周期函数分解为傅里叶级数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,12.2 周期函数分解为傅里叶级数,一、周期函数,f(t)=f(t+kT),T,为周期函数,f(t),的周期，,k,=0，1，2，,如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能展开成一个收敛的,傅里叶级数,。,电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。,二、傅里叶级数的两种形式,1、第一种形式,式中：K=1，2，3,系数的计算公式,2、第二种形式,A,0,称为周期函数的,恒定分量,（或直流分量）；,A,1m,cos(,1,t+,1,),称为,1次谐波,（或基波分量），其周期或频率与原周期函数相同；,其他各项统称为,高次谐波,，,即2次、3次、4次、,3、两种形式系数之间的关系,第一种形式,第二种形式,A,0,=a,0,a,k,=,A,km,cos,k,b,k,=,-,A,km,sin,k,4、傅里叶分解式的数学、电气意义,+,-,傅氏分解,A,0,U,1,U,2,+,-,u(t),u(t),分解后的电源相当于无限个电压源串联,对于电路分析应用的方法是,叠加定理,三、,f(t),的频谱,傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期函数分解的结果，但,不很直观,。,为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，,用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，,按频率的高低顺序把它们依次排列起来，,得到的图形称为,f(t),的,频谱,。,1、幅度频谱,各次谐波的振幅用相应线段依次排列。,2、相位频谱,把各次谐波的初相用相应线段依次排列。,O,A,km,k,1,4,1,3,1,2,1,1,例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱,O,f(t),t,1,t,E,m,-E,m,2,T,解：,f(t),在第一个周期内的表达式为,f(t),=,E,m,-E,m,根据公式计算系数,0,O,f(t),t,1,t,E,m,-E,m,2,T,O,f(t),t,1,t,E,m,-E,m,2,T,=0,当,k,为偶数时：,cos,(,k,)=1,b,k,=0,当,k,为奇数时：,cos,(,k,)=-1,代入求得,当,k,为偶数时：,cos,(,k,)=1,b,k,=0,当,k,为奇数时：,cos,(,k,)=-1,O,f(t),E,m,-E,m,1,t,图形曲线分析:,O,f(t),E,m,-E,m,1,t,取到11次谐波时合成的曲线,比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成曲线就越接近于原来的波形。,O,f(t),t,1,t,E,m,-E,m,2,T,f(t),=,E,m,-E,m,假设,E,m,=1，,1,t=/2，得,取到11次谐波时，结果为0.95;取到13次谐波时，结果为1.05;取到35次谐波时，结果为0.98,误差为2%,矩形信号,f(t),的频谱,O,A,km,k,1,7,1,5,1,3,1,1,3、频谱与非正弦信号特征的关系,波形越接近正弦波，,谐波成分越少；,f,(t)=10cos(314t+30),O,A,km,k,1,1,1、偶函数,f,(t)=,f,(-,t,),纵轴对称的性质,f(t),O,t,f(t),O,t,四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之间的关系,可以证明：,b,k,=0,1、偶函数,纵轴对称的性质,f,(t)=,f,(-,t,),展开式中只含有余弦项分量和直流分量,f,(t)=-,f,(-,t,),原点对称的性质,f(t),O,t,f(t),O,t,2、奇函数,可以证明：,a,0,=0,a,k,=0,原点对称的性质,f,(,t,)=-,f,(-,t,),2、奇函数,展开式中只含有正弦项分量,满足,f,(t)=,-,f,(,t+T/2,),称为,奇谐波函数,O,f(t),t,T,3、奇谐波函数:,f,(t)=,-,f,(,t+T/2,),叫做 镜对称的性质,判断:利用镜对称的性质,f,(,t,)=-,f,(,t+T/2,),3、奇谐波函数,可以证明：,a,2k,=b,2k,=0,f(t)=,展开式中只含有奇次谐波分量,f(t),O,t,判断下面波形的展开式特点,f(t),是奇函数,展开式中只含有正弦分量,f(t),又是奇谐波函数,展开式中只含有奇次谐波,f(t)=,系数,A,km,与计时起点无关（但,k,是有关的），,这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，并不会因计时起点的变动而变动；,因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作相应地改变。,由于系数,a,k,和,b,k,与初相,k,有关，所以它们也随计时起点的改变而改变。,4、系数和计时起点的关系,由于系数,a,k,和,b,k,与计时起点的选择有关，所以函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择有关。,但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点无关。,因此适当选择计时起点有时会使函数的分解简化。,4、系数和计时起点的关系,例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下画出整个周期的波形,O,f(t),t,1、只含有余弦分量,2、只含有正弦分量,3、只含有奇次谐波分量,O,f(t),t,1、只含有余弦分量,f(t),应是偶函数,关于纵轴对称,O,f(t),t,2、只含有正弦分量,f(t),应是奇函数,关于原点对称,O,f(t),t,3、只含有奇次谐波分量,f(t),应是奇谐波函数,镜象对称,