弹性变形能(应变能)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,材料力学II 第三章能量法,弹性变形能（,应变能,）,单位：1J=1N,m,构件由于发生弹性变形而储存的能量（如同弹簧）,。,表示为,变形体的,功能原理,弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过程中，能量守恒，即：外力功=变形能,略去动能及能量损耗,3-2应变能 余能,11/27/2024,1,(a),轴向拉（压）杆,应变能,（1）线弹性体,1.基本变形形式【材料力学（）】,利用应变能 在数值上等于外力功,W,，可得,11/27/2024,2,(b),扭转,11/27/2024,3,(c),弯曲,纯弯曲,11/27/2024,4,弯曲应变能,各种基本变形的应变能统一表达式：,M,M,d,M,M,d,x,横力弯曲,对于细长梁来说一般可略去剪切应变能,11/27/2024,5,也可以把应变能统一写成,式中，,F,为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一,对力偶等。,D,为广义位移，可以代表一个线位移,一个角,位,移,一对线位移或一对角位移等。,拉压,扭转,弯曲,内力,F,N,T,M,刚度,EA,GI,P,EI,11/27/2024,6,1.,构件上有一组广义力共同作用,令,F=F,1,w,C,=,D,1,M,e,=F,2,q,A,=,D,2,则,（）,（）,C,w,C,F,EI,A,B,M,e,l/,2,l/,2,q,A,11/27/2024,7,F,i,为广义力，,D,i,为,F,i,的作用点沿,F,i,方向的广义位移，它,是由所有广义力共同产生的。,2.,组合变形（用内力形式表示的应变能）,M,(,x,),只产生弯曲转角,小变形时不计,F,S,产生的应变能，,F,N,(,x,),只产生轴向线位移,T,(,x,)只产生扭转角,有,n,个广义力同时作用时,11/27/2024,8,对于,d,x,微段，,F,N,(,x,),T,(,x,),M,(,x,),均为外力。略去高阶微量后，,d,x,段的应变能为,杆的应变能为,11/27/2024,9,(a),由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产,生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。,3.应变能的特点:,EA,F,2,F,1,a,b,例,F,1,F,2,M,e,11/27/2024,10,应变能与内力（或载荷）不是线性关系，故多个载荷作用时，求应变能不可随意用叠加法。,注意,组合变形分解为各基本变形后（互不偶合），分别计算并求和：,变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。,11/27/2024,11,(b),应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）,F,和,M,e,同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值,简单加载,。,在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。,上图中,C,w,C,F,EI,A,B,M,e,l/,2,l/,2,q,A,(a),11/27/2024,12,先加,F,再加,M,e,(图,b，c,),式中，为力,F,在由,M,e,产生的,C,点处的挠度上作功，所以无,系数。,(b),C,w,C,F,F,EI,A,B,l/,2,l/,2,q,A,F,c,F,EI,A,B,M,e,l/,2,l/,2,w,C,F,(c),还可以先加,M,e,，,再加,F，,得到的应变能 和以上的值相同。,11/27/2024,13,F,S,M,N,M,T,A,A,F,N,B,j,T,例1,图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，,在,A,点受铅垂力,P,的作用，,求,A,点的垂直位移。,解：用能量法（外力功等于应变能）,求内力,A,F,R,11/27/2024,14,外力功等于应变能,变形能：,11/27/2024,15,.余能,图,a,为非线性体弹性体的受拉杆，其,F,D,和,s,e,关系如图,b,c,所示。,（1）,余功的定义为,11/27/2024,16,其大小为曲面,OF,1,a,的面积如图,d,所示。,W,c,和外力功,W,具有相同的量纲，且,W,c,为矩形,OF,1,a,D,1,的面积与曲面,Oa,D,1,的面积（,W,）之差（图,d,）,故称,W,c,为余功。,W,c,只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为,W,c,。,F,F,1,W,c,a,W,D,1,D,o,(d),11/27/2024,17,余能密度为,（38）,(37),和（,38,）式，分别以,F,和,s,为自变量，,D,=f,(,F,),e,=,f,(,s,)。所以,V,c,=f,(,F,),为受力状态的函数。,V,c,V,e,F,1,F,D,D,1,a,(e),o,（,3,）线弹性体（图,e,）,V,e,和,V,c,数值相等，但概念和计算方法不同，即,V,e,=,f,(,D,),V,c,=,f,(,F,),。,仿照 ,余能为,（,37）,（2）余能,（39）,余能为,11/27/2024,18,例,图,a,中两杆的长度均为,l,横截面面积均为,A,。材料在单轴拉伸时的,s,e,关系如图,b,所示。求结构的余能。,解：,该题为物理非线性问题，需用 求,V,c,。,由结点,C,的平衡方程，得二杆的轴力为,应力为,11/27/2024,19,余能密度为,结构的余能为,得,（,n,1,）,由,11/27/2024,20,