3.1.3空间向量的数量积运算 (2)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.3,空间向量的数量积运算,1.,共线向量（平行向量）：,表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,.,共线向量定理：,共线向量与共面向量,知识回顾：,推论,：,如果,l,为经过已知点,A,且平行于已知非零向量,a,的直线，那么对任一点,O,，点,P,在直线,l,上的充要条件是存在实数,t,，,满足等式,P,B,OP=,(1,-t,),OA+t OB,.(2),说明,:,(1),或,(2),都叫做,空间直线的向量参数表示式,(3),是线段,AB,的,中点公式,。,共线向量,OP=OA+t AB,或,定理,:,对于空间任意两个向量,a,、,b,(,b,0),a,/,b,的充要条件是存在实数,使,a=,b,.,OP=OA+t a.,(1),a,其中向量,a,叫做直线,l,的,方向向量,.,A,O,A,、,B,、,P,三点共线的充要条件为：,（,其中,x+y,=,1,）,2.,共面向量,我们把,平行于同一平面的向量，叫做,共面向量,.,已知平面,与向量,a,如果向量,a,所在的直线,OA,平行于平面,或向量,a,在平面,内,那么我们就说向量,a,平行于平面,记作,a,/,.,a,O,A,a,(3),共面向量定理,:,推论,:,空间一点,P,位于平面,MAB,内的充分必要条件是存在有序实数对,x,、,y,，,使,MP=,xMA,+,yMB,或对空间任一定点,O,，,有,OP =OM+,xMA,+,yMB,.,如果两个向量,a,、,b,不共线，则向量,p,与向量,a,、,b,共面的充要条件是存在实数对,x,、,y,，,使,M,B,A,P,A,a,b,p,p=,x,a,+,y,b,.,（,平面,MAB,的向量表达式）,O,即,在几何中，角度与距离是两个最基本的几何量。本课时重点研究利用空间向量的数量积 表示两条直线的夹角、空间线段的长度,.,由于空间两个向量始终共面，因此空间两个向量的数量积的意义与平面上两个向量的数量积的意义实际上是一致的，从而空间两个向量的数量积可转化为平面内两个向量的数量积,.,1),两个向量的夹角的定义,:,O,A,B,2,）两个向量的数量积,注,:,两个向量的数量积是数量，而不是向量,.,规定,:,零向量与任意向量的数量积等于零,.,A,1,B,1,B,A,数量积的几何意义：,等于,的长度,与,在,的方向上的投影,的乘积。,记,B,1,(3),空间两个向量的数量积性质,性质 是证明两向量垂直的依据；,性质,是求向量的长度（模）的依据；,性质,是求向量夹角的依据,.,注：,(4),空间向量的数量积满足的运算律,注意：,数量积不满足结合律即,分配律：,.,O,C,A,A,1,B,B,1,（三垂线定理）,证明：,如图,已知,:,求证：,在直线,l,上取向量,只要证,为,逆命题成立吗,?,分析：,要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的,任意一条直线,都垂直,.,例,3,:(,试用,向量方法证明直线与平面垂直的判定定理,),已知直线,m,n,是平面 内的两条相交直线,如果 ,m,n,求证,:,.,m,n,g,m,n,g,解,:,在 内作不与,m,n,重合的任一直线,g,在,上取非零向量 因,m,与,n,相交,故向量,m,n,不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使,例,3:,已知直线,m,n,是平面 内的两条相交直线,如果 ,m,n,求证,:,.,课堂练习：,教材,92,页练习,A,B,C,B,1,C,1,A,1,解：,设,则,B,A,B,C,D,解：,解：,课后作业,1.,习题,3.1A,组,3,、,4,、,5,2.,乐学七中,3.1.3,