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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2013-4-12,#,第五章,平面向量第一节,向量的线性运算,考纲解读,1.,了解向量的实际背景，理解平面向量的概念及两个向量相等的含 义及向量的几何表示,.,2.,掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义；,3.,了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件,.,知识点精讲,一、向量的基本概念,1.向量定义,既有大小又有方向的量叫向量，一般用,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如,（其中,为起点，,为终点）,.,2,.,向量的大小（模）,向量的大小，也就是向量的长度，记作,或,.,3.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量,零向量：长度为零的向量，记为 ，其方向是任意的,.,单位向量：模（长度）为,个单位的向量,.,当,时，显然向量,是与向量,共线（平行）的单位向量,.,相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可,以重合，记为,.,平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,.,平行向量也叫共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到一条直线上,.,规定零向量与任何向量,平行（共线）即,.,二、向量的线性运算,1.向量的加法,求两个向量和的运算叫做向量的加法,.,已知向量,，在平面内任取,一点,，作,，,，则向量,叫做,与,的和（或和向,量），即,.,向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则,.,如图,5-1,所示，向量,.,图,5-1,2.,向量的减法,（,1,）相反向量,与,长度相等，方向相反的向量，叫做,的相反向量，记作,.,规定：零向量的相反向量仍是零向量；,；,，即互为相反向量的和是零向量，,若,，互为相反向量，则,，,.,（,2,）向量的减法,向量,与,的相反向量之和，叫做向量,与,的差，即,.,向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则,.,如图,5-2,所示，,，则向量,.,3.,向量的数乘,图,5-2,（,1,）实数,与向量,的积是一个向量，记为,，其长度与方向规定,如下：,；,当,时，,与,的方向相同；当,时，,与,的方向相反；,当 时，,；当,时，,.,（,2,）向量数乘运算的运算律,.,设,为实数，则,；,；,三、重要定理和性质,1.,共线向量基本定理,如果,，则,；反之，如果,，则一定存在,唯一的实数,，使,.,（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）,.,2.,平面向量基本定理,如果,和,是同一平面内的两个非零不共线向量，那么对于平面内的任一向量,，都存在唯一的一对实数,，,，使得,，我们把不共线向量,，,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为,.,叫做向量,关于基底,的分解式,.,3.,线段定比分点的向量表达式,如图,5-3,所示，在 中，若点,是边,上的点，且,则向量,.,在向量线性表示（运算）,有关的问题中，,若能熟练利用此结论，往往能有,“,化腐朽为神奇,”,之功效，应熟练掌握,.,4.,三点共线定理 图,5-3,平面内三点,，共线的充要条件是：存在实数,，,，使,，其中,，,为平面内任一点,.,此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握,.,，,三点共线,存在唯一的实数,，使得,；,存在唯一的实数,，使得,；,存在唯一的实数,，使得,；,存在,，使得,.,5.,中线向量定理,如图,5-4,所示，在,中，若点,是边,的中点，,则中线向量,.,题型归纳及思路提示,题型,71,共线向量的基本概念,【,例,5.1,】,（,1,）有向线段就是向量，向量就是有向线段；,（,2,）向量,与向量,共线，则,四点共线；,（,3,）如果,，,，那么,.,以上命题中正确的个数是（,）,.,A.B.C.D.,【,分析,】,联系向量的基本概念，注意特殊向量零向量，注意考查判断,.,【,解析,】,（,1,）不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不一定是有向,线段；,（,2,）不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行,（,3,）不正确，当,时，则,与,不一定共线,.,所以（,1,）（,2,）（,3,）均不正确,.,故选,D.,【,评注,】,本题易忽视零向量这一特殊向量，,认为（,3,）是正确的,.,题型,72,共线向量基本定理及应用,【,例,5.2,】,平面向量,，,共线的充要条件是（,）,.,A.,，,方向相同,B.,，,两向量中至少有一个为零向量,C.,，,D.,存在不全为零的实数,，,，,【,解析,】,选项,A,中，,时，,与,既可同向，又可反向，故,A,项不一定成立；,选项,B,中，若,，有一个为,，一定有,与,共线，但是,与,共线,时，与,可能都不为,，故,B,项不一定成立；,选项,C,中，若,，,时，但不存在,使,，,故,C,项不一定成立；,选项,D,中，,时，,，,时，,，故,D,项成立,.,故选,D.,题型,73,平面向量的线性表示,【,例,5.4,】,设,是,所在平面内的一点，,，则（,）,.,A.B.,C.D.,【,解析,】,如图,5-5,所示，,，故,为,的中点，,因此,.,故选,B.,【,例,5.7,】,如图,5-12,所示，在平行四边形,中，,，,分别是,，,的中点，与,交于点,，设,，,，则 等,于（,）,.,A.,B.,C.D.,图,5-12,【,分 析,】,本题主要考查向量的线性表示，可以利用三点共线定理相关,知识求解,.,【,解 析,】,因为,，,，,三点共线，故,，又因为 与 共线，则 存在实数 ，使,，所以,，故,.,解法二：特殊化思想,.,如图,5-13,所示，,，,联立,，得,，,.,故选,B.,【,例,5.9,】,已知向量,，,不共线，实数,满足,，则 的值等于,.,【,解 析,】,由平面向量基本定理可知,，故,.,题型,75,向量与三角形的四心,【,例,5.13,】,若,是 内一点，,，则,是,的（,）,.,A.,外心,B.,内心,C.,垂心,D.,重心,【,解 析,】,如图,5-20,所示，以,为邻边作平行四,边形,.,取,的中点为,，则,，得,，,即,，所以点,为 的三等分点，,且,.,故,为,的重心,.,故选,D.,题型,74,平面向量基本定理及应用,题型,76,利用向量法解平面几何问题,【,例,5.15,】,如图,5-22,所示，在四边形,中，,，分别是,，的中点，,求证：以线段,中点为顶点的四边形为平行四边形,.,图,5-22,【,解 析,】,分别以,表示线段,的中点，,则,，,，,因此,，,同理可得,，从而,，,所以四边形,是平行四边形,.,原命题得证,.,
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