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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,分类数学实验之,方程求近似实根问题,.,考虑方程,f,(,x,)=0 ,求根分为两步：,（）先确定某个根的近似值；,（）再将初始近似值加工成满足精度要求的结果。,.两分法迭代（理论基础：零点定理）,设,f,(,x,),C,a,b,，,f,(,a,),f,(,b,)0。区间(,a,b,)就是方程,根的存在区间，再用下面的方法改善根的精度。,方程求根数值算法的基本思想,取,a,b,的中点,x,0,=(,a,+,b,)/2，若,f,(,x,0,)=0，则,x,0,即是根；,否则，,f,(,a,),f,(,x,0,)0，令,a,1,=,a,，,b,1,=,x,0,(取,a,b,的左半部)；,f,(,x,0,),f,(,b,)0，令,a,1,=,x,0,，,b,1,=,b,(取,a,b,的右半部)。,.,a,b,f(a)f(a+b)/2),f(b),f(x),x,y,.,将上述做法重复,n,次，得到,n,个小区间，且,b,n,-,a,n,=(,b,-,a,)/2,n,，,a,b,经过一次这样对原区间a,b的处理，得到了一个新,的有根区间,a,1,b,1,，且,b,1,-,a,1,=(,b,-,a,)/2,，,a,b,a,1,b,1,。,.两分法迭代,当,n,足够大时即可达到满意的精度。,a,1,b,1,a,n,b,n,。,.,例1 求方程,x,3,+1.1,x,2,+0.9,x,1.4=0,的一个实根。使误差不超过10,-3,.两分法迭代,解,：（）,首先观测图形，作f(x)的图像:,ezplot(x3+1.1*x2+0.9*x-1.4),x=-1:0.01:1;,y=x.3+1.1.*x.2+0.9.*x-1.4;%函数表达式,figure;,plot(x,y,LineWidth,2)%画出图形,hold on;,y1=zeros(size(x);%y10,plot(x,y1,r,LineWidth,4);,.,bisect.m,关于此程序的解释见“方程求根的代码解释”一文,（）按两分法的思想，进行迭代求根。,为了使得程序具有通用性，将方程的表达式写成,一个函数：,function y=myequation(x);,y=x.3+1.1.*x.2+0.9.*x-1.4;,这样修改y的表达式，即可求出其他方程的实根。,（3）运行二分法的程序：,.,两分法迭代的加速：,a,b,f(a)f(a+b)/2),f(b),f(x),x,y,c,以f(a),f(b)的连线在x轴的交点作为新的出,发点。但此方法不一定能真正加速。,原理请详见教材p191。,程序：fastbisect.m,.,.不动点迭代,称满足方程 f(x)=x的点x为函数f的,不动点,.,求函数f的不动点。可以从一个初始点x,0,出发，以格式,x,n+1,=f(x,n,),进行迭代；,x,1,=,f,(,x,0,)，,x,2,=,f,(,x,1,)，,x,k,+1,=,f,(,x,k,)，,得到,x,0,x,1,x,2,x,n,.,如果该数列是收敛的，则,.,将方程,f,(,x,)=0 ,化为等价方程,x,=,(,x,)（2）,取某个定数,x,0,，做数列,x,n,，其中，,x,1,=,(,x,0,)，,x,2,=,(,x,1,)，,x,k,+1,=,(,x,k,)，（3）,设,(,x,)连续，且,a,就是方程,f,(,x,)=0的根。,a,就是函数,的一个不动点，即,a,=,(,a,),等价于,f,(,a,)=0,.,y=f,(,x,),x0,f(x,0,),x,1,=f(x,0,),f(x,1,),x,2,=f(x,1,),y=x,x,收敛的迭代：,.,发散的迭代：,x,0,.,.不动点迭代,例2 求方程,在,x,=3,附近的近似实根。,解：可将方程写成下三种形式：,x,=14,x,2,function f=iterfun(x),%f=14-x.2;,%f=14./(x+1);,f=x-(x.2+x-14)./(2*x+1);,(1)将三种迭代形式写成函数存起来：,(2)演示程序,使用的程序：,iter.m,.,.不动点迭代,收敛性蛛网图,一般地，若函数,(,x,),在含不动点的某邻域内一阶导,数连续，且,则存在一个邻域：,|-,x,|，对任何的,x,0,，,其迭代序列必收敛。,高级例子iterexample2.m请同学们自己消化,.,3.牛顿迭代法,记,a,b,为方程,f,(,x,)=0的根的存在区间，,f,(,a,)与,f,(,b,)异号，且对于每个,x,a,b,，,f,(,x,)0,f,(,x,)保持符号不变。,取,x,0,a,b,，对,f,(,x,)用微分中值定理，近似地，有,f,(,x,),p,(,x,)=,f,(,x,0)+,f,(,x,0)(,x,-,x,0),令,p,(,x,)=0，得到,f,(,x,)=0的近似根,记为,x,1,=,为改善根的精确程度，反复实施这一过程，得到牛顿迭代公式:,.,x,k,+1,就是从线性方程,f,(,x,k,)+,f,(,x,k,)(,x,x,k,)=0 (1),中解得的根,x,.,以点(,x,k,f,(,x,k,)为切点，曲线,y,=,f,(,x,)的切线,y,=,f,(,x,k,)+,f,(,x,k,)(,x,x,k,),(2),方程（2）与 y=0相联立，得到与x轴的交点，该交点,即,x,k,+1,.,x*,x,0,x,0,f(x,0,),x,1,x,1,f(x,1,),x,2,.,例3 求方程,在,x,0,=2,附近的近似实根。,准确到小数点后4位数字,解：,迭代公式为：,计算步骤如下：,（1）选x0=2,按照迭代公式计算x1；,（2）若|x1-x0|0.00001,x0=x1;,fun,dfun=fun0(x0);,x1=x0-fun/dfun;,i=i+1;,end,disp(the solution is x1=),x1,disp(the iter time is),i,newtuniter.m,.,
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