对称性守恒律和简并性ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第4章 量子力学中的对称性,4.1 对称性、守恒律和简并性,一、经典物理中的对称性,对拉格朗日函数：,若 ,即广义动量为运动常数.,类似地，若用哈密顿函数 的正则方程来讨论：,第4章 量子力学中的对称性 4.1 对称性、守恒律和简并,1,二、量子力学中的对称性,量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符,T,相联系的，习惯上,T,常被称作对称算符。,若,T,作用下系统不变,则称系统具有与,T,相关的对称性.,对无穷小变化的操作，,T,可写为，,其中,G,是对称操作的厄米生成元。,若,H,在,T,作用下不变，则根据海森堡运动方程，有 ，即,G,是运动常量。,二、量子力学中的对称性量子力学中的操作如平移、转动等是与一个,2,例如动量是平移的生成元，若H在平移操作下不变，则动量是运动常量（即守恒）。类似的，若H在转动下不变，则转动的生成元角动量守恒。,从态矢变化的角度看，若G与H对易，则,保持是G的本征态，且G的本征值不变：,物理规律的平移不变性特征,例如动量是平移的生成元，若H在平移操作下不变，则动量是运动常,3,三、简并 态,若H,T=0，T为某对称算符，|n为本征值为E,n,的能量本征态，则T|n也是相同能量的能量本征态。如果T|n与|n是不同的态，则称它们是能量简并态，体系有简并。有时T由连续参量,表征T=T(,),此时所有的T(,)|n,态都简并（但简并度只是独立的T(,)|n,态数）。,三、简并 态若H,T=0，T为某对称算符，|n为本征值,4,如对转动，可构造H,J,2,J,z,的共同本征态|n;j,m。由上所知，所有D(R)|n;j,m态能量简并。,由于 ,改变表征D(R)的连续参量,可得不同|njm组合,故不同m的|njm是简并的。因m有2j+1个，简并度为2j+1。,从H,J,=0和J,作用于|njm也可知其有2j+1简并度,如对转动，,5,作为应用，考虑原子中电子的状态，其所受势为 。由于势V(r)在转动下不变，故原子能级有2j+1重简并。若外加Z方向的电磁场，则电子所受的势不再在转动下不变，简并被消除。,作为应用，考虑原子中电子的状态，其所受势为,6,4.2 分离对称性，宇称或空间反演,上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如宇称，晶格平移和时间反演。,宇称或空间反演操作将,r,变为-,r,，右手坐标系变为左手坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换。,对称操作的两种等价方式：主动与被动,4.2 分离对称性，宇称或空间反演 上面讨论的是连续性对称,7,一、宇称算符的基本性质,对|,用幺正算符,表示宇称算符，|,|,。,要求位置算符的期待值变号，即,则有,位置本征态|,x,在宇称作用下变为本征值为-,x,的态：,故,由于用,作用两次体系必恢复原状，故,2,=1,=,-1,=,+,，,是厄米的。,对,的本征态|,因,|,=,2,|,，知,=1,一、宇称算符的基本性质对|,用幺正算符表示宇称算符，|,8,二、算符在宇称操作下的变换,由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：,有,或,p,=0.该关系与p=dx/dt的预期相同。,对轨道角动量,L,=,x,x,p,，可预期,L,=0.,对一般角动量，考虑到R(宇称)=-,I,宇称和转动操作对易，故量子力学中的相应幺正算符也对易:,D(R)=D(R),J,=0.,二、算符在宇称操作下的变换由于先平移后反演等同于先反演后在相,9,三、矢量和赝矢量,在转动下,x,和,J,以相同方式变换，两者都是矢量，或一阶球张量，但,x,和,p,与,反对易，而,J,与对易。,与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对易的矢量叫做轴矢量或赝矢量。,类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符（与宇称算符反对易）。,L,S、x,p,是标量：,+,L,S,=,L,S,赝标量的例子包括,S,x,、L,x等：,三、矢量和赝矢量在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，,10,四、波函数在宇称操作下的变换,若|,为宇称本征态，|=,|,则=,故有,“+”对应偶宇称，“-”对应奇宇称。当然，只有与,对易的算符之本征态才可能有确定的宇称。如动量算符不与,对易，其本征态即平面波并非,的本征态，而轨道角动量的本征态则可为,的本征态：,四、波函数在宇称操作下的变换,11,五、能量本征态与宇称,若H,=0,而|n是H的本征值为E,n,的,非简并本征态，则|n是宇称本征态。,证：H,|n=E,n,|n,由非简并性得,|n=e,i,|n.,作为应用，考虑简谐振子本征态。,由于基态为高斯函数，,|0=|0,而|1=,a,+,|0=-|1。,类似可推得,|n=(-),n,|n,五、能量本征态与宇称若H,=0,而|n是H的本征值为,12,注意:非简并性对得出|n是,的本征态是,非常重要的。若有简并，如氢原子体系，C,p,|2p+C,s,|2s是H本征态，但并非,的本征态。,又如动量本征态也是H本征态，但|p 和|-p简并,|p并非,的本征态.,当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得到,的本征态，如|,=|p,|-p便是,和H,的共同本征态,注意:非简并性对得出|n是的本征态是非常重要的。若有简并,13,六、对称双势阱,H与,对易，,H的最低两本征态为,对称的|S和反对称的|A,E,A,E,S,且E,A,-E,S,随势垒增高而减少。,六、对称双势阱,14,取|R|S+|A，|L|S-|A,在,作用下|R和|L对调.|R和|L不是,的本征态，也不是H的本征态，但有相同能量期待值.|R和|L是非定态,若t,0,=0处于|R，则t时状态为,该态在|R和|L间震荡，震荡角频率为,取|R|S+|A，|L|S-|A,在作用下,15,该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无穷高，则E,A,=E,S,，从而,=0，不再震荡。,注：对无穷高势垒，|R和|L均是H的本征态，但|R和|L均非,的本征态。即H所具有的宇称不一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的一个简单例子。这种现象在自然界相当普遍，如铁磁现象，糖与氨基酸的手性等。,该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典物理禁止的区域隧穿,16,七、宇称选择定则,若,将相反宇称的态相联系。,该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇称，则其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。,如果H,=0,能量非简并态必无偶极矩：=0,当然，对简并态，则不一定为零。,七、宇称选择定则 若,17,宇称不守恒：,若H与,对易，则宇称守恒，否则宇称不守恒。如基本粒子间的弱作用与宇称不对易，故过程宇称不守恒。李杨最早发现弱相互作用宇称不守恒而获诺奖。,对称性守恒律和简并性ppt课件,18,作业：题2，3，5,作业：题2，3，5,19,