中值定理与导数的应用课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,泰勒公式,主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式.,第三节 泰勒公式,在利用微分作近似计算时,(,当,时),泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表示出来.,1,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.,2,问题的提出,将求得的系数,a,0,a,1,a,2,a,n,代入(1)式,有,(2),来近似表达,f,(,x,),要求,P,n,(,x,)与,f,(,x,)之差是比(,x,-,x,0,),n,高阶的无穷小,并给出误差|,f,(,x,)-,P,n,(,x,)|的具体表达式.,设函数,f,(,x,)在含有,x,0,的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找出一个关于(,x,-,x,0,)的n次多项式,(1),假设,P,n,(,x,)与,f,(,x,)在点,x,0,的函数值及它的直到n阶导数都相等得,问题的提出将求得的系数 a0,a1,a2,an代入(1),3,中值定理与导数的应用课件,4,证明:,证明:,5,(,),(),6,则由上式得,则由上式得,7,拉格朗日形式的余项,注:,1)在不需要余项的精确表达式时，n 阶泰勒公式也可,写成,(5),拉格朗日形式的余项注:1)在不需要余项的精确表达式时，n,8,麦克劳林(,Maclaurin,)公式,麦克劳林(Maclaurin)公式,9,解,代入公式,得,解代入公式,得,10,由公式可知,估计误差,其误差,由公式可知估计误差其误差,11,常用函数的麦克劳林公式,常用函数的麦克劳林公式,12,解,原式,解原式,13,例3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限,解 由于分式的分母,所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即,返回,例3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限,14,