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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数的概念,第二章,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 曲线的切线斜率,曲线,在,M,点处的切线,割线,M N,的极限位置,M T,(当 时),割线,M N,的斜率,切线,MT,的斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个问题的,共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为,函数增量,与,自变量增量,之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比的极限,是,转角增量,与,时间增量,之比的极限,是,质量增量,与,长度增量,之比的极限,是,电量增量,与,时间增量,之比的极限,变化率问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、导数的定义,定义1 .,设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,在点,处,可导,在点,的,导数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在,M,点处的切线斜率,说明:,在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间,I,内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为,导函数,.,记作:,注意,:,就说函数,就称函数,在,I,内可导.,的导数为,无穷大,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求函数,(,C,为常数) 的导数.,解:,即,例2.,求函数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,（以后将证明）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,求函数,的导数.,解:,即,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,是否可按下述方法作:,例5.,证明函数,在,x,= 0 不可导.,证:,不存在 ,例6.,设,存在, 求极限,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 导数的几何意义,曲线,在点,的切线斜率为,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与,x,轴平行,称为,驻点,;,若,切线与,x,轴垂直 .,曲线在点,处的,切线方程:,法线方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,问曲线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点,x,处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点,x,连续 .,注意:,函数在点,x,连续未必可导,.,反例:,在,x,= 0,处连续 , 但不可导.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点,的某个,右,邻域内,五、 单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的,右 导数,记作,即,(左),(,左,),例如,在,x,= 0 处有,定义2,.,设函数,有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,函数,在点,且,存在,简写为,在点,处,右,导数存在,定理3.,函数,在点,必,右,连续.,(,左,),(,左,),若函数,与,都存在 ,则称,显然:,在闭区间 ,a,b, 上可导,在开区间,内可导,在闭区间,上可导.,可导的,充分必要条件,是,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.,函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设,存在 , 则,3.,已知,则,4.,若,时, 恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,设, 问,a,取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在,x,= 0 连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P85,2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,牛顿,(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,莱布尼兹,(1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .,备用题,解:,因为,1.,设,存在, 且,求,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证,：,因为,存在，,则有,又,在,处连续,所以,即,在,处可导.,2.,设,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的求导法则,第二章,思路:,( 构造性定义 ),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了,两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点,x,可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(2),证:,设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,C,为常数 ),例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),证:,设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,C,为常数 ),例2.,求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、反函数的求导法则,定理2.,y,的某邻域内单调可导,证:,在,x,处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,求反三角函数及指数函数的导数.,解:,1) 设,则,类似可求得,利用, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 设,则,特别当,时,小结:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点,x,可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点,x,可导,证:,在点,u,可导,故,（当 时 ),故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,关键,:,搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广,：,此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,求下列导数:,解:,(1),(2),(3),说明:,类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设,求,解:,思考:,若,存在 , 如何求,的导数?,这两个记号含义不同,练习:,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6,.,设,解:,记,则,(反双曲正弦),其它反双曲函数的导数见 P94,例1,6.,的反函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数,(P94),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 有限次四则运算的求导法则,(,C,为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明:,最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,解,:,例8.,设,解,:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,求,解:,关键:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.,设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,求导公式及求导法则,(见 P94),注意:,1),2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .,1.,思考与练习,对吗?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设,其中,在,因,故,阅读 L.P 51 例1,正确解法,:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,求下列函数的导数,解:,(1),(2),或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.,设,求,解:,方法1,利用导数定义.,方法2,利用求导公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P 96,2,(2) , (8) , (10),; 3,(2) , (3),; 4 ;,6,(6) ,(8),; 7,(3) , (7) , (10),;,8,(4) , (5) , (8) , (10),; 10;,11,(4) , (8),; 12,(3) , (8) , (10),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1,.,设,解：,2 .,设,解,:,其中,可导, 求,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数,第二章,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例,：,变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为,n,阶导数 ,或,的,二阶导数,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考:,设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例3.,设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,设,求,解:,一般地 ,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5,.,设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,设,求使,存在的最高,分析,:,但是,不存在 .,2,又,阶数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、高阶导数的运算法则,都有,n,阶导数 , 则,(,C,为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,及,设函数,推导 目录 上页 下页 返回 结束,用数学归纳法可证,莱布尼兹公式,成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,解:,设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.,设,求,解:,即,用莱布尼兹公式求,n,阶导数,令,得,由,得,即,由,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.,如何求下列函数的,n,阶导数?,解:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),提示:,令,原式,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,(填空题) (1) 设,则,提示:,各项均含因子,(,x, 2 ),(2) 已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,试从,导出,解：,同样可求,(见 P101 题4 ),作业,P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ;,9 (2) , (3),第四节 目录 上页 下页 返回 结束,解:,设,求,其中,f,二阶可导.,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定,y,是,x,的函数 ,由,表示的函数 , 称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求由方程,在,x,= 0,处的导数,解:,方程两边对,x,求导,得,因,x,= 0 时,y,= 0 , 故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,求椭圆,在点,处的切线方程.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,求,的导数 .,解:,两边取对数 , 化为隐式,两边对,x,求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对,x,求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,对,x,求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成,x,是,y,的函数 ),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,例4.,设, 且,求,已知,解:,练习:,P111 题8(1),解:,注意 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻,t,的运动速度的大小和方向.,解:,先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体,速度大小,再求,速度方向,(即轨迹的切线方向):,设,为切线倾角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即,t,= 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射,最远距离,速度的方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,设由方程,确定函数,求,解:,方程组两边对,t,求导 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,相关变化率问题,解法:,找出相关变量的关系式,对,t,求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,一气球从离开观察员,500 m,处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为,500 m,时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:,设气球上升,t,分后其高度为,h, 仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,= 500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题:,当气球升至,500 m,时停住 , 有一观测者以,100 mmin,的速率向气球出发点走来,当距离为,500 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对,t,求导,已知,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求当容器内水,例8.,有一底半径为,R,cm , 高为,h,cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:,设时刻,t,容器内水面高度为,x,水的,两边对,t,求导,而,故,体积为,V, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,4. 相关变化率问题,列出依赖于,t,的相关变量关系式,对,t,求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.,求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解:,化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设,求,提示:,分别用对数微分法求,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,设,由方程,确定 ,解:,方程两边对,x,求导,得,再求导, 得,当,时,故由,得,再代入,得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P110 1,(1) , (4),; 2 ; 3,(3) , (4) ;,4,(2),(4),; 5,(2),; 6 ; 7,(2),;,8,(2),(4),; 9,(2),; 10 ; 12,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,求其反函数的导数 .,解,:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1.,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求,解,：,2,.,设,方程组两边同时对,t,求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例:,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为,x, 面积为,A, 则,面积的增量为,关于,x,的线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当,x,在,取,得增量,时,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的,微分,定义:,若函数,在点 的增量可表示为,(,A,为不依赖于,x,的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:,函数,在点 可微的,充要条件,是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 :,函数,证:,“必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 :,函数,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作,微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,基本初等函数的微分公式,(见 P115表),又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 微分运算法则,设,u,(,x,) ,v,(,x,) 均可微 , 则,(,C,为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设,求,解:,利用一阶微分形式不变性 , 有,例3.,在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:,上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,三、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解:,设,取,则,例4.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解:,例5.,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解:,已知球体体积为,镀铜体积为,V,在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 cm ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、 微分在估计误差中的应用,某量的精确值为,A,其近似值为,a,称为,a,的,绝对误差,称为,a,的,相对误差,若,称为测量,A,的,绝对误差限,称为测量,A,的,相对误差限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算,y,值时的误差,故,y,的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得,x,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,设测得圆钢截面的直径,测量,D,的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积 ,解:,计算,A,的,绝对误差限约为,A,的,相对误差限约为,试估计面积的误差 .,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,mm,),内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,(,u,是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,6. 设,且,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P122 1 ;,3,(4) , (7) , (8) , (9) , (10),;,4 ; 5; 8,(1) ;,9,(2),;,12,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,1.,已知,求,解,：,因为,所以,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边求微分, 得,已知,求,解,：,2.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,习题课,一、 导数和微分的概念及应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 导数和微分的求法,导数与微分,第二章,一、 导数和微分的概念及应用,导数,:,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关系,:,可导,可微,( 思考 P124 题1 ),应用,:,(1),利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算与误差估计中的应用,(2)用导数定义求极限,1),推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证明一些命题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,设,存在,求,解:,原式,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,若,且,存在 , 求,解:,原式 =,且,联想到凑导数的定义式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设,在,处连续,且,求,解:,思考,:,P124 题2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,设,试确定常数,a,b,使,f,(,x,),处处可导,并求,解:,得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是否为连续函数 ?,判别:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,解:,又,例5.,所以,在,处连续.,即,在,处可导 .,处的连续性及可导性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 导数和微分的求法,1.,正确使用导数及微分公式和法则,2. 熟练掌握求导方法和技巧,(1),求分段函数的导数,注意讨论,界点,处左右导数是否存在和相等,(2),隐函数求导法,对数微分法,(3),参数方程求导法,极坐标方程求导,(4),复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),转化,(5),高阶导数的求法,逐次求导归纳 ;,间接求导法;,利用莱布尼兹公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,设,其中,可微 ,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,且,存在, 问怎样,选择,可使下述函数在,处有二阶导数.,解:,由题设,存在, 因此,1) 利用,在,连续, 即,得,2) 利用,而,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 利用,而,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.,设由方程,确定函数,求,解:,方程组两边对,t,求导,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P124 4 ; 5,(1),;,6 ; 7,(3) , (4) , (5),;,8,(2),; 10 ; 11,(2),;,12 ; 13 ; 15,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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