二阶线性偏微分方程及其分类

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第三章二阶线性偏微分方程的化简及其分类,祁影霞作,二阶线性偏微分方程的一般形式：,其中,是自变量,的函数，如果,f,=0,，则方程是线,性齐次方程，否则方程是非线性,齐次方程。,3.1,两个自变量方程的化简,一般形式：,其中,只是,x,，,y,的函数。以下讨论时,是实数。作变量代换如下：,（,3-1,）,假定,则在上式代换下方程（,3-1,）变为,（,3-2,）,其中系数：,（,3-3,）,从（,3-3,）中可以看出，如果取一阶偏微分方程,（,3-4,）,的一个特解作为,，则,从而,A,11,=0,。如果取（,3-4,）的另外一个特解作为,则,A,22,=0,，这样方程（,3-2,）就可以简化。,一阶偏微分方程（,3-4,）的求解可以转化为常微分,方程的求解，将（,3-4,）改写成：,如果将,看作定义隐函数,的方程，则,从而有：,（,3-5,）,常微分方程（,3-5,）叫做二阶线性偏微分方程的,特,征方程,。特征方程的一般积分,和,叫做,特征线,。,（,3-5,）的,解,为：,（,3-6,）,若,，二阶线性偏微分方程为双曲型方程,若,，二阶线性偏微分方程为抛物型方程,若,，二阶线性偏微分方程为椭圆型方程,1,：双曲型,当,时，（,3-6,）式给出一族实的特征,曲线,取,则,，这时方程变为,若再作,则上述方程变为：,（,3-7,）,2,：抛物型,当,，这时（,3-6,）式只有一个解,它只能给出一个实的特征线，,。取与,函数无关的,作为另一个新的变量,则有,（,3-8,）,3,：椭圆型,当,时，（,3-6,）式各给出一族复特征线,，,在该变换下：,且方程化为：,令,则有：,（,3-9,）,5-1,二阶线性偏微分方程的分类,由前面的讨论可知，方程,(3.1),通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。,若方程,(3.1),的主部系数 在区域,中某一点,(,x,0,，,y,0,),满足,则称方程在点,(,x,0,，,y,0,),是,双曲型,的；在邻域；在,中,则称方程在点,(,x,0,，,y,0,),是,椭圆型,的。,则称方程在点,(,x,0,，,y,0,),是,抛物型,的,;,相应地，,(3.7),、,(3.8),和,(3.9),这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型,(,二阶线性,),偏微分方程的,标准形式,。,3.2,方程的分类,标准形式,例,1,：判断下面偏微分方程的类型并化简,解：,故,故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程,或,故有,或,取新变量,则,，,代入原方程得：,即：,例题,2,：把方程,分类并化为标准形式,5-1,二阶线性偏微分方程的分类,解：该方程的,故该方程是抛物型的。,特征方程：,从而得到方程的一族特征线为：,作自变量代换,(,由于,和,必须函数无关,所以,宜取最简单的函数形式,即,=,x,或,=,y,),于是，原方程化简后的标准形式为：,特征的解：,例题,3,：判断下面偏微分方程的类型并化简,解：,特征方程,特征方程的解：,特征线：,令：,双曲型方程,例,4,：判定下列二阶方程的类型,（,1,）,（,2,）,（,3,）,