网络的状态方程

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,第三章 网络的状态方程,本章主要内容：,状态、状态变量、常态网络、非常态网络等概念；状态变量的选取，状态方程、输出方程的建立和求解。,本章重点（状态变量分析法）：,状态变量的选取,状态方程的建立和求解,用途：,求解高阶动态电路的响应。,3-1,网络的状态和状态变量,状态,(state),：,一个网络在任意瞬时,(,t,=,t,0,),的状态，是指能和输入激励一道,唯一,地确定该网络现时,(,t,=,t,0,),的行为和未来,(,t,t,0,),的行为而,为数最少,(,即线性独立,),的信息量的集合。,状态变量,(state variable),：,能描述网络任一瞬时状态而为数最少,(,即线性独立,),的网络变量集合中的各个变量。,通常选择网络中,各,独立,电容电压,(,或电荷量,),和,电感电流,(,或磁通链,),作为网络的状态变量,。,纯电容回路,(,capacitor-only,loop),：,仅由电容元件或仅由电容元件和独立电压源构成的回路称为纯电容回路。,非独立的电容电压（或电容电荷）不能作为网络的状态变量。,纯电感割集,(inductor-only cut set),：,仅由电感元件或仅由电感元件和独立电流源构成的割集称为纯电感割集。,非独立的电感电流（或电感的磁通链）不能作为网络的状态变量。,常态网络,(proper network),：,既无纯电容回路又无纯电感割集的网络称为常态网络。,非常态网络,(improper network),：,具有纯电容回路或纯电感割集,(,或二者兼而有之,),的网络，称为非常态网络。,在常态网络中，,各电感电流和电容电压都是独立的,，都可作为网络的状态变量。这时，状态变量数即等于网络中电容元件和电感元件的总数。,在非常态网络中，网络的状态变量数小于网络中电容元件和电感元件的总数。,3-2,状态方程和输出方程,状态方程,(state equation),一组,表示状态变量与激励函数之间关系的,一阶微分方程,。,范式状态方程,网络的状态方程数等于网络的状态变量数。,状态方程的说明：,因,i,L,、,u,c,1,、,u,c,2,都是,独立的,，故可选作状态变量。,矩阵形式为,输出方程,(,outpt,equation),表示输出变量、状态变量与激励函数之间关系的一组,代数方程,。,以,u,R,1,、,u,L,、,i,1,、,i,2,、,i,C,2,作为,输出,矩阵形式,输出方程的向量形式,输出方程的数目等于输出变量数。,3-3,线性常态网络状态方程的建立,常态树,(proper tree),：,对于一个常态网络，可以选择一种树，使其,包含,网络中的,所有电压源,、,所有电容,和一些,必要的电阻,，但,不包含任何电感,和,电流源,，这样的树称为,常态树,。,建立线性常态网络状态方程的步骤：,第一步：选择状态变量。对常态网络一般选择各,电容电压,和,电感电流,作为网络的状态变量。,第二步：选择一种,常态树,。,第三步：列出网络中各,电容支路所属基本割集,的电流方程和各,电感支路所属基本回路,的电压方程。,第四步：,消去,基本割集电流方程和基本回路电压方程中的,非状态变量,。,例,1,列写图示网络的状态方程。,解：,1,、以,u,1,、,u,2,和,i,4,、,i,5,作为状态变量。,2,、选择一种常态树，标出各电容支路所属基本割集和各电感支路所属基本回路。,采用简单支路,3,、对各电容支路所属基本割集和各电感支路所属基本回路列方程。,4,、消去非状态变量。,矩阵形式的状态方程为,常态网络的范式状态方程。,难点：消除,非状态变量,。,线性网络也可以电容电荷,q,和电感磁通链,作为状态变量,例,2,以电容电荷和电感磁通链为状态变量，写出状态方程。,解：,选一常态树,对电容树支列基本割集方程有,对电感连支列基本回路方程有,矩阵形式的状态方程为,以,q,和,作为状态变量的范式状态方程。,例,3,列写图示网络的状态方程以及以,i,s,和,u,L,1,为输出的输出方程。,b,1,b,2,b,3,b,4,b,5,b,6,b,7,b,8,以电容,C,1,、,C,2,、,C,3,和电压源,u,s,为常态树的树支,i,s,u,L,1,+,-,状态方程的矩阵形式为,i,s,u,L,1,+,-,例,4,列写图示网络的状态方程。,受控电压源支路纳入常态树，,受控电流源支路纳入树余,以电容,C,1,、,C,2,和两个受控电压源支路为常态树的树支,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,3-4,状态方程的复频域解法,用拉普拉斯变换解状态方程,进行拉普拉斯变换得,向量形式,矩阵形式,范式状态方程的拉普拉斯变换式,原始状态变量,预解矩阵,令,单位对角阵,当网络中无激励源时，,F,(,s,)=0,，则得复频域解的,零输入分量,为：,它只决定于网络的原始状态向量,如果网络原处于零状态，即,x,(0,)=0,，则可得复频域解的,零状态分量,:,它只决定于网络的激励源向量,将状态方程的复频域解进行拉普拉斯反变换，即得状态方程的解为,例,1,用拉普拉斯变换解状态方程,已知网络的原始状态向量,解：,1,、求预解矩阵,(,s,),。,式中,2,、激励函数的象函数,反变换得,t,0,+,输出变量的拉普拉斯变换式,零输入分量,零状态分量,例,2,已知某网络的状态方程和输出方程如下：,设输入激励函数为,网络原处于零状态。求输出函数。,解：,此题中，,常数矩阵,为,预解矩阵,输入激励的象函数为,因原始状态为零，故输出向量的拉普拉斯变换式为,部分分式展开得,经反变换得到输出变量,