离散型随机变量均值(期望)课件

,*,离散型随机变量的均值,某商场为满足市场需求要将单价分别为,18,元,/kg,，,24,元,/kg,，,36,元,/kg,的,3,种糖果按,3,：,2,：,1,的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？,定价为,可以吗？,181/2+241/3+361/6,=23,元,/kg,181/2+241/3+361/6,x,18,24,36,p,1/2,1/3,1/6,=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36),如果你买了,1kg,这种混合,糖果，你要付多少钱？,而你买的糖果的,实际价值,刚好是,23,元吗？,随机变量均值,（概率意义下的均值）,样本平均值,1,、离散型随机变量均值的定义,X,P,一般地,若离散型随机变量,X,的概率分布为,则称 为随机变量,X,的,均值,或,数学期望,数学期望又简称为,期望,。,它反映了离散型随机,变量取值的平均水平,。,练习,1,离散型随机变量,X,的概率分布列为,求,X,可能取值的算术平均数 求,X,的均值,X,1,100,P,0.01,0.99,例题,1,随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子,的点数,X,的均值,X,1,2,3,4,5,6,P,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,解：随机变量,X,的取值为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,其分布列为,所以随机变量,X,的均值为,EX=1 1/6+2 1/6,+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5,你能理解,3.5,的含义吗？,你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗,?,变式,：将所得点数的,2,倍加,1,作为得分数，,即,Y=2X+1,，试求,Y,的均值？,例题,1,随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子,的点数,X,的期望,Y,3,5,7,9,11,13,P,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,解：随机变量,X,的取值为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,其分布列为,所以随机变量,Y,的均值为,EY=3 1/6+5 1/6,+71/6+9 1/6+11 1/6+13 1/6=8,你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗,?,变式,：将所得点数的,2,倍加,1,作为得分数，,即,Y=2X+1,，试求,Y,的均值？,=2EX+1,你能猜想出,结果吗,?,aEX+b,X,P,证：设离散型随机变量,X,的概率分布为,所以,Y,的分布列为,Y,P,2,、离散型随机变量均值的性质,(1),随机变量均值的线性性质,基础训练,1,、随机变量,的分布列是,1,3,5,P,0.5,0.3,0.2,(1),则,E=,.,2,、随机变量,的分布列是,2.4,(2),若,=2+1,，则,E=,.,5.8,4,7,9,10,P,0.3,a,b,0.2,E=7.5,则,a=,b,=,.,0.4,0.1,解,:,的分布列为,所以,E,0,P(,0),1,P(,1),0,0.15,1,0.85,0.85,例题,2,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分已知姚明目前罚球命中的概率为,0.85,，求他罚球,1,次的得分,的均值？,0,1,P,0.15,0.85,解,:,的分布列为,所以,E,0,P(,0),1,P(,1),0,0.15,1,0.85,0.85,例题,2,0,1,P,0.15,0.85,P,1-P,P,1-P,P,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分已知姚明目前罚球命中的概率为,0.85,，求他罚球,1,次的得分,的均值？,例题,2,变式,：若姚明在某次比赛中罚球,10,次，,求他罚球的得分,的均值？,若,B(1,，,0.85),则,E=0.85,若,B(10,，,0.85),则,E=?,你能猜想出,结果吗,?,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分已知姚明目前罚球命中的概率为,0.85,，求他罚球,1,次的得分,的均值？,求证：若,B(n,，,p),，则,E=np,E =0C,n,0,p,0,q,n,+1C,n,1,p,1,q,n-1,+2C,n,2,p,2,q,n-2,+,+kC,n,k,p,k,q,n-k,+nC,n,n,p,n,q,0,P(=k)=C,n,k,p,k,q,n-k,证明：,=np(C,n-1,0,p,0,q,n-1,+C,n-1,1,p,1,q,n-2,+,C,n-1,k-1,p,k-1,q,(n-1)-(k-1),+C,n-1,n-1,p,n-1,q,0,),0,1,k,n,P C,n,0,p,0,q,n,C,n,1,p,1,q,n-1,C,n,k,p,k,q,n-k,C,n,n,p,n,q,0,(k C,n,k,=n,C,n-1,k-1,),=np(p+q),n-1,=np,一次英语单元测验由,20,个选择题构成，每个选择题有,4,个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得,5,分，不作出选择或选错不得分，满分,100,分。学生甲选对任一题的概率为,0.9,，学生乙则在测验中对每题都从,4,个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。,例题,3,解,：,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是,和,，则,B(20,，,0.9),，,B(20,，,0.25),，,E,20,0.9,18,，,E,20,0.25,5,由于答对每题得,5,分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是,5,和,5,。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是,E(5),5E,5,18,90,，,E(5),5E,5,5,25,2,某篮球运动员,3,分球投篮命中的概率是,在某次三分远投比赛中,共投篮,3,次,设 是他投中的次数,.,1),求,E ;,2),若投中,1,次得,3,分,求他得分的均值,;,10,练习,2,根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为,0.25,有大洪水的概率为,0.01.,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失,60000,元,遇到小洪水损失,10000,元,.,为保护设备,有以下,3,种方案,:,方案,1,:,运走设备,搬运费为,3800,元,;,方案,2,:,建保护围墙,建设费为,2000,元,但围墙只能防小洪水,;,方案,3,:,不采取任何措施,希望不发生洪水,.,试比较哪一种方案好,?,例,4,解 用,x,1,、,x,2,和,x,3,分别表示三种方案的损失,.,采用第一种方案,无论有无洪水,都损失,3 800,元,即,x,1,=3 800.,采用第二种方案,遇到大洪水时,损失,2 000+60 000=62 000,元,;,没有大洪水时,损失,2 000,元,即,同样,采用第三种方案,有,于是,Ex,1,=3 800,Ex,2,=62 000,P,(,x,2,=62 000)+2 000,P,(,x,2,=2 000)=62 0000.01+2 000(1-0.01)=2 600,Ex,3,=60 000,P,(,x,3,=60 000)+10 000,P,(,x,3,=10 000)+0,P,(,x,3,=0),=60 0000.01+10 0000.25=3 100.,采用方案二的平均损失最小,所以可以选择方案二,.,六、课堂小结,一、离散型随机变量取值的平均值,数学期望,二、数学期望的性质,三、如果随机变量,X,服从两点分布，,X,1,0,P,p,1,p,则,四、如果随机变量,X,服从二项分布，即,X,B,（,n,p,），则,谢谢大家,敬请指导,（,06,湖南理,）某安全生产监督部门对,5,家小型煤矿进行安全检查,(,简称安检,).,若安检不合格,则必须进行整改,.,若整改后经复查仍不合格,则强行关闭,.,设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是,0.5,整改后安检合格的概率是,0.8,计算,(,结果精确到,0.01):,(),平均有多少家煤矿必须整改,;,(),平均有多少家煤矿必须关闭,;,思考题,