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,栏目索引,5,利用三角形全等测距离,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章三角形,新初中数学（北师大版）,七年级 下册,第四章三角形 新初中数学（北师大版）,知识点利用三角形全等测距离,测量距离,例小强为了测量一幢高楼的高度,AB,在旗杆,CD,与楼之间选定一点,P,.,测得在,P,点观察旗杆顶,C,的视线,PC,与地面的夹角,DPC,=36,测得在,P,点观察楼顶,A,的视线,PA,与地面的夹角,APB,=54,量得,P,到楼底的距离,PB,与旗杆的高度相等,均为10米,量得旗杆与楼之间的距离为,DB,=36米,如图4-5-1,小强计算出了楼高,楼高,AB,是多少米?,知识点利用三角形全等测距离,2,图4-5-1,分析,根据题意可得,CPD,PAB,(ASA),进而利用,AB,=,DP,=,DB,-,PB,求出楼高.,解析,因为,CPD,=36,APB,=54,CDP,=,ABP,=90,所以,DCP,=,APB,=54,.在,CPD,和,PAB,中,因为,CDP,=,ABP,DC,=,PB,DCP,=,APB,所以,CPD,PAB,(ASA),所以,DP,=,AB,.由,DB,=36米,PB,=10米,得,AB,=,DP,=36-10=26(米).即楼高,AB,是26米.,分析根据题意可得CPDPAB(ASA),进而利用A,3,题型实际应用题,例如图4-5-2所示,某湖泊岸边有,A,、,B,两棵大树,计划在两棵大树间架,一条电话线路,为了计算两棵大树能承受的压力,需测量出,A,、,B,之间的,距离,但是,A,、,B,两地又不能直接到达,请你用学过的知识设计一个测量,方案,求出,A,、,B,之间的距离,写出你的测量方案.,图4-5-2,题型实际应用题,4,解析,测量方案如下:,如图4-5-3,连接,AB,在湖泊岸边找一点,C,连接,AC,BC,并延长,截取,CD,=,BC,EC,=,AC,连接,DE,.,图4-5-3,在,ABC,和,EDC,中,解析测量方案如下:,5,ABC,EDC,(SAS),AB,=,ED,量出,ED,的长即可得到,A,、,B,之间的距离.,点拨,利用三角形全等来测量距离(或角度),实际上就是利用已有的全,等三角形或构造出的全等三角形,通过全等三角形的对应边相等(或对,应角相等)这一性质,把较难测量长度的线段(或较难测得的角)转化成已,知线段(或已知角)或是较容易测得长度的线段(或是较容易测得的角).,ABCEDC(SAS),点拨利用三角形全等来测量距,6,运用直观想象构造全等三角形,素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与,变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:,借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描,述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索,解决问题的思路.,直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形,成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.,直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助,几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.,运用直观想象构造全等三角形,7,典例剖析,例(2018河南漯河临颍月考)如图4-5-4所示,已知一池塘宽为,AB,.请你,运用所学的“三角形全等”的有关知识设计一种测量,AB,的方案,并说,明理由.,图4-5-4,典例剖析例(2018河南漯河临颍月考)如图4-5-4,8,解析,答案不唯一,提供以下方案,任选一种即可.,方案一:如图4-5-5,先在平地取一个可直接到达,A,B,的点,C,再连接,AC,BC,并分别延长,AC,至,D,BC,至,E,使,DC,=,AC,EC,=,BC,最后测出,DE,的长即为,A,B,间的距离.,图4-5-5,解析答案不唯一,提供以下方案,任选一种即可.,9,理由:在,ABC,和,DEC,中,ABC,DEC,(SAS),AB,=,ED,.,方案二:如图4-5-5,过点,B,作,BD,AB,再由点,D,观测,得出,BDA,的大,小,在,AB,的延长线上取一点,C,使,BDC,=,BDA,这时只要测出,BC,的长,即为,A,B,间的距离.,理由:在,ABD,和,CBD,中,ABD,CBD,(ASA),AB,=,BC,.,理由:在ABC和DEC中,10,素养呈现,本题以测量池塘宽度为背景,通过构造全等三角形,利用全,等三角形的判定和性质来测量池塘的宽.解决本题的关键是利用全等三,角形的判定方法,根据选取的判定方法合理设计方案,从而使问题得以,解决.方案一选择“SAS”构造全等三角形,方案二选择“ASA”构造,全等三角形.,素养呈现本题以测量池塘宽度为背景,通过构造全等三角形,利用,11,知识点利用三角形全等测距离,1.如图4-5-1,将两根钢条,AA,、,BB,的中点,O,连在一起,使,AA,、,BB,可以绕,着点,O,自由转动,就做成了一个测量工具,则,A,B,的长等于内槽,AB,的长,那么判定,AOB,A,OB,的理由是,(),图4-5-1,A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边,知识点利用三角形全等测距离,12,答案,A因为,OA,=,OA,OB,=,OB,AOB,=,A,OB,所以根据“SAS”可,判定,AOB,A,OB,.,2.如图4-5-2,小明站在,C,处看甲、乙两楼楼顶上的点,A,和,E,.,C,、,E,、,A,三点,在同一直线上,B,、,C,相距20米,D,、,C,相距40米,乙楼高,BE,为15米,小明的,身高忽略不计,则甲楼高,AD,为,(),图4-5-2,A.40米B.20米C.15米D.30米,答案A因为OA=OA,OB=OB,AOB=,13,答案,D过,E,作,EF,AD,垂足为,F,则,EF,CD,C,=,AEF,又,AFE,=,EBC,=90,FE,=,BD,=,CD,-,BC,=40-20=20米=,BC,EBC,AFE,AF,=,BE,.,AD,=,AF,+,FD,=2,BE,=2,15=30米.,答案D过E作EFAD,垂足为F,则EFCD,14,1.如图所示,要测量河岸相对的两点,A,、,B,之间的距离,先从,B,点出发沿与,AB,成90,角的方向走50 m到,C,点立一根标杆,然后方向不变继续走50 m,到,D,点,在,D,点转90,沿,DE,方向再走17 m,到达,E,点,使,A,、,C,、,E,三点在同,一条直线上,那么得,A,、,B,两点的距离为,.,答案,17 m,解析,由题意易得,ABC,EDC,则,AB,=,DE,=17 m.,1.如图所示,要测量河岸相对的两点A、B之间的距离,先从B点,15,2.如图,工人师傅要在墙壁的,O,处用钻头打孔,要使孔口从墙壁对面的,B,点处打开,墙壁厚是35 cm,B,点与,O,点的铅直距离,AB,长是20 cm,工人师傅在旁边墙上与,AO,水平的线上截取,OC,=35 cm,画,CD,OC,使,CD,=20 cm,连接,OD,然后沿着,DO,的方向打孔,结果钻头正好从,B,点处打出,这是为什么呢?请你说出理由.,2.如图,工人师傅要在墙壁的O处用钻头打孔,要使孔口从墙壁对,16,解析,因为,OC,=35 cm,墙壁厚,OA,=35 cm,所以,OC,=,OA,.,因为墙体是竖直的,所以,OAB,=90,.,又因为,CD,OC,所以,OAB,=,OCD,=90,.,在,OAB,和,OCD,中,因为,OAB,=,OCD,=90,OC,=,OA,AOB,=,COD,所以,OAB,OCD,(ASA),所以,AB,=,DC,.,因为,DC,=20 cm,所以,AB,=20 cm.,所以钻头正好从,B,点处打出.,解析因为OC=35 cm,墙壁厚OA=35 cm,17,3.在新修的花园小区中,有一条“Z”字形绿色长廊,ABCD,如图,AB,CD,在,AB,、,BC,、,CD,三段绿色长廊上各修建一凉亭,E,、,M,、,F,且,BE,=,CF,M,是,BC,的中点,E,、,M,、,F,在一条直线上.若在凉亭,M,与,F,之间有一池塘,在用皮尺不能直接测量的情况下,你能知道,M,与,F,之间的距离吗?试说明理由.,3.在新修的花园小区中,有一条“Z”字形绿色长廊ABCD,如,18,解析,能,测出,M,与,E,之间的距离就知道了,M,与,F,之间的距离.,理由如下:,AB,CD,B,=,C,M,是,BC,的中点,BM,=,MC,在,EBM,和,FCM,中,EBM,FCM,ME,=,MF,.,解析能,测出M与E之间的距离就知道了M与F之间的距离.,19,1.如图4-5-3,点,D,为码头,A,B,两个灯塔与码头的距离相等,DA,DB,为海岸,线.一轮船离开码头,计划沿,ADB,的平分线航行,在航行途中,C,点处,测,得轮船与灯塔,A,和灯塔,B,的距离相等.试问:轮船航行是否偏离指定航线?,请说明理由.,图4-5-3,1.如图4-5-3,点D为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相,20,解析,此时轮船没有偏离航线.,理由:由题意知,DA,=,DB,AC,=,BC,在,ADC,和,BDC,中,所以,ADC,BDC,(SSS),所以,ADC,=,BDC,.,所以,DC,为,ADB,的平分线.,所以此时轮船没有偏离航线.,解析此时轮船没有偏离航线.,21,2.如图4-5-4,七年级数学兴趣小组要测量河中,浅滩,B,(可看成一点)与对岸,A,之间的距离.先在,另一岸边确定点,C,使,C,A,B,三点在同一条直线上,再在,AC,的垂直方向上作线段,CD,取,CD,的中点,O,然后过点,D,作,DF,CD,使,F,O,A,三点在同一条直,线上,在,DF,上取一点,E,使,E,O,B,三点也在同一条,直线上.那么,EF,的长就是浅滩,B,与对岸,A,之间的,距离,你能说出同学们这样做的根据吗?,图4-5-4,2.如图4-5-4,七年级数学兴趣小组要测量河中图4-5-4,22,解析,能.,AC,CD,FD,CD,C,=,D,=90,.,在,AOC,和,FOD,中,AOC,FOD,(ASA),OA,=,OF,A,=,F,.,在,AOB,和,FOE,中,AOB,FOE,(ASA),AB,=,FE,即,EF,的长就是浅滩,B,与对岸,A,之间的距离.,解析能.ACCD,FDCD,C=D=90.,23,1805年,法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔展开激战,德军在,莱茵河对岸,Q,处,如图所示,因不知河宽,法军的大炮很难准确射击对岸,的德军兵营,聪明的拿破仑站在河岸的,O,点,调整了自己的帽子,使视线,恰好擦过帽舌边缘看到对岸德军的兵营,Q,处,然后他保持姿势一步一步,后退,一直退到自己的视线恰好落在他刚才站到的,O,点,让士兵测量他站,在,B,点和,O,点之间的距离,并下令按这个距离开炮.这样法军能命中目标,吗?为什么?,1805年,法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔展开激战,24,解析,法军能命中目标.理由如下:,由题意知,AB,=,PO,BAO,=,OPQ,.,AB,BO,PO,BO,ABO,=,POQ,=90,.,在,ABO,与,POQ,中,ABO,POQ,(ASA),BO,=,OQ,.,按,BO,的距离炮轰德军兵营时,炮弹恰好落入德军兵营,Q,处,这样法军,能命中目标.,解析法军能命中目标.理由如下:,25,一、填空题,1.(2017山东青岛胶州期末,17,)如图4-5-5,小明要测量水池的宽,AB,但没有足够长的绳子,聪明的他想了如下办法:先在地上取一个可以,直接到达,A,点和,B,点的点,C,连接,AC,并延长到,D,使,CD,=,CA,连接,BC,并延长,到,E,使,CE,=,CB,连接,DE,并测量出它的长度,则,DE,的长度就是,AB,的长,理,由是根据,(,用简写形式即可,),可以得到,ABC,DEC,从而由,全等三角形的对应边相等得出结论,.,图4-5-5,答案,边角边(或SAS
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