抽象函数的奇偶性,单调性问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,抽象函数的单调性及相关问题,例,1,已知,y=f(x),是定义为,R,单调增函数,.y=g(x),是定义为,R,单调减函数,.,求证,y=fg(x),在其定域义上的减函数,证明：设，,x,1,x,2,R,且,x,1,g(x,2,),，同理：,y=f(x),是上的增函数,即,g(x,1,)g(x,2,),fg(x,1,)fg(x,2,),故函数,y=fg(x),是减函数,同理可得复合函数的同增异减法则,，单调性相同原函数是增函数,，单调性相异原函数是减函数,例,2,已知,y=f(x),是定义在,R,上的不恒为零的函数，且对任意的,a,、,bR,都满足：,f(ab,)=,af(b)+bf(a,),求,f(0),及,f(1),的,值,判断,f(x,),的奇偶性，并证明你的结论,抽象函数：无函数具体表达形式，仅知道一些函,数性质去解决相关的问题,(4),若,f(x).f(2x)1,求,x,的取值范围,;,例,3,：定义,在实数集合上的函数,y=f(x),f(0)0,，,当,x0,时,.,f(x)1,对,任意实数,a,b,有,f(a+b)=f(a)f(b),(1),求证,:,f,（,0,）,=1,(2),求证,:,定义在实数集合上的函数,y=f(x),恒有,f(x)0,(3),求证,:,函数,y=,f(x,),是,R,上的增函数。,解,:(1),令,a=b=0,f(0)=f,2,(0),f(0),0,f(0)=1,(2)x,R,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1,f(x),0,(4),f(x),f(2x)=f(x+2x)f(0),3x,0,解,:(3),设任意实数,x,1,x,2,且,x,1,0,有已知,f(x,2,-x,1,)1,f(x,2,)=f(x,2,-x,1,)+x,1,=f(x,2,-x,1,)f(x,1,),f(x)0,有,f(x,1,)0,(4),若,f(x,),f(2x)1,求,x,的取值范围,;,例,3.,定义,在实数集合上的函数,y=f(x),f(0)0,，,当,x0,时,.f(x)1,对任意实数,a,b,有,f(a+b)=f(a)f(b),(3),求证,:,是,R,上的增函数。,f(x,2,)f(x,1,),所以函数是上的增函数,00,时,f(x,)0,且,f(x-y,)=,f(x)-f(y,),求证,:y=,f(x,),是增函数,练习,1:,已知,y=,f(x,),当,x0,时,f(x,)1,且,.,f(x+y,)=f(x)+f(y)-1,求证,y=,f(x,),是,R,上的增函数。,练习,2,:,已知,y=f(x),定义域是,R,+,且,y=f(x),是增,函数,f(xy)=f(x)+f(y),(1),求证,:f(,)=f(x)-f(y);,(2),当,f(3)=1,时,f(a)f(a-1)+2.,求,a,取值范围,;,证明,（）,（）由已知得,练习,3,：,已知函数,f(x,),当,x,yR,时，恒有,f(x+y,)=,f(x)+f(y,),(1),求证,:,f(x,),是奇函数,（,2,）,如果,xR,+,时，,f(x,),0,，并且,f(1)=-0.5,求,f(x,),在区间,-2,，,6,上的,最值,练习,4,：,是定义在,R,上的函数，对任意的,，满足,，又对任意的,，有,（,）求证：对任意,x,，都有,；,（,）证明：,（,）求,的,值,；,练习,5,：,设函数,y=,f(x,),的定义域为，当,x0,时,f(x,)1;,对任意的,x,yR,有,f(x+y,)=,f(x)f(y,),成,立，解不等式,证明：,f(0)=0,x+y=0,f(x)+f(-x)=0,-1x,1,x,2,1,x,1,-x,2,0(x,2,-1)(x,1,+1)0,x,1,x,2,-1x,1,-x,2,f(x,2,),练习,6,：,定义在,(-1,1)上的函数f(x),满足,对任意x,(-1,0),都有f(x)0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调减函数,