等差数列的判定与证明-中项公式法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,等差数列的判定与证明,中项公式法,等,差中,项的定义,如果,a,A,b,成等差数列，那么,A,叫做,a,与,b,的,等差中项,.,由等差中项的定义可知，,a,A,b,满足关系：,意义：,任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的,.,当,a=b,时，,A=,a,=b.,例,1,已知数列的通项公式为,，,其中,p,q,是,常数，且,，那,么这个数列是否一定是等差数,列？如果是，其首项与公差是什么？,分析：由等差数列的定义，要判断,是,不是等差数列，,只要看,是,不是一个与,n,无关的,常数就行了,.,解：取数列,中的任意相邻两项,与,3,这是一个与,n,无关的常数，所以 是等差数列，公差是,p.,在通项公式中令,n,1,，得 ，所以这个,等差数列的首项是,p+q,，公差是,p.,注：等差数列的通项公式可以表示为,，其,中,p,q,是常数,.,当,时，它是关于,n,的一次式，,因此从图像上看，表示这个数列的各点均在一次函,数,的,图像上，其坐标为,.,4,例题,2,：,(1),三个数成等差数列，和为,6,，积为,24,，求这三个数；,(,2),四个数成递增等差数列，中间两数的和为,2,，首、末两项的积为,8,，求这四个数,【,思路点拨,】,解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解,【,解,】,(1),设等差数列的等差中项为,a,，公差为,d,，则这三个数依次为,a,d,，,a,，,a,d,，,依题意，,3,a,6,，且,a,(,a,d,)(,a,d,),24,，,所以,a,2,，代入,a,(,a,d,)(,a,d,),24,，,5,化简得,d,2,16,，于是,d,4,，,故这三个数依次为,2,2,6,或,6,2,，,2.,(2),设这四个数依次为,a,3,d,，,a,d,，,a,d,，,a,3,d,(,公差为,2,d,),，,依题意，,2,a,2,，且,(,a,3,d,)(,a,3,d,),8,，,即,a,1,，,a,2,9,d,2,8,，,d,2,1,，,d,1,或,d,1.,又四个数成递增等差数列，,d,0,，,d,1,，,故所求的四个数依次为,2,0,2,4.,总结：等,差数列的设法及求解,(1),若有三个数成等差数列，则一般设为,a,d,，,a,，,a,d,；,(2),若有四个数成等差数列，则一般设为,a,3,d,，,a,d,，,a,d,，,a,3,d,；,(3),若有五个数成等差数列，则一般设为,a,2,d,，,a,d,，,a,，,a,d,，,a,2,d,.,等,差中项的应用,