光滑离散函数导数

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、信息,对信息有不同的定义：“消息就是信息”，或“有用消息就是信息”等。华东师大信息科技教材定义为“信息指数据、消息中包含的意义”。本书定义：没有差异就没有世界，,差异就是信息,。,二、信息是有密度的,电子数字计算机中的信息，都以离散脉冲表示。教育教学评价中，也遇到大量离散数据。数据表达了某种实际意义，例如身高、体重、成绩、人数差异，因此是信息。,信息密度定义,定义：设 为信息密度尺度，简称为信息密度，记,映射,测度,则信息密度,二、信息是有密度的,将黑点看成一个个数据,信息密度低,信息密度高,二、信息是有密度的,有离散序列,假设取其中：,n,个数,则信息密度,故当离散序列中的数据全部用上时，信息密度最大。,5,个数,2,个数,连续函数有导数、微分和微分方程。近20年来，离散函数在导数、微分和微分方程建模上的成功突破，大大提高了有用数学模型的精度有的高达99%以上。,三、离散数据的导数,1,连续函数的导数,一元函数y=x(t)的导数一般形式定义为,定义：当函数在一点的左极限等于右极限并等于该点的函数值时，函数在该点连续。,这是函数 的图像，该函数在点p处连续可导。,p,2,光滑离散函数的导数,当k足够大时，k时刻的函数值x(k)小于k时刻以前全部离散函数值之和，即,时，称x(k)为光滑离散函数。,定义：光滑离散函数的导数定义为,3比较光滑离散函数和连续函数的导数,光滑离散函数的导数为,一元函数y=x(t)的导数为,离散函数信息密度,足够大时：,t=1,由光滑离散函数导数的定义知，导数是x(k)和x(k-1)的二元组合，并称之为导数偶对，记为x(k)，x(k-1)。光滑离散函数的导数，是偶对导数的映射,4,光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,k不同，偶对就不同，导数dx/dt也不同。事实上，每一个dx/dt都是在肯定的背景值(k)下得到的，故称(k)为k时刻导数dx/dt的背景值。,4,光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,4,光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,连续函数导数是在,t 0,条件下定义的。当,t,足够小时，导数偶对x(t)和x(t-,t),几乎重合。,背景值(t)到偶对x(t)和x(t-1)具有,平射性,。,t 0,时 (t)=x(t)=x(t-1),连续函数,光滑离散函数的导数，尽管时间间隔t 足够小，甚至也可以写成t 0，但是时区测度mx(k)，x(k-1)=1的性质却始终没变，对应的背景值(k)，应当取x(k)和x(k-1)中的哪一个，也始终存在，并成了问题的关键。,4,光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,定理：当以偶对x(t)，x(t-1)的均值生成z1(k)为背景值(k)时，(k)到偶对x(t)，x(t-1)具有平射性。,三、过程评价中的应用,过程评价：依据学生在学习过程中记录下的一系列数据，对学生的学习效果和成绩赐予评定。即，依据数据，推想出整体进展状况和最终结果。,例如：以下图中，红点表示某一学生在学习过程中的一些已记录数据。,数据较少，信息密度较低，构不成光滑离散函数，较难推想出学生的学习状况。,数据多，信息密度高，构成光滑离散函数，能比较准确的把握学生的学习状况。,三、过程评价中的应用,我们知道，连续函数的导数的几何意义是在函数图像上某点的斜率(k)。,k0,是减函数，f(x+,x)0,是增函数，f(x+,x)f(x),，学生成绩处于上升阶段；,k0时，假设k值不断增加，学生成绩突飞猛进。,k0时，假设k值不断减小，成绩快速下滑。,三、过程评价中的应用,在光滑离散函数中，如何选取一点测斜率呢？,依据前面介绍的平射行原理，选取偶对x(t)，x(t-1)的均值生成z1(k)为背景值(k)，并从该点测斜率，可得出准确的进展状况。,