第4章衍生金融工具的定价(1)(金融工程与风险管理-南京

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Copyright,Lin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University,金融工程,与,与风险管,理,理,第4章,衍,衍生金,融,融工具的,定,定价（1,）,）,1,4.1,远,远期与,期,期货的定,价,价,一个农民,想,想把他的,牛,牛卖掉，,若,若t时刻,牛,牛价格为S,t,，如果他,签,签订一个,在,在T （Tt）,时,时刻卖牛,的,的期货合,同,同，在t,时,时刻这个,牛,牛期货应,该,该如何定,价,价？若不,计,计其他因,素,素,若牛能够,在,在今日卖,掉,掉，获得,现,现金，以,无,无风险利,率,率投资就,获,获得利息,。,。,2,定理4.1（,现货-期,货,货平价定,理,理）：假,设,设期货的,到,到期时间,为,为T，现,货,货价格为S,0,，则远期,价,价格F,0,满足F,0,=S,0,e,rT,。,证明,：（,反证法）,我,我们可以,采,采用套利定价的方法来,证,证明上述,结,结论。,假设F,0,S,0,e,rT,，考虑下,述,述投资策,略,略：,投资者在,当,当前（0,时,时刻）借,款,款S,0,用于买进,一,一个单位,的,的标的资,产,产（long position）,，,， 借款,期,期限为T,，,，同时卖,出,出一个单,位,位的远期,合,合约(shortposition)，价,格,格为F,0,。,在远期合,约,约到期时,（,（T时刻,）,），投资,者,者用持有,的,的标的资,产,产进行远,期,期交割结,算,算，因此,获,获得F,0,，偿还借,款,款本息需,要,要支出S,0,e,rT,。,3,因此，在,远,远期合约,到,到期时，,他,他的投资,组,组合的净,收,收入为F,0,-S,0,e,rT,，而他的,初,初始投入,为,为0，这,是,是一个无,风,风险的套,利,利。,反之，若F,0,S,0,e,rT,，即远期,价,价格小于,现,现货价格,的,的终值，,则,则套利者,就,就可进行,反,反向操作,，,，即卖空,标,标的资产S,0,，将所得,收,收入以无,风,风险利率,进,进行投资,，,，期限为T，同时,买,买进一份,该,该标的资,产,产的远期,合,合约，交,割,割价为F,0,。在T时,刻,刻，套利,者,者收到投,资,资本息S,0,e,rT,，并以F,0,现金购买,一,一单位标,的,的资产，,用,用于归还,卖,卖空时借,入,入的标的,资,资产，从而实,现,现S,0,e,rT,-F,0,的利润。,上述两种,情,情况与市,场,场上不存,在,在套利机,会,会的假设,矛,矛盾，故,假,假设不成,立,立，则F,0,=S,0,e,rT,。证毕。,4,如果这只牛,在,在10天后,交,交割，而这,只,只牛在此期,间,间会产下一,头,头小牛，假,定,定这只小牛,的,的现值为I,，,，那牛的远,期,期价格该是,多,多少？,如果这只牛,在,在交割后才,会,会产下一头,小,小牛，那牛,的,的远期价格,该,该是多少？,5,如果远期的,标,标的资产提,供,供确定的红,利,利。假设红,利,利是连续支,付,付的，红利,率,率为q。由,于,于具有红利,率,率q，该资,产,产的价格才,为,为S,0,。若没有这,个,个红利存在,，,，则该资产,的,的价格为,故有红利率q的资产，,当,当前价格为S,0,，等价于价,格,格为,的,的无红利资,产,产。由无红,利,利的资产的,定,定价公式可,得,得,6,两个推论（,可,可生息资产,的,的远期价格,）,）,以上证明的,是,是标的资产,本,本身不带来,利,利息的远期,价,价格。如小,麦,麦远期。但,是,是，对于持,有,有期间可以,生,生息的资产,，,，则需要对,公,公式进行调,整,整，如债券,远,远期。,标的资产在,远,远期合约到,期,期前获得收,益,益的现值为I，则,7,证明：从单,利,利到复利,注意：债券,的,的贴现率不,等,等于无风险,收,收益率,8,如果远期的,标,标的资产提,供,供确定的红,利,利。假设红,利,利是连续支,付,付的，红利,率,率为q。由,于,于具有红利,率,率q，该资,产,产的价格才,为,为S,t,，它等价于,价,价格为,的无红利资,产,产。由无红,利,利的资产的,定,定价公式可,得,得,9,敏感性分析,注意：,（1）风险,因,因素有两个,，,，现货价格,与,与无风险利,率,率。,（2）由于,是,是指数函数,，,，敏感性方,程,程为非线性,方,方程。,10,例4.1,假设2年期,即,即期年利率,（,（连续复利,，,，下同）为10.5%,，,，3年期即,期,期年利率为11，本,金,金为100,万,万美元的2,年,年3年远,期,期利率协议,的,的合同,利,利率为11,，,，请,问,问,理论,上,上,远,远期,利,利率,应,应为,多,多少,？,？该,协,协议,利,利率,合,合理,吗,吗？,该远,期,期利,率,率协,议,议的,价,价值,是,是多,少,少？,11,t,s,t,l,0,A,12,由此,可,可见,，,，由,于,于协,议,议利,率,率低,于,于远,期,期利,率,率（,理,理论,利,利率,）,），,这,这实,际,际上,给,给了,多,多方,（,（借,款,款方,）,）的,优,优惠,，,，故,合,合约,价,价值,为,为正,。,。反,之,之，,当,当协,议,议利,率,率高,于,于远,期,期利,率,率的,时,时候,，,，空,方,方获,利,利，,这,这意,味,味着,远,远期,合,合约,的,的价,值,值为,负,负。,远期,合,合约,的,的价,值,值总,是,是从,多,多方,的,的视,角,角来,看,看的,！,！,13,4.2,期,期,货,货合,约,约,远,期,期的,组,组合,三个,制,制度,性,性特,征,征：,逐,逐日,盯,盯市,、,、保,证,证金,要,要求,、,、期,货,货清,算,算所,，,，逐,日,日盯,市,市将,履,履约,期,期限,缩,缩短,为,为1,天,天。,若7,月,月1,日,日购,买,买了1份83,天,天的,期,期货,合,合约,，,，当,日,日期,货,货价,格,格为0.61,美,美元,，,，次,日,日为0.615美,元,元。,这,这等,价,价于,7月1日,购,购买,了,了一,份,份期,限,限为83,天,天的,远,远期,合,合约,，,，其,交,交割,价,价格,为,为0.61美,元,元,7月2日,远,远期,合,合约,以,以0.615,美,美元,被,被清,算,算，,并,并被,一,一份,期,期限,为,为82天,，,，交,割,割价,格,格为0.615美,元,元的,新,新的,远,远期,合,合约,所,所代,替,替。,思考,：,：远期,能,能否,看,看成,是,是期,货,货的,组,组合,？,？,14,讨论,：,：期,货,货与,远,远期,的,的差,异,异,假定,一,一个5000,蒲,蒲式,耳,耳小,麦,麦期,货,货和,远,远期,只,只有3日,期,期限,，,，多,方,方损,益,益,日期,期货价格（元）,远期现金流,期货现金流,7月1日,4,0,0,7月2日,4.1,0,500,7月3日,4,0,-500,15,讨论,：,：期,货,货与,远,远期,的,的差,异,异,如果,利,利率,固,固定,，,，则,期,期货,合,合约,和,和远,期,期合,约,约等,价,价。,（,（CIR,定,定理,）,）,如果,利,利率,浮,浮动,，,，则,期,期货,与,与远,期,期可,能,能不,等,等价,。,。,考,虑,虑,例,例,子,子,中,中,，,，2,日,日,的,的,利,利,息,息,远,远,高,高,于,于3,日,日,，,，,结,结,果,果,如,如,何,何,？,？,显然，,多,多方偏,好,好期货,合,合约，,则,则期货,合,合约价,值,值上升,，,，反之,则,则反。,16,一般来,说,说，远,期,期与期,货,货存在,一,一定的,差,差异：,如果期,货,货和远,期,期的到,期,期时间,只,只有几,个,个月，,那,那么，,在,在大多,数,数情况,下,下，二,者,者价格,的,的差异,常,常常小,到,到可以,忽,忽略不,计,计。,随着到,期,期时间,的,的延长,，,，二者,价,价格的,差,差异可,能,能变得,比,比较显,著,著。,若标,的,的资,产,产价,格,格与,利,利率,正,正相,关,关，,则,则期,货,货合,约,约价,值,值高,于,于远,期,期，,反,反之,则,则反,利率,上,上升,标,的,的资,产,产价,格,格上,升,升,多,多头,获,获利,实,实现,（,（盯,市,市）,再,投,投资,收,收益,增,增加,利率,下,下降,标,的,的资,产,产价,格,格下,降,降,期,期货,多,多头,亏,亏损,以,低,低成,本,本融,资,资,17,CIR定,理,理：期货,与,与远期等,价,价,CIR定,理,理： 如果利率固定,（,（Constant），那么远,期,期价格与,期,期货价格,相,相同。,证明的思,路,路：期货,是,是一连串,不,不断更新,的,的远期。,根,根据无套,利,利定价的,原,原理，可,以,以让远期,和,和期货相,互,互复制。,CIR的,思,思路：以,期,期货组合,复,复制远期,，,，由远期,推,推断期货,。,。,远期：到,期,期日结算,（,（中间没,有,有现金流,）,）,期货：每,日,日结算（,每,每日都有,现,现金流）,18,证明：（by Cox，Ingersoll,，,，Ross）,假设期货,合,合约的有,效,效期为n,天,天，用F,i,表示第i,天,天末（0in-1）的,期,期货价格,，,，,表示每天,的,的无风险,利,利率（常,数,数）。不,计,计交易费,用,用，考虑,下,下述投资,策,策略,第0天末,（,（即合约,开,开始的时,候,候）持有e,单位的期,货,货多头,第1天末,把,把头寸增,加,加到e,2,第2天末,把,把头寸增,加,加到e,3,第n-1,天,天末把头,寸,寸增加到e,n,19,20,也可以作,如,如下分析,：,：,（1）在,第,第0天末,（,（第1天,初,初）买进e,单位的期,货,货,（2）在,第,第1天末,（,（第2天,初,初）把头,寸,寸增加到e,2,，结清上,一,一日的e,单位,（3）在,第,第2天末,（,（第3天,初,初）把头,寸,寸增加到e,3,，结清上,一,一日的e,2,单位 ,.,（n）在,第,第n1,天,天末（第n天初）,把,把头寸增,加,加到e,n,单位，结,清,清上一日,的,的e,(n-1),单,位,位。,21,第2,天,天,末,末,盈,亏,亏,的,现,现,值,值,第1,天,天,末,末,盈,盈,亏,亏,的,的,现,现,值,值,第i,天,天,末,末,盈,亏,亏,的,现,现,值,值,22,整,个,个,投,投,资,资,策,策,略,略,，,，,在,在n,天,天,末,末,的,的,价,价,值,值,为,为,第i,天,天,末,末,盈,盈,亏,亏,的,的,终,终,值,值,相,当,当,于,于,持,持,有,有e,n,单,位,位,的,的,远,远,期,期,23,下,面,面,，,，,以,以,无,无,套,套,利,利,分,分,析,析,方,方,法,法,来,来,给,给,出,出,远,远,期,期-,期,期,货,货,等,等,价,价,证,证,明,明,。,。,考,考,虑,虑,两,两,种,种,投,投,资,资,策,策,略,略,策略1，构,建,建包含两种,资,资产的组合1：,0时刻买进,一,一个面值为F,0,的无风险债,券,券，n时刻,卖,卖出；,投资上述的,期,期货组合,T时刻，组,合,合1价值为,注意：初始,投,投资仅为F,0,24,策略2：构,建,建资产组合2,假设第0天,的,的远期价格,为,为G,0,则在无风,险,险债券上投,资,资G,0,第0天末买,进,进e,n,单位的远期,合,合约,在T时刻，,组,组合的价值,为,为,注意：初始投资仅,为,为G,0,25,由于期末两,个,个组合的价,值,值相等，即,则初始投资,额,额必须满足,因此，期货,价,价格等于相,同,同期限的远,期,期价格，期货仅仅是,远,远期的标准,化,化，远期价,格,格的计算公,式,式适用于期,货,货。问题：期货,合,合约的价值,呢,呢？,26,例子：外汇,远,远期（期货,）,）风险估计,假设,一,一家美国,公,公司持有3个,月,月后,到,到期,的,的，,以,以1500万,美,美元,兑,兑换1000,万,万英,镑,镑的,远,远期,合,合约,。,。从,美,美国,公,公司,的,的角,度,度分,析,析其,风,风险,，,，假,设,设当,前,前时,刻,刻t,为,为1996年5月20,日,日，,要,要预,测,测5,月,月21日,的,的所,有,有可,能,能情,形,形。,1、,识,识别,风,风险,因,因子,。,。,t,美元,英镑,英镑,利,利率,美元,利,利率,英镑/美,元,元即,期,期汇,率,率,27,2、,市,市场,因,因子,预,预测5月21,日,日合,约,约的,可,可能,值,值：,样,样本,区,区间1995,年,年12月29,日,日1996,年,年5,月,月20日,（,（100,个,个交,易,易日,）,）,1,5.469,6.121,1.539,32684.19,2,5.379,6.063,1.531,32935.54,99,5.469,6.0001,1.536,33639.62,100,5.469,6.0003,1.557,34106.44,28,4.3,交,交,叉,叉套,期,期保,值,值,利用,现,现货,价,价格,和,和期,货,货价,格,格变,化,化的,相,相关,性,性，,通,通过,在,在期,货,货市,场,场和,现,现货,市,市场,的,的相,反,反操,作,作来,使,使它,们,们的,价,价格,变,变化,相,相互,抵,抵消,，,，从,而,而消,除,除现,货,货投,资,资的,风,风险,。,。,例如,以,以股,指,指期,货,货对,股,股票,指,指数,基,基金,进,进行,套,套期,保,保值,问题,：,：如果,要,要保,值,值的,股,股票,组,组合,与,与指,数,数组,合,合不,同,同，如,何,何进,行,行套,期,期保,值,值？,交叉,套,套期,保,保值,：,：当,要,要保,值,值的,现,现货,与,与期,货,货合,约,约的,标,标的,资,资产,的,的波,动,动不,完,完全,同,同步,时,时，,需,需要,确,确定,合,合适,的,的套期,保,保值,比,比率。,29,套头,保,保值,比,比率h：对1份,现,现货,资,资产,的,的多,头,头（,空,空头,）,）头,寸,寸，,要,要用h份,期,期货,的,的空,头,头（,多,多头,）,）进,行,行套,期,期保,值,值。,由,由此,构,构造,的,的套,期,期保,值,值组,合,合为,：,：,1份,现,现货,资,资产,的,的多,头,头h,份,份期,货,货合,约,约的,空,空头,在某,个,个t,时,时刻,，,，该,组,组合,的,的价,值,值为,30,套期,保,保值,模,模型,若已,知,知,套期,保,保值,者,者的,目,目标,是,是使,组,组合,的,的方,差,差最,小,小化,则有,31,最优,套,套头,比,比h,：,：使得,套,套期,保,保值,工,工具,头,头寸,与,与现,货,货头,寸,寸构,成,成的,投,投资,组,组合,风,风险,最,最小,的,的套,头,头比h。,现货,工,工具,与,与套,期,期保,值,值工,具,具的,相,相关,系,系数,的,的平,方,方称,为,为主导,系,系数,（,（或,决,决定,系,系数,）,）,基差,风,风险,：,：若,套,套期,保,保值,不,不能,完,完全,消,消除,价,价格,风,风险,，,，则,投,投资,者,者还,必,必须,承,承担,剩,剩余,的,的风,险,险，,把,把在,采,采取,套,套期,保,保值,措,措施,以,以后,剩,剩余,的,的风,险,险称,为,为基,差,差（basic）,风,风险,。,。,32,某个基金,经,经理希望,利,利用S&P500,指,指数期货,对,对他管理,的,的股票基,金,金进行为,期,期3个月,的,的套期保,值,值，但是,该,该组合只,包,包含10,种,种股票，,故,故组合价,值,值变化与,指,指数的变,化,化不能保,持,持完全一,致,致，故需,要,要计算套,期,期保值比,率,率,基金经理,应,应卖出11份的期,货,货合约，,才,才能对组,合,合进行保,护,护。,33,4.4,互,互,换,换定价及,其,其风险因,子,子,考虑一个2003,年,年9月1,日,日生效的3年期的,利,利率互换,，,，名义本,金,金是1亿,美,美元。B,公,公司同意,支,支付给A,公,公司年利,率,率为5,的,的固定利,息,息，同时A公司同,意,意支付给B公司以LIBOR计算的,浮,浮动利息,。,。互换在,每,每隔6个,月,月交换一,次,次，则每6个月,A公司,B公司,LIBOR /2,2.5%,34,利率互换,中,中B公司,的,的现金流,量,量表（百,万,万美元）,日期,LIBOR,收到的浮动利息,支付的固定利息,净现金流,2003.9.1,4.20,2004.4.1,4.80,+2.10,2.50,0.40,2004.9.1,5.30,+2.40,2.50,0.10,2005.4.1,5.50,+2.65,2.50,0.15,2005.9.1,5.60,+2.75,2.50,0.25,2006.4.1,5.90,+2.80,2.50,0.30,2006.9.1,6.40,+2.95,2.50,0.45,浮动利率,都,都是在期,初,初确定！,35,利率互换,的,的分解,T,0,1、远期,模,模式：期,货,货可能每,天,天都有资,金,金流动（,有,有效期只,有,有1天）,；,；互换到,各,各个支付,期,期限时才,有,有资金流,动,动；远期,只,只有一次,资,资金流动,。,。互换介于,远,远期和期,货,货之间，,它,它也是远,期,期合约的,组,组合。,上述的远,期,期可以看,成,成6个远,期,期的组合,。,。,2、债券,模,模式：利,率,率互换可,以,以看成是,两,两个债券,现,现金流的,组,组合：浮,动,动利率债,券,券vs.,固,固定利率,债,债券。,36,利率互换,的,的分解：,债,债券模式,互换：B,公,公司同意,支,支付给A,公,公司年利,率,率为5,的,的固定利,息,息，同时A公司同,意,意支付给B公司以LIBOR计算的,浮,浮动利息,。,。互换在,每,每隔6个,月,月交换一,次,次。可以,看,看成每半,年,年支付利,息,息的两个,债,债券,1、B公,司,司按LIBOR的,利,利率（贷款期初）借给A,公,公司1亿,美,美元，即A向B发,行,行浮动利,息,息债券。,2、A公,司,司按5%,的,的年利率,借,借给B公,司,司1亿美,元,元，B向A发行固,定,定利率债,券,券。,37,利率互换,的,的定价（1）,定义,:互换合,约,约中分解,出,出的固定,利,利率债券,的,的价值。,:互换合,约,约中分解,出,出的浮动,利,利率债券,的,的价值。,那么这个,互,互换的价,值,值就是：,38,浮动利率,债,债券的价,值,值,在浮动利,率,率债券支,付,付利息后,的,的那一刻,，,，浮动利,率,率债券的,价,价值为其,本,本金L。假设利,息,息下一支,付,付日应支,付,付的浮动,利,利息额为,（,（这是已知,的,的），那么,在,在利息支,付,付那一刻,，,，浮动利,率,率债券的,价,价值为,。,。,在,在我们的,定,定义中，,若,若距下一,次,次利息支,付,付日还有,的,的时间,，,，那么,当,当前时刻,浮,浮动利率,债,债券的价,值,值应该为,：,：,39,t,1,T,1,的利率与0时刻确,定,定的0T,1,的利率不,同,同，因此,，,，不能简,单,单用0时,刻,刻的利率,来,来表示未,来,来的利率,。,。,L+K,*,L,L+K,*,T,1,T,2,L,确定值,0,t,1,40,在每个付,息,息周期，起点的价,格,格=面值,，,，终点的,价,价格=面,值,值+利息，其余时,刻,刻由市场,利,利率决定,其,其价格。,由此可以,得,得到两个,特,特例,41,总结：互,换,换的风险,债券模式,：,：互换可,以,以看成两,个,个债券的,组,组合。根,据,据久期和,凸,凸性可线,性,性加权的,原,原理，由,债,债券的敏,感,感度可以,计,计量互换,的,的敏感度,。,。,远期模式,：,：互换是,有,有限个远,期,期的组合,，,，分别计,算,算有限个,远,远期的敏,感,感度，即,可,可得到互,换,换的敏感,度,度。,42,例 4.2,假设在一,笔,笔互换合,约,约中，某,一,一金融机,构,构支付6,个,个月期的LIBOR，同时,收,收取8,的,的年利率,（,（半年计,一,一次复利,）,），名义,本,本金为1,亿,亿美元。,互,互换还有1.25,年,年的期限,。,。3个月,、,、9个月,和,和15个,月,月的LIBOR（,连,连续复利,率,率）分别,为,为10,、,、10.5和11。上,一,一次利息,支,支付日的6个月LIBOR,为,为10.2（半,年,年计一次,复,复利）。,在这个例,子,子中,，,，,，,，因此,43,课外阅读,文,文献,Cox.J.C,Ingersoll.J.E,Ross.S.A:,”,”theRelationship between Forward PricesandFuturesPrices,”,” Journal ofFinancial Economics,9(DEC,1981),321-346,Bicksler,J.,Chen,A.H.”An Economic AnanlysisofInterestRate Swaps,”,” Journal ofFinance41,3(1986),645-655,44,练习,设某投资,者,者签订了6个月后,以,以8元人,民,民币兑换1美元的,远,远期外汇,合,合约。若,风,风险因子,相,相互独立,，,，且仅考,虑,虑一阶展,开,开，请给,出,出该合约,价,价值的方,差,差。,。,45,演讲完毕,，,，谢谢观,看,看！,