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*,3,协方差 相关系数和矩,对于二维随机变量我们除了讨论 的数学期望和方差外，还需讨论刻划 之间的相互关系的数字特征,.,在本章,2,方差性质的证明中，我们已经看到，如果两个随机变量 是相互独立的，则,这意味着当 时，不相互独立，而是存在着一定的关系的,.,定义一,称为随机变量 的协方差,.,记为 即,称为随机变量 的相关系数,.,是一个无量纲的量,.,（其中 ）,协方差的性质：对于任意两个随机变量 ，下列等式成立,证明 由,即得,.,（,1,）,（,2,）,证明 将 按定义式展开，有,（,3,）,我们常常利用上式计算协方差,.,（,4,）是常数,.,（,5,）,（,6,）若 与 独立,则,.,关于相关系数，我们有下面的定理,定理一 任意两个随机变量的相关系数的绝对值不大于,1,，即,证明 我们考虑随机变量 ，其中,由公式（,3.1,）得,所以有,因为方差不能为负，所以有,定理二 当且仅当随机变量 之间存在线性关系，即 时，它们的相关系数的绝,对值等于,1,，并且,证,：,证明（,1,）设 ，我们证明,所以，我们有,因为,于是,由此可见，当 时，当 时，,（,2,）反之，设 在证明定理,1,时，我们曾经得到等式（,3.3,）,从而 时，有,时，有,由此可见，当 时，我们有,这表明 以等于,1,的概率取唯一的值,它的数学,期望 ，易知,所以，当 时，我们有,，即,由此得 ，其中,随机变量的相关系数实质上只是表示随机变量之间的线性相关性,.,随机变量之间的线性相关性就是：当一个变量增大与另一个变量有按线性关系增大（当 时）或减小（当 时）的趋势,.,当相关系数越接近,1,或,-1,时，这种趋势就越明显,.,当 时，称 与 不相关,.,假设随机变量 的相关系数 存在,.,当 与 相互独立时我们有：,从而 ，即 与 不相关,.,反之，若 与 不相关，与 却不一定相互独立（见下两例）,.,例,1,设 的分布律为如,表,4-3,易知,于是 不相关,.,这表示 不存在线性关系,.,知 不是相互独立的,.,事实上，具有关系：,的值完全可由 的值所确定,.,上述情况，从“不相关”和“相互独立”的含义来看是明显的,.,这是因为不相关只是就线性关系来说的，而相互独立是就一般关系而言的,.,但,解,：,例,2,设二维随机变量 的概率密度为试验证是不相关的，但 不是相互独立的,.,解,，即 不相关,.,所以 ，故 不是相互独立的,.,记 ，则,又,例,4,设随机变量 的概率密度为,解,：,解,由此例更能进一步理解相关系数的意义,.,当 服从二维正态分布，它的概率密度为,我们不加证明的指出,:,二维随机变量 的概率密度中的参数 就是 的相关系数，因而二维正态随机变量的分布完全可以由 各自的数学期望、方差及它们的相关系数所确定,.,在第三章,3,中已经讲过，若 服从二维正态分布，那么,相互独立的充要条件为,现在知道 故对于二维正态随机变量 来说，“不相关”与“相互独立”是等价的,.,下面再介绍随机变量的另外几个数字特征,.,定义二 设 是随机变量，,若 存在，则称它为 阶中心矩,.,若 存在，则称它为 阶原点矩，简称阶矩,.,若 存在，则称它为 阶混合矩,.,若 存在，则称它为 阶混合中心矩,.,显然，的数学期望 就是 的一阶原点矩，方差,就是 的二阶中心矩，协方差 就是 的二阶混合中心矩,.,下面介绍维随机变量的协方差矩阵,.,先从二维随机变量讲起,.,将它们排成矩阵的形式：,这个矩阵称为随机变量 的协方差矩阵,.,二维随机变量 有四个二阶中心矩（设它们都存在），分别记为：,设 维随机变量的混合中心矩,都存在，则称,为 维随机变量 的协方差矩阵,.,由于因而上述矩阵是一个对称矩阵,.,一般地，维随机变量的分布是不知道的，或者太复杂，以致在数学上不易处理，因此在实际应用中协方差矩阵就显得重要了,.,下面介绍 维正态随机变量的概率密度,.,我们先将二维正态随机变量的概率密度改写成另一种形式，以便将它推广到 维随机变量的场合中去，二维正态随机变量 的概率密度为,现将上式中中刮号内的式子写成矩阵，为此引入下列的列矩阵,的协方差阵为,它的行列式的逆阵为,于是，的概率密度可写成,经过计算可知（这里矩阵 的转置矩阵）,上式容易推广到 维随机变量 的情况,.,其中 是的协方差阵,.,维正态随机变量,的概率密度定义为,引入列矩阵,维正态随机变量具有以下四条重要性质（证略）：,（,1,）,维正态随机变量 的每一个分,量 都是正态变量；反之，若,都是正态变量，且相互独立，则 是 维正态变量,.,（,2,）维随机变量 服从 维正态分,布的充要条件是 的任意线性组,合：,服从一维正态分布（其中 不全为零）,.,（,3,）若服从 维正态分布，设,是 的线性函数，,则 也服从多维正态分布,.,（,4,）设 服从 维正态分布，则“相互独立”与“,两两不相关”是等价的,.,维正态分布在随机过程和数理统计中常会遇到,.,这一性质称为正态变量的线性变换不变性,.,
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