材料力学第11章能量法

单击此处编辑母版书名样式,*,材料力学,出版社 科技分社,1,第十一章,能量法,2,在弹性体的变形过程中，外力沿其作用方向做功，称为外力功。,在弹性变形过程中外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。当荷载逐渐卸除时，该能量将重新释放出来作功，使弹性体恢复到变形前的形状。这种形式的能量称为弹性应变能或弹性变形能。,利用这种功和能的概念解决力学问题的方法统称为能量法，相应的根本原理统称为功能原理。,111能量法的根本概念,3,积蓄在弹性体内的应变能,U,和在加载过程中的能量损耗,E,之和在数值上应等于荷载所作的功,在缓慢加载过程中弹性体的动能和以其它形式损耗的能量可不於考虑,4,11,2,应变能,11.2.1杆件根本变形的应变能,恒力,F,在沿其方向上的线位移,上所作的功为,构件所承受的荷载从零开始缓慢地增加到最终值后不再随时间改变，通常把这种荷载称为静荷载，其实质为非恒力做功。在加载过程中力,F,在微小位移上作的元功,5,材料服从胡克定律，即外力F与位移成线性关系图b，那么外力做功,整个加载过程中荷载所作的总功那么为图a中曲线下的面积,6,1轴向拉伸与压缩杆件的应变能,当外力从,0,逐渐增大到,F,1,时，杆端位移由,0,逐渐增至,1,，由,U,=,W,可知积蓄在杆内的应变能,U,为,在拉杆伸长过程中，单元体上外力所作的功为,7,单元体单位体积的应变能应变能密度为,整个拉杆的应变能为,在线弹性小变形杆件，应变能为,8,材料满足胡克定律,=,E,，,应变能密度,u,为,轴向拉伸杆件的应变能,9,2扭转圆杆的应变能,单元体上切应力作的元功为,应变能密度为,对线弹性材料，,=G,，,应变能密度为,10,在线弹性、小变形范围内的扭转杆件，其扭转角间与扭转力矩的关系是一条直线图b。扭转圆轴的应变能为,对于等直圆杆有：,受扭等直圆轴的应变能为,11,3梁的应变能计算,梁在线弹性范围内纯弯曲时，其轴线弯曲成一段圆弧,(,图,a),，两端横截面的相对转动夹角为,M与 的关系是线性的图b，杆件纯弯曲变形时的应变能为,12,对于在工程实际常遇到的横力弯曲梁,横截面上同时存在剪力和弯矩，所以梁的应变能包括两局部：弯曲应变能和剪切应变能。,微段,dx,的弯曲应变能为,13,微段,dx,的剪切应变能为,S,是与截面形状有关的参数，称为截面修正系数。常用截面梁中，矩形截面梁的,S,=6/5,，圆形截面的,S,=10/9,，圆环截面梁的,S,=2,。,全梁的弯曲应变能那么可积分得,14,例题11.1 试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的垂直位移，EI为常量。,解,：写出悬臂梁的弯矩方程,梁的应变能为：,外力所作功为：,由,U=W,得,15,例题11.2 试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截面的垂直位移.EI为常量.,解：截取图示局部曲杆，受力如图b,写曲杆的弯矩方程,曲杆的应变能为,16,外力所作功为：,由,U=W,得：,解得：,问题：直接利用功能原理能否求出,B,截面的转角、,水平位移等位移量？,17,11,.,2,.,2,杆件组合变形的应变能,在线弹性范围内变形杆件的应变能通常是内力或变形量的二次型函数。当构件同时受几个力或力偶共同作用时，力作用效应的叠加原理在变形能的计算中不再适用。,在线弹性、小变形条件下，轴力、弯矩、剪力和扭矩各种内力在杆件变形上作功是相互独立的，那么下面的应变能计算式成立,18,例题11.3 图示简支矩形截面梁中间受集中力F作用，试导出横力弯曲应变能U1和剪切应变能U2，以矩形截面梁为例比较这两应变能的大小。,解：设距梁左端x截面的弯矩为M(x)、剪力为FS(x)，那么,截面上的弯曲正应力和切应力为,19,弯曲应变能密度,u,1,，剪切应变能密度,u,2,分别为,通过积分得梁两种变形的应变能分别为,20,其中,设截面修正系数：,那么梁在横力弯曲时两种应变能分别简写为,矩形截面梁,21,简支梁的内力方程为,由内力方程计算出两种应变能：,22,总应变能,两应变能之比,取,=0.3,时：,时：,对细长梁，剪切应变能可以略去不计，而短粗梁应予考虑。,23,11,3,卡氏定理,11.3.1,余能,在,F-,曲线与横坐标围成的面积其大小等于外力,F,所作的功，而该曲线与纵坐标围成的面积称为,F,所作的,余功,，计算公式为,与余功,W,C,相对应的应变能称为,余能,24,余应变能密度,例如，材料的应力应变关系为,杆件的应变能密度和余应变能密度分别为,对于线弹性体，应变能和余能在数值上是相等的。,25,卡氏第一定理,根据功能原理，外力功在数值上等于应变能，有dW=dU,那么得,外力功,W,的增量：,应变能,U,的增量：,结构在假设干力作用下产生位移，假设沿第i个作用力方向的位移有一微增量di。,卡氏第一定理：,应变能函数对某个广义位移的偏导数，等于与该位移相应的广义力大小。,26,11.3.3,卡氏第二定理,图示弹性结构上作用有,n,个广义力,F,i,，与这些力对应的广义位移为,i,，余能,U,C,的计算式为,UC是外力Fi的函数,假设第i个广义力有一微增量dFi，那么弹性体的余能有相应的增量,27,外力余功的增量为：,根据功能原理，有dUC=dWC,那么得,卡氏第二定理：,应变余能函数对某个广义力的偏导数，等于与该力相应的广义位移大小。,对于线性弹性体，其应变能与余能相等，有,28,例题,11.4,图示外伸梁，材料为线弹性，抗弯刚度为,EI,，试求外伸端,C,的挠度,C,和左端截面的转角,A,。,解：,C,处作用有集中力,F,，根据卡氏第二定理有,29,梁的弯矩方程分段表达,AB,段：,BC,段：,30,同理：,又有：,C与A皆为正号，说明它们的方向分别与F和MA作用方向相同，负号说明反向。,31,例题11.5 图示线弹性材料悬臂梁，自由端A作用有集中力，假设F、l、EI，求梁上A点的铅垂位移A和B点的铅垂位移B。,解：1求梁上A点的铅垂位移。,写出梁的弯矩方程,用卡氏第二定理得,32,2求B点的铅垂位移时，须在B点虚加一附加力F1，弯矩方程写为,AB,段：,BC,段：,33,令上式中的,F,1,=0,思考：假设题中梁上,A,、,B,两点同时作用相同大小的力,F,时，如何计算各点的铅垂位移？,34,11,4,用能量法解超静定系统,一解除超静定结构的多余约束，将原结构化为静定的结构静定基，并在静定基上添加上与解除的约束相对应的多余约束力；,二根据结构的位移约束条件,给出变形几何相容方程；,三将力-位移间的物理关系代入几何方程,得到超静定系统的力法方程未知量为未知力的代数方程；,四求解力法方程得到多余未知力。,求解除超静定结构的根本步骤：,35,例题 11.6 线弹性材料的等截面超静定梁如下图，用卡氏定理求B 点的垂直位移。,解,:,此是一次超静定问题，取静定基如图,b,支座,C,的铅垂反力,X,为未知多余约束力。,分段写出弯矩方程：,36,由约束条件,37,由于静定基的内力和变形与原结构是相同的，只需求出静定基上的B点位移即得原结构B点位移。,38,例题,11.7,三杆的材料相同，横截面面积均为,A,，,1,2,两杆长度为,l,。用余能定理求各杆的轴力。,以铰链 D 的支反力X 为未知多余约束力，根本静定基如下图，且有,解：,由,A,点的平衡方程得各杆的轴力分别为,，,39,各杆的应力分别为,由材料 的应力-应变关系,三杆的余能密度分别为,40,整个结构的余能为,由卡氏第二定理和约束条件：,得：,41,本章小结,利用功能原理解决力学问题的方法统称为能量法。,杆件的应变能计算,扭转圆杆的应变能:,轴向拉伸与压缩杆件的应变能,:,弯曲梁的应变能计算:,组合变形时杆件的应变能为,42,余功与余能的计算,卡氏第一定理,:,应变能函数对某个广义位移的偏导数等于与该位移相应的广义力。该定理适用于线性和非线性弹性体,卡氏第二定理：对于线弹性结构，应变能对某广义力的偏导数等于与该力相对应的位移。,43,第十一章结束,