生存模型的概念及生存模型数学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章生存模型的概念及生存模型,1.1 生存模型,1.1.1 生存状态和生存模型,一、生存状态,从数学的角度来看，生存状态是一个简单的过程。这个过程具有以下的特征：,1、存在两种状态：生存与死亡。,2、单个生命个体可划分为生存者和死亡者，也就是说我们可以说出他们的状态。,3、生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。,4、任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们生存或死亡概率的探讨而着手生存状态的研究。,二、生存模型：是一类特殊随机变量的概率分布；是对生存过程建立的一个数学模型。,假设一台设备从时刻t=0开始连续运行直至报废，用T表示该设备从时刻t=0开始直至报废或失效的时间，则该设备在任意时刻t（t0）仍正常运行的概率Pr（Tt）可以记为：,（1.1.1）,上式中显然有：,（）T0,（）S（0）=1,（）S（t）是t的非增函数，且,随机变量T为设备从t=0开始的“未来寿命”。S（t）为生存函数。,1.1.2精算生存函数,一、对于一个刚刚出生的个体（0岁）的未来生存时间可作为一个随机变量，我们用T,0,表示。,定义随机变量T,0,的,分布函数F,0,（t）,为,F,0,（t）=P（T,0,t）（1.1.2）,F,0,（t）是一个正好0岁的人不晚于t岁死亡的概率。,未来生存时间超过t年的概率就是S,0,（t），就是,生存函数,或生存分布：,S,0,（t）=P（T,0,t）=1-F,0,（t）（1.1.3）,通常S,0,（t）可以表示为S（t）；F,0,（t）可以表示为 F（t）。这是新生婴儿的生存模型和分布函数。,二、对于一个年龄为x岁的人的的未来生存时间定义为T,x,，随机变量Tx的分布函数记为F（t:x）。,F（t;x）=P（Txt）（1.1.4）,F（t;x）是一个x岁的人不晚于x+t岁死亡的概率。,一个年龄为x岁的人的未来生存时间超过t年的概率就是或S(t;x)，就是生存函数：,S（t;x）=P（T,x,t）=1-F（t;x）（1.1.5）,S（x+t）=S（x）S（t;x）（1.1.6）,1.1.3生存函数的形式,一、参数生存模型：S（t）,实际运用中，用表格描述生存模型,二、多个伴随变量的生存模型,S（t；x,1,，x,2,，x,m,）,1.1.4研究方法,一、横向研究：适用大样本空间,1、选择一个独立人群,2、选取一个观察期,二、纵向研究：,1、确定一个特殊的人群,2、对每个对象进行观察直至死亡,1.2 T的分布函数,一、S（t）的性质,由T决定的S(t)也称为生存分布函数，有,S（0）=1，S（+）=0.,令F（t）=Pr（T,t），,有F（t）=1-S（t）,上式有：F（0）=0，F（+）=1,二、对于连续型随机变量T，其概率密度函数,：,（t0）,从而有,三、危险率（死力）,六、中位数,如果Pr（T,y）=Pr（Ty）=1/2，则称y为随机变量的中位数,有 S（y）=F（y）=,1.3参数生存模型举例:,1.3.1均匀分布,均匀分布的概率密度函数为,其性质,：,F(x),a,b,x,0,a,x,b,1,f(x),1.3.2指数分布,其生存分布函数为,F(x),x,0,0,x,1,f(x),例1.4 对于指数分布，证明,1.3.3 Gompertz分布,特征：,1.3.4 Makeham分布,Weibull分布,1.4条件度量和截尾分布,1.4.1条件概率和密度,如果某人已生存到x岁，他在n年后仍生存的概率P,r,，我们将条件概率用,n,P,x,表示，则：,【例1-5】根据S（t;x）,求出所选取的x岁的人活到x+10岁，并在X+20岁前死亡的概率。,1.4.2 x的下截尾分布,以生存到x岁为条件的生存函数，既那些超过x的X服从的分布，这样的分布称为在x处下截尾的X的分布。,类似地，,1.4.3双截尾分布,S(x yXz)=,F(x yXz)=,f(x yXz)=,(x yXz)=,1,y,z,x,1.4.4中心死亡率,中心死亡率：在年龄（x，x+1】上死亡率的条件度量。,中心死亡率：在区间上危险率 的加权平均值。,一般地，,n,m,x,是在区间,（x，x+n】上的平均危险率或中心死亡率。,例：若X服从指数分布，证明：m,x,=-lnp,x,1.5 随机变量的变换,一、假设已知X随机变量的分布，若知Y=g（x），且知其是单调递增函数。求随机变量Y的概率分布。,解：Y=g（x）；,可以求得：,1.6 变换后随机变量的均值和方差,如果已知随机变量X，而Y=g（x），如何求得E（Y）与Var（Y）。,