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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,平面向量的实际背景及基本概念,第二章 平面向量,2.1.1,向量的物理背景与概念,2.1.2,向量的几何表示,问题提出,1.,在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？,2.,现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念,.,向量的物理背景、,概念和几何表示,探究（一）：,向量的物理背景与概念,思考,1,：,在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？,力的大小和力的方向,思考,2,：,物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？,G,F,思考,3,：,在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？,思考,4,：,力既有大小，又有方向，在物理学中称为,矢量，,你还能指出哪些物理量是矢量吗？,思考,5,：,数学中，把既有大小，又有方向的量叫做,向量,，把只有大小，没有方向的量称为,数量,.,那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？,探究（二）：,向量的几何表示,思考,1,：,一条小船从,A,地出发，向西北方向航行,15km,到达,B,地，可以用什么方式表示小船的位移？,B,A,东,北,思考,2,：,对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示,.,数学中有许多量都可以用几何方式表示，你认为如何用几何方式表示向量最合适？,思考,3,：,如图，以,A,为起点、,B,为终点的有向线段记作 ，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？,A,（起点）,B,（终点）,思考,4,：,用有向线段 表示向量，向量的大小和方向是如何反映出来的？,起点、长度、方向,思考,5,：,有向线段 的长度就是指线段,AB,的长度，也称为向量 的长度或模，它表示向量 的大小，记作,|,，两个不同的向量可以比较大小吗？,思考,6,：,如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可以用黑体字母,a,，,b,，,c,，,，或 表示，如图,.,此时向量的模怎样表示？,a,思考,7,：,向量的模可以为,0,吗？可以为,1,吗？可以为负数吗？,思考,8,：,模为,0,的向量叫做,零向量,，记作 ；模为,1,个单位的向量叫做,单位向量,.,怎样理解零向量的方向？怎样理解向,量？,理论迁移,例,1,已知飞机从,A,地按北偏东,30,方向飞行,2000km,到达,B,地，再从,B,地按南偏东,30,方向飞行,2000km,到达,C,地，再从,C,地按西南方向飞行,1000 km,到达,D,地,.,（,1,）画图表示向量 ；,（,2,）求飞机从,A,地到达,D,地的位移所对应的向量的模和方向,.,B,A,东,北,C,D,例,2,如图，四边形,ABCD,为正方形，,BCE,为等腰直角三角形,.,以图中各点为起点和终点，写出与向量 模相等的所有向量,.,A,B,C,D,E,小结作业,1.,向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用,.,2.,由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系,.,3.,零向量是一个特殊向量，其模为,0,，方向是不确定的,.,引入零向量将为以后的研究带来许多方便，但须注意：,.,作业：,P77,练习：,1,，,2,，,3.,P77,习题,2.1A,组：,1,，,2.,2.1,平面向量的实际背景及基本概念,2.1.3,相等向量与共线向量,问题提出,1.,向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？,联系：,向量与数量都是有大小的量；,区别：,向量有方向且不能比较大小，数 量无方向且能比较大小,.,向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示,.,2.,什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？,向量的模：,表示向量的有向线段的长度,.,零向量：,模为,0,的向量,.,单位向量：,模为,1,个单位长度的向量,.,3.,引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系,.,对此，我们将作些研究,.,相等向量与共线向量,探究（一）：,相等向量与相反向量,思考,1,：,向量由其模和方向所确定,.,对于两个向量,a,、,b,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？,模相等，方向相同；,模相等，方向不相同；,模不相等，方向相同；,模不相等，方向不相同；,思考,2,：,两个向量不能比较大小，只有,“,相等,”,与,“,不相等,”,的区别，你认为如何规定两个向量相等？,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,.,向量,a,与,b,相等记作,a,=,b,.,思考,3,：,用有向线段表示非零向量 和 ，如果 ，那么,A,、,B,、,C,、,D,四点的位置关系有哪几种可能情形？,A,B,C,D,A,B,C,D,思考,4,：,对于非零向量 和 ，如果 ，通过平移使起点,A,与,C,重合，那么终点,B,与,D,的位置关系如何？,长度相等且方向相反的向量叫做相反向量,.,思考,5,：,非零向量 与 称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？,D,C,B,A,B,A,思考,6,：,如果非零向量 与 是相反向量，通过平移使起点,A,与,C,重合，那么终点,B,与,D,的位置关系如何？,D,C,B,A,B,A,探究（二）：,平行向量与共线向量,思考,1,：,如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？,思考,2,：,方向相同或相反,的非零向量叫做,平行向量,，向量,a,与,b,平行记作,a,/,b,，那么平行向量所在的直线一定互相平行,吗？,方向相同或相反,思考,3,：,零向量,0,与向量,a,平行吗？,规定：零向量与任一向量平行,.,思考,4,：,将向量平移，不会改变其长度和方向,.,如图，设,a,、,b,、,c,是一组平行向量，任作一条与向量,a,所在直线平行的直线,l,，在,l,上任取一点,O,，分别作,=,a,，,=,b,，,=,c,，那么点,A,、,B,、,C,的位置关系如何？,A,B,C,O,l,a,b,c,思考,5,：,上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做,共线向量,.,如果非零向量 与 是共线向量，那么点,A,、,B,、,C,、,D,是否一定共线？,思考,6,：,若向量,a,与,b,平行（或共线），则向量,a,与,b,相等或相反吗？反之，若向量,a,与,b,相等或相反，则向量,a,与,b,平行（或共线）吗？,思考,7,：,对于向量,a,、,b,、,c,，若,a,/,b,，,b,/,c,，那么,a,/,c,吗？,思考,8,：,对于向量,a,、,b,、,c,，若,a,=,b,，,b,=,c,，那么,a,=,c,吗？,例,1,判断下列命题是否正确：,（,1,）若两个单位向量共线，则这两个向量相等；（）,（,2,）不相等的两个向量一定不共线；（）,（,3,）在四边形,ABCD,中，若向量与共线，则该四边形是梯形；（）,（,4,）对于不同三点,O,、,A,、,B,，向量与一定不共线,.,（）,理论迁移,例,2,如图，设,O,为正六边形,ABCDEF,的中心，分别写出与 、相等的向量,.,A,B,C,D,E,F,O,例,3,如图，在,ABC,中，,D,、,E,、,F,分别是,AB,、,BC,、,CA,边上的点，已知 求证：,.,A,B,C,D,E,F,小结作业,1.,相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念,.,2.,任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关,.,3.,向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线,.,4.,平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性,.,作业：,P77,78,习题,2.1A,组：,3,，,4.,B,组：,1,，,2.,
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