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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,8,章,整式乘法与因式分解,8.4,因式分解,第,2,课时,第8章 8.4 因式分解,学习目标,1.,探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想,（重点）,2.,能,会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解,（难点）,学习目标1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，,a,米,b,米,b,米,a,米,(,a,-,b,),情境引入,如图，在边长为,a,米的正方形上剪掉一个边长为,b,米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？,a,2,-,b,2,=,(,a+b,)(,a,-,b,),a米b米b米a米(a-b)情境引入如图，在边长为a米的正方形,用平方差公式进行因式分解,一,想一想：,多项式,a,2,-,b,2,有什么特点？你能将它分解因式吗？,是,a,b,两数的平方差的形式,),)(,(,b,a,b,a,-,+,=,2,2,b,a,-,),)(,(,2,2,b,a,b,a,b,a,-,+,=,-,整式乘法,因式分解,两个数的,平方差,，等于这两个数的,和,与这两个数的,差,的,乘积,.,平方差公式：,用平方差公式进行因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点,辨一辨：,下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？,符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成,:,(),2,-(),2,的形式,.,两数是平方，,减号在中央,（,1,）,x,2,+,y,2,（,2,）,x,2,-,y,2,（,3,）,-,x,2,-,y,2,-(,x,2,+,y,2,),y,2,-,x,2,（,4,）,-,x,2,+,y,2,（,5,）,x,2,-25,y,2,(,x,+5,y,)(,x,-5,y,),（,6,）,m,2,-1,(,m,+1)(,m,-1),辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么,例,1,分解因式：,a,a,b,b,(,+,),(,-,),a,2,-,b,2,=,解,:(1),原式,=,2,x,3,2,x,2,x,3,3,(2),原式,整体思想,a,b,典例精析,例1 分解因式：aabb(+)(-)a2 -b2,方法总结：,公式中的,a,、,b,无论表示,数、单项式、,还是,多项式,，只要被分解的多项式能,转化,成,平方差,的形式，就能用平方差公式因式分解,.,方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要,分解因式：,(1)(,a,b,),2,4,a,2,；,(2)9(,m,n,),2,(,m,n,),2,.,针对训练,(2,m,4,n,)(4,m,2,n,),解：,(1),原式,(,a,b,2,a,)(,a,b,2,a,),(,b,a,)(3,a,b,),；,(2),原式,(3,m,3,n,m,n,)(3,m,3,n,m,n,),4(,m,2,n,)(2,m,n,),若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解,.,分解因式：针对训练(2m4n)(4m2n)解：(1)原,当场编题，考考你！,),)(,(,2,2,b,a,b,a,b,a,-,+,=,-,20,15,2,20,14,2,=,（,2mn,）,2,-,(3xy),2,=,(,x,+,z,),2,-,(,y,+,p,),2,=,当场编题，考考你！)(22bababa-+=-20152,例,2,已知,x,2,y,2,2,，,x,y,1,，求,x,-,y,，,x,，,y,的值,x,y,2.,解：,x,2,y,2,(,x,y,)(,x,y,),2,，,x,y,1,，,联立,组成二元一次方程组，,解得,例2 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y,方法总结：,在与,x,2,y,2,，,x,y,有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后,整体代入,或,联立方程组,求值,.,方法总结：在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的值的,例,3,计算下列各题：,(1)101,2,99,2,；,(2)53.5,2,4-46.5,2,4.,解：,(1),原式,(101,99)(101,99),400,；,(2),原式,4,(53.5,2,46.5,2,),=4(,53.5,46.5,)(,53.5,46.5,),4,100,7=2 800.,方法总结：,较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化,.,例3 计算下列各题：解：(1)原式(10199)(10,例,4,求证：当,n,为整数时，多项式,(,2,n,+1,),2,-,(,2,n,-1,),2,一定能被8整除,即多项式,(,2,n,+1,),2,-,(,2,n,-1,),2,一定能被8整除,证明：原式=,(,2,n,+1+2,n,-1,)(,2,n,+1-2,n,+1,),=4,n,2=8,n,，,n,为整数，,8,n,被8整除，,方法总结：,解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除,例4 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1,用完全平方公式分解因式,二,你能把下面,4,个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？,同学们拼出图形为：,a,a,b,b,a,b,a,b,ab,a,b,ab,用完全平方公式分解因式二你能把下面4个图形拼成一个正方形并求,这个大正方形的面积可以怎么求？,a,2,+2,ab,+,b,2,（,a,+,b,）,2,=,a,b,a,b,a,ab,ab,b,（,a,+,b,）,2,a,2,+2,ab,+,b,2,=,将上面的等式倒过来看，能得到：,这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2,a,2,+,2,ab+b,2,a,2,2,ab+b,2,我们把,a+,2,ab+b,和,a-,2,ab+b,这样的式子叫作,完全平方式,.,观察这两个式子：,（,1,）每个多项式有几项？,（,3,）中间项和第一项，第三项有什么关系？,（,2,）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？,三项,这两项都是数或式的平方，并且符号相同,是第一项和第三项底数的积的,2,倍,a2+2ab+b2 a22ab+b2 我们把a+2,完全平方式的特点：,1.,必须是,三项式,（或可以看成三项的）；,2.,有两个,同号,的数或式的平方；,3.,中间有两底数之积的,2,倍,.,完全平方式,:,完全平方式的特点：完全平方式:,简记口诀：,首平方，尾平方，首尾两倍在中央,.,凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解,.,2,a,b,+,b,2,=,(,a,b,),a,2,首,2,+,尾,2,2,首尾,(,首,尾,),2,两个数的平方和加上,(,或减去,),这两个数的积的,2,倍，等于这两个数的和,(,或差,),的平方,.,简记口诀：凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完,3.,a,+4,ab,+4,b,=()+2()()+()=(),2.,m,-6,m,+9=(,)-2()(,)+()=(),1.,x,+4,x,+4=()+2()()+()=(),x,2,x,+2,a,a,2,b,a,+2,b,2,b,对照,a,2ab,+,b,=(,a,b,),，填空：,m,m,-3,3,x,2,m,3,3.a+4ab+4b=()+2(,下列各式是不是完全平方式？,（,1,）,a,2,4,a,+4;,（,2,）,1+4,a,;,（,3,）,4,b,2,+4,b,-1;,（,4,）,a,2,+,ab,+,b,2,;,（,5,）,x,2,+,x,+0.25.,是,（,2,）因为它只有两项；,不是,（,3,）,4,b,与,-1,的符号不统一；,不是,分析：,不是,是,（,4,）因为,ab,不是,a,与,b,的积的,2,倍,.,下列各式是不是完全平方式？是（2）因为它只有两项；不是（3）,例,5,如果,x,2,-6,x,+,N,是一个完全平方式,那么,N,是,(),A.11 B.9 C.-11 D.-9,B,解析：根据完全平方式的特征，中间项,-6,x,=2,x,(-3),故可知,N,=(-3),2,=9.,变式训练,如果,x,2,-,mx,+16,是一个完全平方式,那么,m,的值为,_.,解析：,16=,(,4,),2,，故,-,m,=2,(,4,),，,m,=,8.,8,典例精析,例5 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(,方法总结：,本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值,.,计算过程中，要,注意积的2倍的符号，避免漏解,方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所,例,6,分解因式：,（,1,）,16,x,2,+,24,x+,9,；,（,2,）,-,x,2,+4,xy,-,4,y,2,.,分析,：,(1),中，,16,x,2,=(4,x,),2,9=3,24,x,=24,x,3,所以,16,x,2,+24,x,+9,是一个完全平方式，即,16,x,2,+24,x,+9=(4,x,),2,+24,x,3 +(3),2,.,2,a,b,+,b,2,a,2,(2),中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为,-,(,x,2,-,4,xy,+4,y,2,),然后再利用公式分解因式,.,例6 分解因式：分析：(1)中，16x2=(4x)2,解：,(1),16,x,2,+24,x,+9,=(4,x,+3),2,；,=(4,x,),2,+24,x,3+(3),2,(2),-,x,2,+4,xy,-,4,y,2,=,-,(,x,2,-,4,x,y+4,y,2,),=,-,(,x,-,2,y,),2,.,解：(1)16x2+24x+9,例,7,把下列完全平方公式分解因式：,(1),100,2,210099+99,；,(2)34,2,3432,16,2,.,解：,(1),原式,=,（,100,99),(2),原式,(34,16),2,本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，,=1.,2 500.,例7 把下列完全平方公式分解因式：解：(1)原式=（1,例,8,已知,x,2,4,x,y,2,10,y,29,0,，求,x,2,y,2,2,xy,1,的值,11,2,121.,解：,x,2,4,x,y,2,10,y,29,0,，,(,x,2),2,(,y,5),2,0.,(,x,2),2,0,，,(,y,5),2,0,，,x,2,0,，,y,5,0,，,x,2,，,y,5,，,x,2,y,2,2,xy,1,(,xy,1),2,几个非负数的和为,0,，则这几个非负数都为,0.,例8 已知x24xy210y290，求x2y2,方法总结：,此类问题一般情况是,通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题,方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的,1.,下列多项式中能用平方差公式分解因式的是,(,),A,a,2,(,b,),2,B,5,m,2,20,mn,C,x,2,y,2,D,x,2,9,当堂练习,D,2.,分解因式,(,2,x,+3,),2,-,x,2,的结果是（）,A3,(,x,2,+4,x,+3,),B3,(,x,2,+2,x,+3,),C,(,3,x,+3,),(,x,+3,),D3,(,x,+1,)(,x,+3,),D,3.,若,a,+,b,=3,，,a,-,b,=7,，则,b,2,-,a,2,的值为（）,A,-21,B,21 C,-10 D,10,A,1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()当堂练习D,4.,把下列各式分解因式：,(1)16,a,2,-9,b,2,=
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