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,4.3.2,对数的运算,4.3.2对数的运算,必备知识,自主学习,必备知识自主学习,1.,对数的运算性质,(1),性质：,如果,a0,，且,a1,，,M0,，,N0,，那么,积的对数：,log,a,(MN)=_,；,商的对数：,log,a,=_,；,幂的对数：,log,a,M,n,=_.,导思,1.,对数运算有哪些运算性质？,2.,怎样用,lg 2,，,lg 3,计算,log,2,3,？,log,a,M+log,a,N,log,a,M-log,a,N,nlog,a,M,1.对数的运算性质导思1.对数运算有哪些运算性质？logaM,(2),本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算,.,(3),应用：广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题,.,(2)本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同,【,思考,】,你能用文字语言叙述对数的运算性质吗？,提示：,积的对数等于积的各个因式的对数的和；,商的对数等于分子的对数减去分母的对数；,幂的对数等于幂指数乘以底数的对数,.,【思考】,2.,换底公式,(1),公式：,log,a,b=_(a0,，且,a1,；,b0,；,c0,，且,c1).,(2),本质：将对数的底数换成任意大于零，且不等于,1,的实数,.,(3),应用：将底数换成,10,或,e,，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算,.,2.换底公式,【,思考,】,(1),对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？,(2),你能用换底公式证明结论,log,N,M,吗？,提示：,(1)log,a,b=,，,log,a,b=.,(2)log,N,M.,【思考】,【,基础小测,】,1.,辨析记忆,(,对的打“”，错的打“,”),(1)lg(xy)=lg xlg y.(,),(2)log,3,.(,),(3)=log,2,16.(,),提示：,(1).lg(xy)=lg x+lg y.,(2).log,3,=log,3,27-log,3,9.,(3).,逆用换底公式可得,.,【基础小测】,2.,若,lg a-2lg 2=1,，则,a=(,),A.4B.10C.20D.40,【,解析,】,选,D.lg a-2lg 2=lg a-lg 4=lg =1,，,所以,=10,，所以,a=40.,2.若lg a-2lg 2=1，则a=(),3.(,教材二次开发：复习巩固改编,),若,ln x=2ln a-ln b,，则,x=_.,【,解析,】,因为,ln x=2ln a-ln b=ln a,2,，所以,x=a,2,.,答案：,a,2,3.(教材二次开发：复习巩固改编),关键能力,合作学习,类型一对数运算性质的应用,(,数学运算,),【,题组训练,】,1.(2020,温州高一检测,)lg =(,),A.-4B.4C.10D.-10,2.,若,a=log,m,x,，,b=log,m,y,，,c=log,m,z,，则用,a,，,b,，,c,表示,log,m,=_.,3.lg,2,2+lg 2lg 5+lg 5=_.,关键能力合作学习类型一对数运算性质的应用(数学运算),【,解析,】,1.,选,A.lg =lg 10,-4,=-4.,2.,原式,=log,m,(xy,2,)=log,m,x+log,m,y,2,+log,m,=log,m,x+2log,m,y-log,m,z=a+2b-c.,答案：,a+2b-c,3.lg,2,2+lg 2,lg 5+lg 5=lg 2,(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1.,答案：,1,【解析】1.选A.lg =lg 10-4=-4.,【,解题策略,】,利用对数运算性质化简求值,(1)“,收”：将同底的两个对数的和,(,差,),合并为积,(,商,),的对数，即公式逆用；,(2)“,拆”：将积,(,商,),的对数拆成同底的两个对数的和,(,差,),，即公式的正用；,(3)“,凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用,lg 2+lg 5=1,，进行计算或化简,.,【解题策略】,【,补偿训练,】,若,lg x-lg y=a,，则,=(,),A.3aB.a,3,C.D.,【,解析,】,选,A.lg x-lg y=lg =a,，,=3a.,【补偿训练】若lg x-lg y=a，则,类型二对数换底公式的应用,(,数学运算,),【,典例,】,1.(2020,淮安高一检测,),设,a=lg 2,，,b=lg 3,，则,log,2,6=(,),A.ab,2,B.a,2,bC.D.,2.,设,log,3,4log,4,8log,8,m=log,4,16,，则,m,的值是,(,),A.B.9C.18D.27,类型二对数换底公式的应用(数学运算),3.(2020,泸州高一检测,),实数,a,，,b,满足,2,a,=5,b,=10,，则下列关系正确的是,(,),【,思路导引,】,1.,利用换底公式将,log,2,6,换成常用对数后用,a,，,b,表示；,2.,换成常用对数约分求,m,值；,3.,利用指对互化表示出,a,，,b,后验证等式是否成立,.,3.(2020泸州高一检测)实数a，b满足2a=5b=10,【,解析,】,1.,选,C.,因为,a=lg 2,，,b=lg 3,，,所以,log,2,6=,2.,选,B.,因为,log,3,4,log,4,8,log,8,m,所以,lg m=,lg 3=lg 3,2,，解得,m=9.,【解析】1.选C.因为a=lg 2，b=lg 3，,3.,选,B.,因为,2,a,=5,b,=10,，,所以,a=log,2,10,，,b=log,5,10,，,所以,=lg 2,，,=lg 5,，,所以,=lg 2+lg 5=lg(25)=1.,3.选B.因为2a=5b=10，,【,解题策略,】,利用换底公式进行化简和求值,(1),一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值；,(2),如果出现多个指数式相等的式子，则先化为对数式，再利用对数的运算性,质化简求值；,(3),注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式,=log,b,a.,【解题策略】,【,跟踪训练,】,1.,设,lg 2=a,，,lg 3=b,，则,log,12,5=(,),【,解析,】,选,A.,因为,lg 2=a,，,lg 3=b,，,则,log,12,5=,【跟踪训练】【解析】选A.因为lg 2=a，lg 3=b，,2.,若实数,a,，,b,，,c,满足,2,a,=1 009,b,=2 018,c,=2 020,，则下列式子正确的是,(,),【,解析,】,选,B.,由已知，得,2,a,=1 009,b,=2 018,c,=2 020,，,得,a=log,2,2 020,，,b=log,1 009,2 020,，,c=log,2 018,2 020,，,所以,=log,2 020,2,，,=log,2 020,1 009,，,=log,2 020,2 018,，而,21 009=2 018,，,所以,2.若实数a，b，c满足2a=1 009b=2 018c=2,【,补偿训练,】,已知,2,x,=5,y,=t,，,=2,，则,t=(,),【,解析,】,选,C.,因为,2,x,=5,y,=t0,，,t1,，,所以,代入,=2,，所以,=2,，,所以,ln 10=ln t,2,，所以,t,2,=10,，则,t=.,【补偿训练】已知2x=5y=t，=2，则t=(,类型三实际问题中的对数运算,(,数学运算,),【,典例,】,(2020,海淀高一检测,)2018,年,9,月,24,日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英,国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动,.,在,1859,年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为,论小于某值的素数个,数,的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想,.,在此之前，著名数学家欧拉,也曾研究过这个问题，并得到小于数字,x,的素数个数大约可以表示为,(x),的,结论,.,若根据欧拉得出的结论，估计,1 000,以内的素数的个数为,(,),(,素数即质数，,lg e0.434 29,，计算结果取整数,),A.768B.144C.767D.145,类型三实际问题中的对数运算(数学运算),【,思路导引,】,根据素数计算公式，利用换底公式计算,.,【,解析,】,选,D.,由题意可知：,(1 000),=lg e 0.434 29145.,所以根据欧拉得出的结论，估计,1 000,以内的素数的个数为,145.,【思路导引】根据素数计算公式，利用换底公式计算.,【,解题策略,】,关于对数运算在实际问题中的应用,(1),在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算,.,(2),在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算,.,【解题策略】,【,跟踪训练,】,根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限,M,约为,10,10,，,目前人类可预测的地面危机总数,N,约为,3,6,2,30,.,则下列各数中与 最接近的是,(,),(,参考数据：,lg 20.30,，,lg 30.48),【跟踪训练】,【,解析,】,选,B.,汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限,M,约为,10,10,，,目前人类可预测的地面危机总数,N,约为,3,6,2,30,.,所以 ，两边取常用对数，,可得,lg =lg 10,10,-lg 3,6,-lg 2,30,10-60.48-300.30=-1.88.,所以,=10,-1.88,.,【解析】选B.汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约,课堂检测,素养达标,1.2log,5,10+log,5,0.25=(,),A.0B.1C.2D.4,【,解析,】,选,C.,原式,=log,5,10,2,+log,5,0.25=log,5,(1000.25)=log,5,25=2.,课堂检测素养达标1.2log510+log50.25=(,2.,已知正实数,a,，,b,，,c,满足,log,2,a=log,3,b=log,6,c,，则,(,),A.a=bcB.b,2,=acC.c=abD.c,2,=ab,【,解析,】,选,C.,设,log,2,a=log,3,b=log,6,c=k,，,则,a=2,k,，,b=3,k,，,c=6,k,，所以,c=ab.,2.已知正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6,【,误区警示,】,本题容易忽视设出,log,2,a=log,3,b=log,6,c=k,，导致无法表示出,a,，,b,，,c.,3.(,教材二次开发：综合运用改编,),已知,xlog,3,2=1,，则,2,x,+2,-x,的值是,(,),A.1B.3C.D.,【,解析,】,选,D.,因为,xlog,3,2=1,，,所以,x=log,2,3,，,所以,2,x,+2,-x,=,【误区警示】本题容易忽视设出log2a=log3b=log6,4.log,2,3log,3,5log,5,16=_.,【,解析,】,原式,=,答案：,4,4.log23log35log516=_.,5.=_.,【,解析,】,答案：,1,5.=_.,对数的运算,核心知识,方法总结,易错提醒,核心素养,注意对数的运算性质的形式,转化思想：对数的运算性质可以把乘，除，乘方运算转化为加，减，乘运算,数学运算：通过对数的运算性质及换底公式的运用，培养数学运算的核心素养,运算性质,实际应用,换底公式,对数的运算核心知识方法总结易错提醒核心素养注意对数的运算,
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