 5，延长,LC,至,G,，使,LG,= 5，以,LG,为边长作正方形,LGNF,，以,LC,为边长作正方形,EFMD,，(如图2), 记矩形,FLCM,、,MCGN,、,EFMD,、,DMNP,的面积分别为,a,、,b,、,c,、,d,，由图形可知，,x,2,+,b,+,d,= 10,x, 这样,b,+,d,= 21。,那么，,LC,=,FM,=2，故,花拉子米指出: 任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”（即移项与合并同类项）的步骤化成他所讨论的六种类型方程。,若记矩形,DCLE,、,ELPH,、,LFMN,、,MNPG,的面积分别为,a,、,b,、,c,、,d,，由图形可知，,x,2,+,a,+,b,= 10,x, 这样,a,+,b,= 21。 由于,a,= (5,x,),x,=,d, 于是,c,= 5,2,b,d,= 5,2,21,，即,那么,LC,=,FM,=2,故,于是,c,= 52,b,d,= 52,21,，即,由于,a,=,c,+,d,= 5 (,x,5),，,印度计算法:（Algoritmi de numero indorum）,系统介绍印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。,拉丁文译本在欧洲传播，为欧洲近代数学的发生提供了科学基础。,该书在欧洲传播后，“Algoritmi”也演变为“Algorithm”。,艾布卡米勒:,（Abu Kamil，约850930） “埃及的计算家”,继承了花拉子米的数学工作为。,计算技巧珍本：许多数学问题也采自于花拉子米的书,论五边形和十边形：包括几何和代数两方面的内容，关于四次方,程解法和处理无理系数二次方程是其主要特色。,奥马,海亚姆与三次方程,奥马,海亚姆（,Omar Khayyam，1048?1131）：11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人,还原与对消问题的论证(简称代数学): 开平方、开立方算法,该书对代数学发展的最杰出贡献是用圆锥曲线解三次方程。,门奈赫莫斯(Menaechmus, 约BC360)为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线，它与三次方程,x,3,= 2,a,2,相联系。阿基米德在考虑：平面截球，使所截得的两部分体积比为定值的问题时，导致三次方程：,x,2,(,a,x,) =,bc,2,。他利用两条圆锥曲线,y,(,a,x,) =,ab,和,ax,2,=,c,2,y,的交点来求解。阿基米德的传统启发了阿拉伯数学家。,海亚姆将不高于三次的代数方程分为25类(系数为正数),其中14类三次方程,对每类三次方程给出相应一种几何解法,例如解,x,3,+,ax,=,b,首先将其化为,x,3,+,c,2,x,=,c,2,d, (这里,c,2,=,a,c,2,d,=,b, 按照希腊人的数学传统:,a,、,b,是线段,c,2,为正方形,c,2,d,为长方体), 方程,x,3,+,c,2,x,=,c,2,d,的解就是抛物线,x,2,=,c y,与半圆,y,2,=,x,(,d,x,) 交点的横坐标,x,. 他首先画出正焦弦为,c,的抛物线, 再画出直径为,d,的半圆(如下图), 过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解.,Q x S,d,x,R,P,高次方程的数值解法：,纳西尔丁(Nasir-Eddin,12011274)和阿尔卡西（Al-Kash,?1429）都给出了开高次方的一般性算法。,阿尔卡西：,撒马尔罕天文台负责人,算术之钥：给出用于开方的二项式系数表，与11世纪中国贾宪的,“开方作法本源图”十分相似，所介绍的两种造表方法之一，与杨辉,算书所录贾宪“增乘方法求廉草”完全一致.算术之钥中还有“契丹,算法”（即盈不足术, 当时的历史学家称中国为契丹al-Khataayn）和,“百鸡问题”，后来传入欧洲。,高精度三角函数表的编造,海拜什哈西卜,(Al-Hasb, 764?870?),制定间隔为15的60进制正弦表，还编制了间隔,为1,的正切表。,艾布,瓦法,(Abl-Waf, 940997?),编制出间隔为10的正弦表和正余弦表,引入正割、余割,比鲁尼,(Al-Brn, 9731050),利用二次插值法制定了正弦、正切函数表。,马拉盖天文台,阿拉伯的三角学与几何学,阿尔巴塔尼,(al-Battn, 858?929),天文论著,又名星的科学,对希腊三角学加以系统化,创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切,余切。他称正弦为jba，来源于阿耶波多的印度,语术语jva, 拉丁语译作sinus, 后来演变为英语,sine；称正切为umbra versa, 意即反阴影；余切,为umbra recta, 意即直阴影；后来演变拉丁语分别,为tangent和cotangent发现了一些等价于下列公式的三角函数关系式：,巴塔尼（ 858?-929）, , ，, 。,以及球面三角形的余弦定理：cos,a,= cos,b,cos,c,+ sin,b,sin,c,cos,A,.,艾布瓦法,天文学大全,继承并发展了托勒玫的大汇编,编制精细的三角函数表,证明了与两角和、差、倍角和半角,的正弦公式等价的关于弦的一些定,理,证明了平面和球面三角形的正,弦定理。,比鲁尼 (Al-Brn, 9731050),146余部著作,马苏德规律：在三角学方面有,一些创造性的工作,正弦公式、和差化积公式、倍角,公式和半角公式。,给出一种测量地球半径的方法,首先用边长带有刻度的正方形,ABCD,(如图4.4,a,)测出一座山高,(其中 )，再于山顶,T,处悬一直径,SP,可以转动的圆环,MPNS,从山顶,T,观测地平线上一点,I,，测得俯角,OTI,=,，由于,， ，得到 ，从而算出,地球半径 。,，,，,比鲁尼算得1,子午线长为106.4-124.2公里。,T,G,C E,B,D,A,F,M,S,T,P,N,H,I,O,G,图4.4,a,图4.4,b,阿尔卡西,计算sin1,的值：,首先求出sin72,和,sin60,的值,以求,sin12,=sin,(72,60,)的值,再用半角公式求,sin3,的值,由三倍角公式得出,sin3,=3sin1,4sin,3,1,，,即,sin1,是三次方程,sin3,=3,x,4,x,3,的解，阿尔卡西用牛顿迭代,法： ，（,x,1,= sin3,）求出,sin1,的近似值。,纳西尔丁,伊儿汗天文表,(1271): 测算出岁差51“/每年,天文宝库,对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型,论完全四边形,脱离天文学的系统的三角学专著，系统阐述了平面三角学，明确给,出正弦定理。讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出,球面直角三角形的6种边角关系(,C,为直角)：,cos,c,= cos,a,cos,b,; cos,c,= ctg,A,ctg,B,; cos,A,= cos,a,sin,B,; cos,A,= tg,b,ctg,C,; sin,b,= sin,c,sin,B,; sin,b,= tg,a,ctg,B,.,讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以 解斜三角形。指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角的一个重要标志。,与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，他们的几何学工作显得薄弱，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。他们主要受欧几里得、阿基米德、阿波罗尼乌斯、海伦和托勒玫等人的影响，希腊几何学对阿拉伯数学的严格性产生一定的作用。他们曾经对几何原本作过评注，其中第五公设引起了他们的注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里(ai-Jawhari，约830)、著名学者塔比伊本库拉(Thabit ibn Qurra, 约826901)、伊本海塞姆(Ibn al-Haytham,9651040?)、奥马海亚姆以及纳西尔丁等人。,阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生有一定的影响。,