高等工程数学2线性变换

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,“,钱学森创新拓展班”,概率论与数理统计,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,“,钱学森创新拓展班”,概率论与数理统计,第一章 线性空间和线性变换,1,线性空间,2,线性变换及其矩阵表示,3,内积空间,线性变换,定义,2,线性变换及其矩阵表示,设,V,1,，,V,2,为线性空间，若,V,1,V,2,的映射,T,满足：对任意的 ，有,则称,T,为,V,1,V,2,的,线性变换,.,例子,例,1,2,线性变换及其矩阵表示,在线性空间,P,n,(,t,),中定义变换,则,T,是,P,n,(t),的线性变换,.,？,P,n-,1,(t),给定 ，则有,由矩阵的运算法则可知,A,是 的线性变换,.,例,2,线性变换的性质,2,线性变换及其矩阵表示,也线性相关,.,若 线性相关，则,问,是否也线性无关？,若 线性无关，问,线性变换的矩阵表示,2,线性变换及其矩阵表示,设,是,V,n,的一个基,是,V,m,的一个基,T,是,V,n,V,m,的线性变换,称,A,为,T,在基偶,下的,矩阵,.,T,=,T,1,T,2,T,n,A,像的坐标,2,线性变换及其矩阵表示,例,3,设 的线性变换,T,定义为：,试求,T,在基,下的矩阵,.,注：若,T,是,V,到自身的变换，则基偶可取为,此时称,T,在基偶下的矩阵为,T,在基下的矩阵,.,2,线性变换及其矩阵表示,设,是,V,n,的一个基,是,V,m,的一个基,对,V,n,V,m,的任一线性变换,T,，存在矩阵,A,，使得,T,=,A,对任意的,V,n,，设,在基,V,n,下的坐标为,x,，则有,T,=,T,(,x,),=,(,T,),x,=,Ax,即像,T,在基,V,m,下的坐标为,Ax.,可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研究,.,零空间与值空间,2,线性变换及其矩阵表示,则有,null,T,dim,(,T,)=dim,(,A,)=n rank,A,rank,T,dim,(,T,)=dim,(,A,)=rank,A,称,null,T,为,T,的,零度,，,rank,A,为,T,的,秩,，且有,类似地定义,(,T,)=,V,n,|,T,=,O,(,T,)=,V,m,|,=,T,，,V,n,称,(,T,),为,T,的,零空间,(,核,),称,(,T,),为,T,的,值空间,(,值域,),2,线性变换及其矩阵表示,变换在不同基偶下矩阵之间的关系,设,是,V,n,的两个基，,是,V,m,的两个基,.,在基偶,下有,T,=,A,问,矩阵,A,与,B,有什么关系？,在基偶,下有,T,=,B,2,线性变换及其矩阵表示,变换在不同基偶下矩阵之间的关系,设,是,V,n,的两个基，,是,V,m,的两个基,.,在基偶,下有,T,=,A,在基偶,下有,T,=,B,设基变换渡矩阵分别为,P,，,Q,，即,线性变换在不同基偶下的矩阵是相互,等价,的,.,=,P,，,=,Q,2,线性变换及其矩阵表示,变换在不同基偶下矩阵之间的关系,设,T,是,V,n,到自身的线性变换，,是,V,n,的两个基,.,在基,下有,T,=,A,问,矩阵,A,与,B,有什么关系？,在基偶,下有,T,=,B,2,线性变换及其矩阵表示,变换在不同基偶下矩阵之间的关系,设,T,是,V,n,到自身的线性变换，,是,V,n,的两个基,.,在基,下有,T,=,A,在基偶,下有,T,=,B,设基变换渡矩阵,P,，即,=,P,线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是,相似,的,2,线性变换及其矩阵表示,即 与 等价,V,n,V,m,线性变换,T,即 与 相似,V,n,到自身线性变换,T,从现在开始主要研究 的线性变换。,2,线性变换及其矩阵表示,线性变换矩阵表示的化简,设,T,是,V,n,到自身的线性变换,.,则,T,在基,=,P,下的矩阵为,问题,怎样,求基,，使得,T,在,下的矩阵有较简单的形式？,分析,：,任取,V,的一个基,，且,T,=,A,.,若将方阵,A,相似化简为,B,，即,考虑两种简单形式的矩阵：分块对角阵,对角矩阵,？,2,线性变换及其矩阵表示,不变子空间,定义,设,T,是,V,n,上的线性变换，,W,是,V,n,的子空间，若对任意的,W,有,T,W,，则称,W,是,T,的,不变子空间,.,记,T,的核与值域分别为,则,(,T,),，,(,T,),均是,T,的不变子空间,.,例,4,(,T,)=,V,n,|,T,=,O,(,T,)=,V,m,|,=,T,，,V,n,2,线性变换及其矩阵表示,设,W,=span,1,，,2,，,，,r,，,则有,例,5,W,是,T,的不变子空间,T,i,W,(,i,=1,2,r,),均是,T,的不变子空间,.(,其中,A,i,是,i,阶方阵,),设,=,是,V,n,的基，则,T,在,下的矩阵是分块对角阵,的充要条件是,定理,2,线性变换及其矩阵表示,推论,设,=,是,V,n,的基，则,T,在,下的矩阵是对角阵,的充要条件是存在数 使得,2,线性变换及其矩阵表示,若存在基,=,，使得线性变换,T,在,下的矩阵,A,是对角阵,则称,T,可对角化,.,定义,对角化,2,线性变换及其矩阵表示,定义,设,T,是,V,n,上的线性变换，若存在数 及,使得,则称 是,T,的,特征值,，,是相应的,特征向量,.,定理,设,T,是,V,n,上的线性变换，则,T,可对角化,A,有,n,个线性无关的特征向量,特征值与特征向量,2,线性变换及其矩阵表示,问,怎样求,T,的特征值与特征向量？,是,T,的特征值 是,A,的特征值,=,x,是,T,的特征向量,x,是,A,的特征向量,问,是否与基,的选取有关？,2,线性变换及其矩阵表示,例,6,设,，则,试求线性变换,T,的不变子空间；,及,T,在基,下的矩阵,A,.,=,是,V,4,的基，定义变换,T,：,2,线性变换及其矩阵表示,例,7,试证,T,可对角化；,求一个基使得,T,在该基下矩阵为对角阵,.,上的线性变换,T,定义为,