有一个约束条件的三元函数的条件极值

四川大学数学学院,徐小湛,30 March 2012,Santa II,p.158,有一个约束条件的条件极值,推导三元函数在一个约束条件下取得极值的必要条件,设函数,u,=,f,(,x,y,z,),在点,(,x,y,z,),处取得满足约束条件 的极值。由隐函数知识，该约束条件的方程可以确定一个二元函数,z,=,z,(,x,y,),。将这个二元函数代入目标函数，则二元函数,u,=,f,(,x,y,z,(,x,y,)=,u,(,x,y,),在点,(,x,y,),处取得极值。由二元函数极值的必要条件，,另一方面，将二元函数,z,=,z,(,x,y,),代入约束条件方程，得恒等式：,以上等式两端分别对,x,和,y,求偏导数，得,由,(1),(2),(3),(4),式得,由此得到：,即两个梯度,和,在取得条件极值的点处平行。这就是函数,u,=,f,(,x,y,z,),在,(,x,y,z,),处取得满足约束条件的极值的必要条件。,约束条件,函数 取得满足,的极值的必要条件是：,命题,即,华阳 南湖,2012.3.18,