可以对角化的矩阵PPT

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,设,是数域,F,上 维向量空间,V,的一个线性变换，如果存在,V,的一个基，使得,关于这个基的矩阵具有对角形式(1),7.6.1 什么是可对角化,则称,可以对角化,.,类似地,设,A,是数域,F,上一个,n,阶矩阵，如果存在,F,上一个,n,阶逆矩阵,T,，使得 具有对角形式,（1）,则称矩阵,A,可以对角化.,7.6 可以对角化的矩阵,我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换,也可,以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线性,变换来研究矩阵.,易证,可以对角化的充分必要条件是,有,n,个线性无关的本征向量构成,V,的基.,问题:在什么条件下,有,n,个线性无关的本征向量?,7.6.2 本征向量的线性关系,定理7.6.1,令,是数域,F,上向量空间,V,的一个线性变换.如果 分别是,的属于互不相同的本征值 的本征向量，那么 线性无关.,证,我们对,n,用数学归纳法来证明这个定理,当,n,=1时，定理成立.因为本征向量不等于零.设,n,1,并且假设对于,n,1来说定理是成立的.现设 是,的两两不同的本征值，是属于本征值 的本征向量：,如果等式,成立，那么以 乘（3）的两端得,另一方面，对（3）式两端施行线性变换,，注意到等式（2），我们有,（5）式减（4）式得,根据归纳法假设，线性无关，所以,但 两两不同，所以 代入（3），因为 所以 这就证明了 线性无关.,推论7.6.1,设,是数域,F,上向量空间,V,的一个线性变换，是,的互不相同的本征值.又设 是属于本征值 的线性无关的本征向量,那么向量 线性无关.,证,先注意这样一个事实：,的属于同一本征值的本征向量的非零线性组合仍是,的属于的一个本征向量.,由上面所说的事实，如果某一 ，则 是,的属于本征值 的本征向量.因为,互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有 即,令,则,现在设存在,F,中的数 使得,然而,线性无关，所以,即 线性无关.,7.6.3 可对角化的判定,推论7.6.2,令,是数域,F,上,n,维向量空间,V,的一个线性变换，如果,的特征多项式 在,F,内有,n,个单根，那么存在,V,的一个基，使,就关于这个基的矩阵是对角形式.,证,这时,的特征多项式 在,F,x,内可以分解为线性因式的乘积：,且两两不同.对于每一个 选取一个本征向量 由定理7.6.1,线性无关，因而构成,V,的一个基,关于这个基的矩阵是,平行地即用矩阵的说法:,推论7.6.3,令,A,是数域,F,上一个,n,阶矩阵，如果,A,的特征多项式 在,F,内有,n,个单根，那么存在一个,n,阶可逆矩阵,T,，使,注意：推论的条件只是一个,n,阶矩阵可以对角化的充分条件，但不是必要条件.,下面将给出一个,n,阶矩阵对角化的充分必要条件.,定义：,设,是数域,F,上向量空间,V,的一个线性变换，是,的一个本征值，令,则有,因而是,V,的一个子空间.这个子空间叫做,的属于本征值的本征子空间,.,现在令,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，而,是,V,的一个线性变换，设是,的一个本征值，是,的属于本征值的本征子空间，,这里 是一个,s,阶的单位矩阵.因此，,A,的特征多项式是,取 的一个基,由7.4，,关于这个基的矩阵有形如,并且将它扩充为,V,的基，,由此可见，,至少是 的一个,s,重根.,如果线性变换,的本征值是,的特征多项式 的一个,r,重根，那么就说，的重数是,r,.设是,的一个,r,重本征值，而,的属于本征值的本征子空间的维数是,s,.,由以上的讨论可以知道：,即,的属于本征值的本征子空间的维数不能大于的重数.,定理7.6.2,令,是数域,F,上,n,维向量空间,V,的一个线性变换，,可以用对角化的充分且必要的条件是,(i),的特征多项式的根都在,F,内;,(ii)对于,的特征多项式的每一根，本征子空间 的维数等于的重数.,证,设条件(i)，(ii)成立.令 是,的一切不同的本征值，它们的重数分别是 ，有,在每一个本征子空间 里选取一个基 .,由推论7.6.2，线性无关，因而构成,V,的一个基，,关于这个基的矩阵是对角形式：,(6),反过来，设,可以对角化，那么,V,有一个由,的本征向量所组成的基.适当排列这一组基向量的次序，可以假定这个基是,而,关于这个基的矩阵是对角形（6）.于是,的特征多项式,因此,的特征多项式的根 都在,F,内，并且 的重数等于 .然而基向量 显然是本征子空间 的线性无关的向量,所以,因此,将上面的定理转化成矩阵的语言,就是:,推论7.6.4,设,A,是数域,F,上一个,n,阶矩阵，,A,可以对角化的充分必要条件是,(i),A,的特征根都在,F,内;,(ii)对于,A,的每一特征根，秩,这里,s,是的重数.,例 1,矩阵,不能对角化，因为,A,的特征根 1是二重根，而秩（,I,A,）=1.,7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤,先求出矩阵,A,的全部特征根.,如果,A,的特征根都在,F,内，那么对于每一特征根，求出齐次线性方程组,的一个基础解系.,如果对于每一特征根 来说，相应的齐次线形方程组的基础解系所含解向量的个数等于的,例 2,矩阵,的特征多项式是,特征根是 2，2，4.,重,数，那么,A,可对角化，以这些解向量为列，作一个,n,阶矩阵,T,，由推论7.6.1的证明可知，,T,的列向量线性无关，因而是一个可逆矩阵，并且 是对角形矩阵.,对于特征根4，求出齐次线性方程组,的一个基础系,对于特征根 2，求出齐次线性方程组,的一个基础解系 .,由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特征根的重数，所以,A,可以对角化.取,那么,例3,求证,R,上的矩阵 与对角矩阵相似,并求 .,练习,矩阵 可以对角化吗?,7.6 可以对角化矩阵,一、内容分布,7.6.1 什么是可对角化,7.6.2 本征向量的线性关系,7.6.3 可对角化的判定,7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤,二、教学目的,1掌握可对角化的定义与判断,2熟练掌握矩阵对角化的方法步骤,三、重点难点,可对角化的判断与计算.,