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基础知识,一、函数的值域的定义,在函数,y,f,(,x,)中，与自变量,x,的值对应的,y,值叫做,，函数值的集合叫做函数的,函数值,值域,二、基本初等函数的值域,1,y,kx,b,(,k,0)的值域为,.,2,y,ax,2,bx,c,(,a,0)的值域是,当,a,0时，值域为 ；,当,a,0，且,a,1)的值域是,5,y,log,a,x,(,a,0，且,a,1)的值域是,.,6,y,sin,x,，,y,cos,x,，,y,tan,x,的值域分别为,、,、R.,(0，),R,1,1,1,1,三、确定函数的值域的原则,1当函数,y,f,(,x,)用表格给出时，函数的值域是指,表格,中实数,y,的集合,2当函数,y,f,(,x,)的图象给出时，函数的值域是指,3当函数,y,f,(,x,)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定,4当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定,图象在,y,轴上的投影所覆盖的实数,y,的集合?,四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式常用的方法有：,1直接法从自变量,x,的范围出发，推出,y,f,(,x,)的取值范围，如,y,(,x,3)的值域为,2配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如,F,(,x,),af,2,(,x,),bf,(,x,),c,的函数的值域问题，均可使用配方法，如,y,4,x,2,x,的值域为,2，),(0，),3反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域形如,y,(,a,0)的函数的值域，均可使用反函数法此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解，如：,y,的值域为,(1,1),4判别式法把函数转化成关于,x,的二次方程,F,(,x,，,y,)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域形如,y,(,a,1,，,a,2,不同时为零)的函数的值域常用此法求解如,y,的值域为,2,1,5换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域形如,y,ax,b,(,a,、,b,、,c,、,d,均为常数，且,a,0)的函数常用此法求解，如,y,x,的值域为,1，),6不等式法利用基本不等式：,a,b,2 (,a,、,b,R,)求函数的值域用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，如,y,x,的值域为,(，44，),7单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域形如,y,的函数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为,),8求导法当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，如,y,x,3,x,，,x,0,2的值域为,9数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如,y,的值域为,0，),易错知识,一、值域求解失误,1求,y,sin,2,x,sin,x,1的值域结果为，)对吗？,答案：,，3,2已知函数,f,(,x,)log,2,(,x,2,ax,a,)的值域为R，则实数,a,的取值范围_,答案：,(，40，),二、忽视定义域对值域的制约作用而失误,3已知,f,(,x,)2log,3,x,，其中,x,1,9，当,x,_时，函数,y,f,(,x,),2,f,(,x,2,)有最大值，最大值为_,答案：,x,313,解析：,先求出函数,y,f,(,x,),2,f,(,x,2,)的定义域：,1,x,3.,函数的定义域为1,3，,又,y,f,(,x,),2,f,(,x,2,)(2log,3,x,),2,22log,3,x,(log,3,x,),2,6log,3,x,6(log,3,x,3),2,3.,1,x,3.0log,3,x,1.,则,x,1时有最小值6，当,x,3时有最大值13.,三、区分求函数值域的方法,4求函数,y,x,与,y,x,的值域，虽然形式上接近但采用方法却不同，前者采用的方法为_，值域为_；后者采用的方法为_，值域为_,答案：,换元法(，三角换元法1，,解析：,y,x,，令 ,t,，,x,1,t,2,y,t,2,t,1，,t,0，),y,(，,y,x,，令,x,sin,，,，,y,sin,cos,sin(,)，,y,1，,回归教材,1(教材,P,101,6题改编)函数,y,(,x,R)的值域是(),A(0,1B(0,1),C0,1)D0,1),解析：,1,x,2,1,(0,1,答案：,A,2函数,y,x,2,x,1(,x,0)的最小值为(),A.B2C1D3,解析：,y,(,x,1),2,，,x,0,y,1，故选C.,答案：,C,3值域是(0，)的函数是(),A,y,x,2,x,1 B,y,(),1,x,C,y,3 1 D,y,|log,2,x,2,|,解析：,A中,y,，)，C中,y,1，D中,y,0，故应选B.,答案：,B,5(2008重庆)函数,f,(,x,)的最大值为(),A.B.C.D1,解析：,将解析式整理，得,y,，利用均值不等式求得,f,(,x,)的最大值为 .,答案：,B,4(教材,P,102,13题改编)函数,y,的值域为(),A(0,1 B0,1),C(0,1)D0,1,答案：,B,【例1】,求下列函数的值域,(1),y,4 ；,(2),y,2,x,；,(3),y,x,.,解析,(1)(配方法)：由32,x,x,2,0，得1,x,3.,y,4 ，,当,x,1时，,y,min,422.,当,x,1或3时，,y,max,4.,函数值域为2,4,(2)(换元法)：令,t,(,t,0)，则,x,y,t,2,t,1(,t,),2,，,当,t,即,x,时，,y,max,，无最小值,函数值域为(，,3)(三角换元法)函数的定义域是,x,|1,x,1,设,x,sin,t,，,t,，则,y,x,化为,y,sin,t,cos,t,，,y,t,t,，,1,sin(,t,),，,y,1.,原来的函数的值域是 ，1,总结评述,对于形如,y,ax,2,bx,c,(,a,0)或求二次复合函数的值域可用配方法,对于形如,y,ax,b,的函数令,t,，,x,且,t,0，使之变形为二次函数，再利用配方，对于含 的结构的函数，可利用三角代换，令,x,a,cos,，,0，,，或令,x,a,sin,，,，,对形如,y,等一些结构简单的函数，可通过直接法,求下列函数的值域：,(1),y,(),|,x,|,；,(2),y,sin,2,x,4cos,x,1；,(3),y,2,x,5 .,解析：,(1)|,x,|0,0(),|,x,|,1，,值域为(0,1,(2),y,sin,2,x,4cos,x,1cos,2,x,4cos,x,2,(cos,x,2),2,6由1,cos,x,1.,3,cos,x,2,1,1,(cos,x,2),2,9,3,(cos,x,2),2,6,5,3,y,5，,值域为3,5,【例2】,求下列函数的值域：,(1),y,；(2),y,.,解析,(1)解法一：(反函数法)由,y,解出,x,，得,x,，2,y,10，函数的值域为,y,|,y,，且,y,R,.,解法二：(分离常数法),y,，,y,，故函数的值域为,y,|,y,且,y,R,(2)(判别式法)：由,y,得,yx,2,3,x,4,y,0，当,y,0时，,x,0，当,y,0时，由0得,y,，函数定义域为,R,，,函数,y,的值域为 .,总结评述,反函数的定义域即为原函数的值域，形如,y,(,a,0)的函数值域可用反函数法，也可用配凑法,把函数转化成关于,x,的二次方程,F,(,x,，,y,)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法形如,y,(,a,1,，,a,2,不同时为0)的函数的值域常用此法此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式,0解得，但要注意判别式中二次项系数为零和不为零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去公因式回到方法去解决,求下列函数的值域,解析：,(1)解法1：(化为真分式)：,解法2：(利用反函数法)：,由,y,得2,x,0，所以,y,(1,1),(2)由,y,变形得(,y,1),x,2,(,y,1),x,y,30,当,y,1时，此方程无解；,当,y,1时，,x,R,(,y,1),2,4(,y,1)(,y,3),0,解得1,y,，又,y,1，1,y,.,故函数的值域为,y,|1,y,.,【例3】,(2007重庆模拟)已知：,f,(,x,)3,x,x,2,|,x,|(,x,R.,(1)求,f,(,x,)的最大值；,(2)是否存在实数,a,，,b,使,f,(,x,)在区间,a,，,b,上的取值范围为 ,解析,(1),f,(,x,)3,x,x,2,|,x,|,当,x,0时，,f,(,x,)33,x,2,3(1,x,)(1,x,)，所以当,x,(0,1)，,f,(,x,)0，所以,x,(0,1)时,f,(,x,)递增当,x,(1，)，,f,(,x,)0，所以,x,(1，)时,f,(,x,)递减,当,x,0，所以,x,(，0)时,f,(,x,)递增,因为函数,f,(,x,)在,x,0处连续，所以,x,(，1)时,f,(,x,)递增，,x,(1，)时,f,(,x,)递减,所以,f,(,x,),max,f,(1)2.,(2)由,ab,0.,0,a,b,时，由(1)可知：,x,(0，)时，,f,(,x,),max,f,(1)2，所以 2,a,1，,即1,a,b,，由(1)可知：,x,a,，,b,时,f,(,x,)递减，,所以 即,a,，,b,是方程,f,(,x,)的两根,3,x,x,3,x,4,3,x,2,20,x,1,1；,x,2,，所以,a,1，,b,.,a,b,0时，由(1)可知：,x,(，0)时,f,(,x,)递增，,所以,相减得3,a,2,ab,b,2,；相加得3,a,2,ab,b,2,，所以,ab,0，无解,综合,，存在,a,1，,b,使,f,(,x,)在区间,a,，,b,上的取值范围为 ,总结评述,本题考查了导数及其运用，以及函数值域的讨论,如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器当这个正六棱柱容器的底面边长为_时，其容积最大,解析：,本小题主要考查正六棱柱的概念与性质，以及函数的相关知识，考查考生运用导数知识解决实际问题的能力,设被切去的全等四边形的一边为,x,，如图所示，则正六棱柱的底面边长为12,x,，高为,x,，,所以正六棱柱的体积,V,6 (12,x,),2,x,(0,x,0，,V,是增函数；,当,x,(，)时，,V,0，,V,是减函数,当,x,时，,V,有最大值，此时正六棱柱的底面边长为 .,答案：,1求值域无程序化方法，应在熟练掌握几种基本方法的基础上，对具体的题目作具体的分析，选择最优的方法解决,2,求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用,3,遇到含有字母系数或参数区间的一类求值域问题时，应对字母进行合理的分类讨论,请同学们认真完成课后强化作业,
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