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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复习,6.微积分基本公式,4.积分上限函数,5.积分上限函数的导数,1.定积分,定义,2.定积分的,思想和方法：,分割,近似,取和,求极限.,d,x,牛顿-莱布尼兹公式.,3.定积分的,值,与,积分变量,使用的,字母无关,.,1,复习6.微积分基本公式4.积分上限函数5.积分上限函数的导数,实例1：,求曲边梯形的面积,.,一、问题的提出,4-1定积分的概念,(1)曲边梯形定义：,条直线,x=a,由一条,连续,曲线,和三,x,o,y,a,b,b,a,o,y,x,x=b,y=,0,所围成的,封闭图形,.,x,y,o,a,b,2,实例1：求曲边梯形的面积.一、问题的提出4-1定积分的概念(,(2)求曲边梯形面积的意义：,x,o,y,x,o,y,x,o,y,由平面曲线所围成的平面,图形的面积都可以转化为曲边梯形面积的,代数和.,a,b,a,b,(3)求由连续函数,和三条直线,x=a,x=b,y=,0,所围成的封闭图形的面积.,a,b,3,(2)求曲边梯形面积的意义：xoyxoyxoy由平面曲线所围,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然:,（四个小矩形）,（九个小矩形）,矩形总面积,越接近,曲边梯形面积,小矩形越多，,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,4,用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然:（四个小矩形）（九个小矩,曲边梯形如图所示，,(1)分割：,把区间,a,b,分成,n,个小区间,长度为,在每个小区间,上,任取一点,以,为底，,为,高,的,小矩形面积,为,则,在区间,a,b,内插入若干个分点，,(2)近似：,5,曲边梯形如图所示，(1)分割：把区间a,b分成n个小区间,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积,为:,以上做法的,步骤:,当分割的无限细密，,即最大的小区间的长度,趋于零时，,分割,求近似,取和,求极限.,(3)作和式：,(4)取极限：,6,曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为:以上做法的步骤:当分割,实例2,：,求变速直线运动的路程.,思路：,设某物体作直线运动，,已知速度,是时间间隔,上,t,的一个连续函数，,且,求物体在这,段时间内所经过的,路程.,路程的精确值,的近似值，,看作不变，,把整段时间,分割,成若干小段，,每小段上速度,便得到路程,求出各小段的路程,再相加,，,最后通过对时间的,无限细分,过程求得,7,实例2：求变速直线运动的路程.思路：设某物体作直线运动，已,(1)分割,部分路程,近似值,(3)求和,(4)取极限,路程的,精确值,t,(2)近似,而曲边梯形面积,8,(1)分割部分路程近似值(3)求和(4)取极限路程的精确值t,二.定积分的定义,定义,在,中任意插入若,干个分点,把区间,各小区间的,长度,依次为,在各小区间上任取一点,作乘积,并作和,记,怎样的分法，,也不论在小区间,上点,怎样,的取法，,只要当,时，,和,总趋于,确定的极限,设函数,在,上,有界，,分成,个小区间，,如果不论对区间,9,二.定积分的定义定义在中任意插入若干个分点把区间各小区间的长,被积函数,被积表达式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,积分和,我们称这个极限,为函数,在区间,积分区间,d,x,d,x.,上的,定积分，,简称：,积分,10,被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和我们称这,注意：,(5),是一个确定的,常数.,(3)定积分与区间的,分割方法无关，,(4)当函数,在区间,上的,定积分存在,时，,称,在区间,上,可积.,(2),积分值,与,被积函数,及,积分区间,有关，,使用的,字母,无关.,d,x,d,t,d,u,d,t,d,x,.,d,x,(1),而与,积分变量,的,取法无关,.,与,曲边,梯形,面积,变速直线运动的路程,11,注意：(5)是一个确定的常数.(3)定积分与区间的分割方法无,闭区间上的,有界单调,函数,可积.,以上定理的证明省略,只要求记住结论.,定理1,当函数,在区间,上,连续,时，,称,定理2,且只有,有,限,个间断点，,定理3,三.存在定理,即,d,x,存在.,在区间,上,可积.,设函数,在区间,上,有界，,则,在区间,上,可积.,12,闭区间上的有界单调函数可积.以上定理的证明省略,只要求记住,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四.定积分的几何意义,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,d,x,d,x,1.,当,时，,A,2.,当,时，,3.,当,在,a,b,上有正有负时，,d,x,表示,各部分,面积的,代数和.,d,x,o,a,b,13,曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四.定积分的几何意义abx,即,它是介于,x,轴、,函数,的图形,及两条直线,x,=,a,，,x,=,b,之间的,各部分面积的代数和.,且,x,轴上方,的面积取,正号；,在,x,轴下方,的面积取,负号.,的几何意义：,d,x,4.,d,x,a,b,14,即它是介于x轴、函数的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部,对定积分的,补充规定:,说明:,在下面的性质中，假定定积分都存在，,一.基本内容,五.定积分的性质,(1)当,a,=,b,时,d,x,(1)当,a,b,时,d,x.,d,x,且不考虑积分上下限的大小,即,d,x,15,对定积分的补充规定:说明:在下面的性质中，假定定积分都存在，,证,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,16,证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1dxdxd,证,性质2,性质1.2称为定积分的线性性质.,d,x,d,x.,d,x,d,x,(,k,为常数),17,证性质2性质1.2称为定积分的线性性质.dxdx.dxdx(,若,定积分对于积分区间具有可加性,则,性质3,a,b,x,y,o,d,x,d,x,d,x.,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,若,(定积分的可加性),证,由定义,当,时，,d,x,d,x,d,x.,c,得,18,若定积分对于积分区间具有可加性则性质3abxyodxdxdx,证,性质4,性质5,d,x,d,x,如果在区间,上,则,d,x,o,y,x,a,b,o,y,x,a,b,1,d,x,19,证性质4性质5dxdx如果在区间上则dxoyxaboyxab,性质5的推论：,证,o,y,x,a,b,则,(1)如果在区间,上,d,x,d,x.,d,x,d,x,d,x,于是：,d,x,d,x.,20,性质5的推论：证oyxab则(1)如果在区间上dxdx.dx,解,于是,例1,比较积分值,d,x,和,d,x,的大小.,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,21,解于是例1比较积分值dx和dx的大小.dxdxdxdxdxd,证,性质5的推论：,(2),d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x.,即,22,证性质5的推论：(2)dxdxdxdxdxdxdx.即22,证,(此性质可用于估计积分值的大致范围),性质6,a,b,x,y,o,m,M,则,设,M,及,m,分别是函数,在区间,a,b,上的,最大值,及,最小值,，,d,x,d,x,d,x,d,x,d,x,(估值定理),23,证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6abxyomM则,解,d,x,d,x,d,x,d,x,例2,估计积分,的值.,d,x,24,解dxdxdxdx例2估计积分的值.dx24,证,由闭区间上连续函数的介值定理知，,性质7,积分中值公式,如果函数,在闭区间,上,连续，,则在积分,区间,上,至少存在一点,使,上至少存在一点,使,在,即,d,x,d,x,d,x.,d,x,d,x,(定积分中值定理),25,证由闭区间上连续函数的介值定理知，性质7积分中值公式如果函数,积分中值公式的几何解释：,d,x,在区间,a,b,上至少存在一个点,使得以区间,a,b,为,底边，,以曲线,为曲边的,曲边梯形的面积,等于,同一底边，,而,高,为,的一个矩形的面积.,26,积分中值公式的几何解释：dx在区间a,b上至少存在一个点,六、小结,定积分的定义：,3定积分的思想和方法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值定积分,以不变代变.,取极限,d,x,2定积分的实质：,特殊和式的极限,近似,以直代曲,27,六、小结定积分的定义：3定积分的思想和方法：分割化整为,4定积分的性质：,(注意估值性质、积分中值定理的应用),5典型问题,(1)估计积分值；,(2)不计算定积分比较积分大小,作业:理解并熟记概念和性质,预习,P204,211,线性性质，,可加性，,大小比较，,估值定理，,定积分中值定理.,28,4定积分的性质：(注意估值性质、积分中值定理的应用)5典,解,例如,计算,令,则,d,x,29,解例如计算令则dx29,x,4,9,t,2,3,另解,令,则,2,3,30,x49t23另解令则2330,5-3定积分的换元法,一、换元公式,则有：,定理,假设,在区间,(1)函数,上,连续；,(2)函数,在区间,上,单值,的且有,连续的导数；,(3)当,t,在区间,上变化时，,的值,在区间,上变化时，,且,31,5-3定积分的换元法一、换元公式则有：定理假设在区间(1)函,证,证毕,设,注意：,换元公式仍然成立.,当,时，,(1),上限,与,上限,对应，,(3),(2),换元的,同时,应换限.,下限,与,下限,对应.,则,对,a,b,仍成立.,32,证证毕设注意：换元公式仍然成立.当时，(1)上限与上限对应，,解,例1,计算,令,则,0,t,0,x,33,解例1 计算令则0t0 x33,解,例2,计算,原式,x,ln3,ln8,t,2,3,注意：,换元公式可,反过来用，,边对调地位，,令,令,则,只须把公式左右两,改记为,同时把,34,解例2 计算原式xln3ln8t23注意：换元公式可反过来,例3,计算,解,令,另解,说明：,不换元时不换限，,换元的,同时,应换限.,35,例3 计算解令另解说明：不换元时不换限，换元的同时应换限.,解,例4,计算,令,则,注意：,能凑微分就不换元，这样就不换限.,36,解例4 计算令则注意：能凑微分就不换元，这样就不换限.36,例5,计算,解,由于,原式=,注意：,去绝对值,或,去根号时，,应,注意其正负,，否则就会出错.,37,例5计算解由于原式=注意：去绝对值或去根号时，应注意其正负，,即,例6,当,在,上,连续，,且有,为,偶函数，,则,(2),为,奇函数，,则,奇,偶,o,x,y,-a,a,a,-a,x,y,0,(1),38,即例6当在上连续，且有为偶函数，则(2)为奇函数，则奇偶ox,证,证毕,x,-,a,0,t,a,0,在,中，,令,(1),为,偶函数，,则,(2),为,奇函数，,则,39,证证毕x-a0ta0在中，令(1)为偶函数，则(2)为奇函数,奇函数,解,例7,计算,原式,偶函数,单位圆的面积,40,奇函数解例7 计算原式偶函数单位圆的面积40,证,令,0,t,0,x,即,证明,例8,41,证令0t0 x即证明例841,证,令,0,t,0,x,即,设,f,(,x,)在0,1上连续，证明,例9,42,证令0t0 x即设f(x)在0,1上连续，证明例942,证,*,令,则,例10,证明,a,t,a,x,43,证*令则例10证明atax43,证,则,例11,计算,令,44,证则例11计算令44,例12,设,f,(,x,)是连续函数，且,求,解1,即,则,对,从0到1关于,x,积分，,于是,89年考研题,45,例12设f(x)是连续函数，且求解1即则对从0到1关于 x积,例12,设,f,(,x,)是连续函数，且,求,解2,令,则,将,代入,中，得,即,也为,所以有,则,89年考研题,46,例12设f(x)是连续函数，且求解2令则将代入中，得即也为所,定积分的换元法,小结,主要作用：,1.,简化,定积分的计算，,2.,证明,一些等式,47,
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