《大学物理教学ppt课件1》第5章

,大学物理学,大学物理学,第,5,章 刚体力学基础,本章主要内容：,1,、刚体运动学（运动状态的描述）,2,、定轴转动刚体的功和能,3,、定轴转动刚体的角动量定理及守恒定律,第5章 刚体力学基础本章主要内容：1、刚体运动学（运动状态,5.1,刚体运动学,一、刚体 平动和转动,1,、刚体,定义:在外力作用下，形状和大小保持不变的的物体称为,刚体；,是一种特殊的质点系,。,特点：,刚体上的任两点间的距离始终保持不变。,刚体是实际物体的理想模型。,刚体上,任意,两点的连线在运动中保持平行，这种运动称为刚体的平动。,特征：,刚体上各个质点的位移、速度、加速度相等,。,刚体上任一点的运动规律代表刚体的平动规律。,2,、刚体的平动,5.1 刚体运动学一、刚体 平动和转动1、刚体,刚体上的各个质点绕同一直线做,圆周,运动。,定轴转动,：,转轴在空间的位置固定不动的转动。,1）,各点的角位移、角速度、角加速度相同,。,2）,各点的线位移、线速度、线加速度不同,。,特征：,平面运动,：也称为滚动,。,刚体上任一点作圆周运动的规律代表了刚体定轴转动的规律。,视为车轮轴在垂直轴方向的平动和绕车轮轴的转动的叠加。,3,、刚体的转动,刚体上的各个质点绕同一直线做圆周运动。定轴转动：转轴在空间的,大学物理教学ppt课件1第5章,二、刚体定轴转动的角量描述,平均角速度：,角速度：,（矢量）,角加速度：,（矢量）,角位移:,规定沿,ox,轴逆时针转动为正方向，反之为负方向,。,角位置：,刚体定轴转动的运动学方程。,定轴转动只有两个转动方向。,二、刚体定轴转动的角量描述 平均角速度：角速度：角加速度：（,刚体作匀变速转动时，相应公式如下：,角量与线量的关系：,线速度与角速度之间的矢量关系为:,由于在定轴转动,中轴的位置,不变，故 只有沿轴的正负两个方向，可以用,代数值,代替。,刚体作匀变速转动时，相应公式如下：角量与线量的关系：,例题,5-,1,一半径为,R=,0.1m,的砂轮作定轴转动，其角位置随时间,t,的变化关系为,=,(,2,+,4,t,3,),rad，,式中,t,以,秒,计。试求：,1）在,t=,2s,时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。2）当角,为多大时,，,该质点的加速度与半径成,45,o,。,解,1）,(,舍去,t=,0,和,t=,-,0.55,),此时砂轮的角,位置,：,当,t=,2s,时,2）,加速度与半径成,45,0,时有,即,例题5-1一半径为R=0.1m 的砂轮,例题,5-2,一飞轮从静止开始加速，在,6s,内其角速度均匀地增加到,200,rad/min,，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了,5s,后，飞轮停止了转动。若飞轮总共转了,100,转，求共运转了多少时间？,解,：整个过程分为三个阶段,加速阶段,匀速阶段,制动阶段,例题5-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角,解,1）棒做变加速运动：,例题补充,一细棒绕,O,点自由转动，并知,L,为棒长。,求:1）棒自水平静止开始运动，,=,/,3,时,角速度,?,2）此时端点,A,和中点,B,的线速度为多大?,解 1）棒做变加速运动：例题补充 一细棒绕O,5.2,定轴转动刚体的功和能,一、刚体的动能,当刚体绕,Oz,轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。,整个刚体的动能,刚体绕定轴的转动惯量,一般刚体动能：,5.2 定轴转动刚体的功和能一、刚体的动能,2,、,转动惯量的计算：,若质量离散分布：,（质点，质点系）,若质量连续分布：,其中：,1、,定义,：,刚体对,转轴的,转动惯量,为刚体中每个质元的质量,与该质元到转轴距离,的平方的乘积的总和。,二、,转动惯量的计算,（描述刚体转动惯性大小的物理量）,S,I,单位：,kg.m,2,2、转动惯量的计算：若质量离散分布：若,例题补充,求质量为,m,，,半径为,R,的均匀圆环的对中心轴的转动惯量。,解：,设线密度为,；,例题,5-3,求质量为,m,、,半径为,R,的均匀薄,圆盘对中心轴的转动惯量。,取半径为,r,宽为,d,r,的薄圆环,解：,设面密度为,。,例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环,例题,5-4,求长为,L,、,质量为,m,的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解,1）取,A,点为坐标原点。在距,A,点为,x,处取,dm=,d,x,。,2）取,C,点为坐标原点。,在距,C,点为,x,处取,dm。,2)同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡提到转动惯量,必须指明它是对哪个轴的。,刚体的转动惯量是由,刚体的,总,质量、质量分布（刚体的形状）、转轴的位置,三个因素共同决定;,说明,例题5-4 求长为L、质量为m 的均匀细棒对,3、平行轴定理,若有任一轴与过,质心,的轴平行，且两轴相距为,d,，,刚体对该轴的 转动惯量为,J,，,则有：,两轴平行；,J,C,为刚体绕质心轴的转动惯量,d,为两平行轴间距离。,例,均匀圆盘对,O,轴的转动惯量。,说明,3、平行轴定理 若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴,4,、垂直轴定理,设一薄板，过其上一点作,z,轴垂直于板面，,x,、,y,轴在平板面内，若取一质元,m,i,，则有,薄板形刚体对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和等于这个物体对过该二轴交点并垂直于板面的那条转轴的转动惯量。,-,垂直轴定理,4、垂直轴定理 设一薄板，过其上一点作 z 轴,三、,对转轴的力矩,刚体绕,O z,轴旋转,力 作用在刚体上点,P,，,且在转动平面内,为由点,O,到力的作用点,P,的径矢。,有两个方向，可用正负表示。,方向：,定义：力,F,对,O,点的力矩 在,z,轴上的,投影,M,Z,为力 对转轴,z,的力矩。,三、对转轴的力矩 刚体绕 O z 轴旋转,1,）若力不在转动平面内,将力,分解为,径向、横向和沿转轴方向的,三个分量。,产生的力矩垂直于转轴，它在转轴上的投影为零。,2,）当有,n,个力作用于刚体，则,对转轴的合外力矩等于各力对转轴力矩的代数和。,3,）刚体的内力对转轴的力矩,刚体的内力对转轴的,力矩的矢量和等于零。,讨论,1）若力不在转动平面内 将力分解为径向、横向和,(3)、当有,n,个力作用于刚体，则,刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。,结论：,与转轴垂直，作用线与转轴相交的力对转轴不产生力矩。,与转轴平行的力对转轴不产生力矩。,(3)、当有n 个力作用于刚体，则 刚体内各质点间内力,3、,J,的决定因素：,(1)刚体的质量,(2)刚体的质量分布,小 结,1,、刚体运动学。,2,、刚体的动能：,(3)转轴的位置,()刚体的形状,4,、,对转轴的力矩：,力,F,对,O,点的力矩 在,z,轴上的,投影,M,Z,为力 对转轴,z,的力矩。,3、J 的决定因素：(1)刚体的质量小 结1、刚体运动,四、刚体的定轴转动定律,在定轴转动的刚体的,P,点任取一质元。,此质元所受的外力为,，,内力为 ，,均在转动平面内。,质量为,m,i,，,由牛顿第二定律得,:,建立自然坐标系，得到切向和法向分量方程：,法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。,四、刚体的定轴转动定律在定轴转动的刚体的P点任取一质元。此,由于各质元的,角加速度,均相同，则,刚体的定轴转动定律,刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力,对该轴力矩,的代数和。,对切向方程两边同乘以,r,i,，,可得,由于各质元的角加速度均相同，则刚体的定轴转动定律,1,、,转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。,2,、,M,一定：作用不同刚体上，,J,大时，,小时，转速不易,改变，转动惯性大。反之，,J,小，转动惯性小。,转动惯量是物体转动惯性大小的量度。,3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。,应用时应注意以下问题：,力矩和转动惯量必须对,同一转轴,而言。,选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、,角速度的正负。,类比,当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用,隔离法,解题。,对转动物体应用转动定律建立方 程，对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。,1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。2、M,例题,5-7,质量为,m,1,、,半径为,R,的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为,m,2,的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体,m,2,的下落加速度,a,和,滑轮转动的角加速度,。,联合解得：,关联方程,解,对,m,1,分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。,对,m,2,分析受力。取向下为正方向。,由转动定律,由牛顿运动定律,例题5-7 质量为m 1、半径为R 的定滑轮,例题,5-6,一轻绳跨过定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为,m,1,和,m,2,的物体,m,1,m,2,。设滑轮的质量为,m,，半径为,r,忽略摩擦。绳与滑轮之间无相对滑动。求物体的加速度。,解：,由于,m,1,m,2,，则,m,1,向下加速运动，,m,2,向上加速运动，滑轮逆时针转动。,规定物体运动方向为正方向。,对,m,1,、,m,2,分析受力。由牛顿第二定律：,对滑轮分析力矩；由转动定律：,关联方程,联立解得,例题5-6一轻绳跨过定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的,例题,5-8,一刚体由长为,l,，,质量为,m,的均匀细杆和质量为,m,的小球组成,，,且可绕,O,轴在竖直平面内转动，,且,轴处无摩擦。求:1）刚体绕轴,O,的转动惯量。2）若杆自水平静止开始运动杆与竖直方向成,角时,小球的角速度。,m,，,l,解,1）,2）取逆时针转动为正方向，杆与竖直方向成,角时，合外力矩:,例题5-8 一刚体由长为 l，质量为m,分离变量积分得:,小球的法向加速度：,由转动定律:,分离变量积分得:小球的法向加速度：由转动定律:,五、,力矩的功和功率,力矩功的表达式,由功的定义式:,1）,M,恒定时,2,）,内力矩做功为零。,说明,五、力矩的功和功率力矩功的表达式由功的定义式:1）M 恒,如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为,-,合外力矩,各外力矩做功所做的总功为合外力矩对刚体所做的功。,根据功率的定义，力矩的功率可表示为,对比,如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为-合,六、定轴转动刚体的动能定理,定轴转动的动能定理,设定轴转动刚体受到的合外力矩为,M,，根据转动定律,合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,六、定轴转动刚体的动能定理定轴转动的动能定理 设定轴转动刚体,刚体的重力势能等于全部质量集中于质心处的质点的重力势能,。,七、刚体的重力势能,八、刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律,刚体的重力势能,刚体中各质元的重力势能的总和称为定轴转动刚体的重力势能。,若刚体定轴转动中受重力矩,M,重,及其它外力矩,M,外,的作用，则,根据势能定理,刚体的重力势能等于全部质量集中于质心处的质点的,刚体定轴转动功能原理的积分形式,刚体定轴转动功能原理的微分形式,如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零，,如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零，则定轴刚体转动系统的机械能守恒。,刚体定轴转动功能原理的积分形式 刚体定轴转动功能原理的微分形,例题,5-10,已知滑轮的质量为,M,，半径为,R,，物体的质量为,m,，弹簧的劲度系数为,k,，斜面的倾角为,，物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑,x,米时的速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）,解,选取定轴转动的滑轮、弹簧、物体和地球为系统，重力、弹性力均为系统内保守力，而其它外力和非保守内力均不做功，故系统的机械能守恒。,设,m,未释放时为初态，取此时重力势能为零。当,m,下滑,x,后为末态。,初态：,末态：,由机械能守恒定律，角量与线量的关系,联立得,例题5-10已知滑轮的质量为M，半径为R，,5.3,定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律,一、刚体对定