立体几何向量方法-求角

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,利用,空间,向量,解决,空间角,问题,一、复习引入,名称,定义,图形,两条异面直线 所成的角,直线与平面,所成的角,二面角及它的,平面角,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a,、b,，并使,a,/a,，b,/b,，,我们把,直线a,和b,所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,a,b,o,.,a,O是空间中的任意一点,b,一、概念,名称,定义,图形,两条异面直线 所成的角,直线与平面,所成的角,二面角及它的,平面角,直线a、b是异面直线，经过,空间任意一点o,，作直线a,、b,，并使a,/a,，b,/b,，我们把,直线a,和b,所成的,锐角（或直角）,叫做异面直线a和b所成的角。,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做,这条直线和这个平面所成的角，,o,L,B,A,一、概念,名称,定义,图形,两条异面直线 所成的角,直线与平面,所成的角,二面角及它的,平面角,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a,、b,，并使a,/a,，b,/b,，我们把,直线a,和b,所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做,二面角的平面角,。,L,o,B,A,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做,这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L,则L与,所成的角是直角，若L/,或 L,，则L与,所成的角是的角。,A,L,B,O,一、概念,名称,定义,图形,两条异面直线 所成的角,直线与平面,所成的角,二面角及它的,平面角,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a,、b,，并使a,/a,，b,/b,，我们把,直线a,和b,所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做,二面角的平面角,。,L,o,B,A,A,L,B,O,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做,这条直线和这个平面所成的角，,B,B,二、数学思想、方法、步骤：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是,转化与,化归,，即把,空间角,转化为,平面角,。,2.方法：,步骤,：,作,（,找,）,证,求,1.数学思想：,几何法,向量法,夹角公式：,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,探究1：线线角,例1：,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,斜线与平面所成角的范围,：,思考：,结论：,探究2：线面角,例2：,的棱长为,1,.,正方体,x,y,z,解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz,l,l,二面角的范围,：,注意,:,法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,探究3：二面角,设平面,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,D,C,B,A,3.二面角：,l,l,一进一出，二面角等于法向量的夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。,O,A,B,C,S,x,y,z,1、如图，已知：直角梯形OABC中，,OABC,AOC=90，SO面OABC，,且OS=OC=BC=1，OA=2。,(1)求异面直线SA和OB所成的,角的余弦值,(2)求OS与面SAB所成角的余弦值,(3)求二面角BASO的余弦值,拓展训练,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,所以OS与面SAB所成角的余弦值为,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,x,y,z,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,x,y,z,所以二面角BASO的余弦值为,【例3】(2004年浙江省高考题)如图1-5，已知正方形,ABCD,和矩形,ACEF,所在的平,面垂直，,AF,1，,M,是线段,EF,的中点,(I)证明：,AM,平面,BDE,；,()证明：,AM,平面,BDF,；,()求二面角,A,-,DF,-,B,的大小,(),证明,如图1-6，设,AC,，,BD,交于点,O,，连,EO,，矩形,AFEC,的边长,AF,1，,AC=2,O,，,M,分别为,AC,与,EF,的中点，,四边形,AOEM,是平行四边形 ,AM,OE,又,OE,平面,BDE,，,平面,BDE,，,AM,平面,BDE,(),证明,如图1-7，,BD,AC,，,BD,AF,AC,AF,A,，,BD,平面,ACEF,，,DF,在平面,ACEF,上的射影为,OF,AO,AF,1，,AOMF,是正方形，,OF,AM,，,由三垂线定理得,DF,AM,同理,FB,AM,，,DF,FB,F,，,AM,平面,BDF,(),解,设,AM,OF,H，由()知,AH,平面,BDF,如图1-8，作,AG,DF,交,DF,于,，连结,GH,，由三垂线定理知,GH,DF,，,AGH,是二面角,A,-,DF,-,B,的平面角,又,即,二面角,A,-,DF,-,B,的大小为,点评,利用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角关键是找垂线，对有棱二,面角通常应注意选取合适的点构造二面角的平面角,【,例,4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥,P,-,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，,DAB=60,，,PD,平面,ABCD,，,PD,AD,，点,E,为,AB,中点，点,F,为,PD,中点,()证明：平面,PED,平面,PAB,；,()求二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值,【,例,4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥,P,-,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，,DAB=60,，,PD,平面,ABCD,，,PD,AD,，点,E,为,AB,中点，点,F,为,PD,中点,()证明：平面,PED,平面,PAB,；,()求二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值,【,例,4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥,P,-,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，,DAB=60,，,PD,平面,ABCD,，,PD,AD,，点,E,为,AB,中点，点,F,为,PD,中点,()证明：平面,PED,平面,PAB,；,()求二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值,【,例,4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥,P,-,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，,DAB=60,，,PD,平面,ABCD,，,PD,AD,，点,E,为,AB,中点，点,F,为,PD,中点,()证明：平面,PED,平面,PAB,；,()求二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值,(),证明,底面,ABCD,为菱形，,AB,AD,，,DAB=60,DAB,为正三角形,又,E,为,AB,中点，,AB,DE,又,PD,平面,ABCD,，,PE,在平面,ABCD,上的射影为,DE,，,AB,PE,（三垂线定理）,PE,DE,E,，平面,PAB,平面,PED,(),解,AB,平面,PED,，,PE,面,PED,，,AB,PE,如图1-10，连结,EF,EF,面,PED,，,AB,EF,PEF,为二面角,P,-,AB,-,F,的平面角,设,PD,AD,a,，则,PF,FD,又,DAB,为正三角形，,E,为,AB,中点，,AB,AD,a,，,二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值为,点评,这里由已知条件很容易找到二面角的棱,AB,的垂面，故运用垂面法可顺利找,出二面角的平面角,作业：,1.在长方体 中，,2.正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,