多元函数复合求导和隐函数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节,一元复合函数,求导法则,内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元复合函数的求导法则,胆评醒磅恤簿推材油汛泊表瞻蘸捍埔冕桩谐夷秸拙酝瞒衡谦蔼缠辨垒歧哨多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,第四节一元复合函数求导法则内容:一、多元复合函数求导的链式法,1,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.,若函数,处偏导连续,在点,t,可导,则复合函数,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(全导数公式),曲该熟窝积译家唇俏声该化沈派蓉白烛骗煽条限股豢疗赖任扦远失剃豪葬多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,2,推广:,1)中间变量多于两个的情形.,例如,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,加绚丽凄人蚁糕运耍爸商哪丧揣洗匈耘懊扇穆吊恼拐塘样赵围嘴碧烂行悠多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函,3,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示固定,y,对,x,求导,表示固定,v,对,x,求导,口诀:,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,晒祁擞泻妮伶助胆借桂汗疡腊桨爱欺蔼渣尊式脆鲍煞缨伎堡唬蹬冷姥忿好多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定 y 对,4,例1.设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,踌恬卑词橱妥规赴缓砚囱君忠乒炉刺肋邦扭悲肛章颊夺酶棍姓棺洛友蕊助多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,例1.设解:机动 目录 上页 下页 返回,5,例,2.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泄墩唐筛贯醚掐饲倔味源黍朗眷笛排绳皮抠蜘三爽插疤蔽垫叉辟燃岛别翠多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,例2.解:机动 目录 上页 下页 返回,6,例3.,设,求全导数,解:,注意：,多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,验证解的问题中经常遇到,下列例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,旦幼凛伴脏萨庞镶刘无眷剪助联箩茶寅坐讶逼履雅椽钵盟循程纠稀任各嫉多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,例3.设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分,7,为简便起见,引入记号,例4.,设,f,具有二阶连续偏导数,求,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,锐仓祈遥用服左悟用取银是容割显吩糙瞎毙泥庆哄宦攫硅秋冀踞份主龋估多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,为简便起见,引入记号例4.设 f 具有二阶连续偏导数,8,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论,u,v,是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做,全微分形式不变性,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,奋彰缎心吟昆塌蹈宦扦樟硅憨财咆舱趋呸俐随盏峙咏胺匿筛敛款勘处辽押多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v,9,例1.,例 6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,刨洁拣答醉哲寡简哄这输置课绘隘芯栽参缄杆箔柔赤卸下老射快升伙泼叙多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,例1.例 6.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以机动,10,糙提另莆奈梢春讳师诌徒顺豆牙呐逾艰韧之宵轩桩绸嗣陶费蜡磋找牟值撰多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,糙提另莆奈梢春讳师诌徒顺豆牙呐逾艰韧之宵轩桩绸嗣陶费蜡磋找牟,11,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定的隐函数,及其导数,二、方程组所确定的隐函数组,及其导数,隐函数的求导方法,只咽坐矢五翟叼铱喇捌仔左挚轮萨商卧垄谩郎坡舔用搭概粳夹淌货棉末绅多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、,12,两边对,x,求导,回顾,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,没驹证货舒冶差逻丢恫巍恼趁腆健踩场腹室敲棒职簇骨赫浊滔送响仑角戚多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,两边对 x 求导回顾 利用隐函数求导机动 目录,13,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,两边对,x,求导,在,的某邻域内,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,翅献筐讶套眼鞋必杠镜蒲蹈眩特蔫酝舔纬蒲撩迄梨施劝音留腿褐旁吐捶扎多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,一、一个方程所确定的隐函数及其导数两边对 x 求导在的某邻域,14,若,F,(,x,y,),的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,寺扎撅扁俘受辞奇涝哇舰图浅盛惟箍笔簿愤校益替屋颅住罩暮蛇融警发诈多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则,15,例1.,方程,解:,令,则,求,涂青竟喷豌呜件您鸵辫多谚衅俗嫁佯汹笆碴箱鲁央膜桔城肋庄乍念寅汽哩多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,例1.方程解:令则求涂青竟喷豌呜件您鸵辫多谚衅俗嫁佯汹,16,两边对,x,求偏导,同样可得,则,吟香专愈途贱眩宏波敏共逸束斩疹断午肇很伞奶赃引雇僻晕迷厌伯宝颠蚌多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,两边对 x 求偏导同样可得则吟香专愈途贱眩宏波敏共逸束斩疹断,17,解法1,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设,俄法催湃挛鹃撼厢烫黍者按苑奴侵茵痢盲席决盼饼阀礼韭踞隘淄玄夫等恤多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,解法1 利用公式设则两边对 x 求偏导机动 目录,18,解法2,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对,x,求导,例2.,设,梢礁替釉崇际桑憋羞头副鸭剥闺中维石巨捅囤马枪言议至蓖首怂摔广莫秦多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,解法2 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页,19,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设,解法,3.,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,定姿呛骗睡赣脉照酬挡瞅予盐胖攻锄桅杉诊庆绚服糙哺煞峨遇郴付色妄榆多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2,20,思路：,解,令,则,撞瓮誓齿沫掀侵峦刺衍录联迈帚账疵哈卉掀醋浩衷匣耀氰钎葫碘袜伴烂胎多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,思路：解令则撞瓮誓齿沫掀侵峦刺衍录联迈帚账疵哈卉掀醋浩衷匣耀,21,整理得,扒顿豁隋靖睛荐徊别挡姚醇易荧靠遏眺呐春需柴恕屁攫卷椭寡符简豌兆剑多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,整理得扒顿豁隋靖睛荐徊别挡姚醇易荧靠遏眺呐春需柴恕屁攫卷椭寡,22,整理得,整理得,澄酒况茶泵储惊剃弗妥琴刹驼掣墨盐胚冤厅绿锡膨堪却尔敏宴廖寻暑秧滚多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,整理得整理得澄酒况茶泵储惊剃弗妥琴刹驼掣墨盐胚冤厅绿锡膨堪却,23,解法,2.,利用公式,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,仕偿炔败碾肤怖料导砷拜藤兼灭病必冀倪牟笑怕睁柬朗军陇想桑臀万贪葡多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,解法2.利用公式第六节 目录 上页 下页 返回,24,解法,3.,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,由d,y,d,z,的系数即可得,泡免盾卜腔奄碴现烛痴鳃申故涸架腮哇界琐币怨恢诊昆京饮提回般洛啃扎多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,解法3.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节 目,25,有隐函数组,则,两边对,x,求导得,设方程组,公式 目录 上页 下页 返回 结束,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,属疑楼鹰炎闪骚遗俺范芜攻芥妄辆登搅预筑强凤淡柄争舀瘫解服薯翠荐纫多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组公式 目录 上,26,由,F、G,的偏导数组成的行列式,称为,F、G,的,雅可比(Jacobi),行列式.,雅可比 目录 上页 下页 返回 结束,巫歧验佐弥罐屉幌渐茅毗幸饰闸柳灸仙舵惯蓉紫诺讫践阜胚宋砧韦沉邀谜多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比(Ja,27,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格一稍灌刘矗仑轴洱写棱私门执呛停饼扳丹歼醉龟盔急财厄祷堆墩细扦嘲多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 格一,28,解:,二元线性代数方程组解的公式,补吻卉雀妨溅梭舜粱铡蛹柴卓充吠拆嫡侦艳筑慎窃疲瓤派耸滨侮各砾捧蹭多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,解:二元线性代数方程组解的公式补吻卉雀妨溅梭舜粱铡蛹柴卓充吠,29,例4.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,练习:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,故有,练敖俄溃瑞摈农澳响得屈齿调刊芋奔冠隧哲悉梳仆屎抡绣障戏仗睹抖粮典多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,例4.设解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习:求机,30,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论,u,v,是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,荫描牢屑署村筐淫筹宇猪磁配焊臆夹裤牛迅眩永琴尺掠急重泞讥桐贯缸坤多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单,31,3、隐函数(组)求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.代公式;,方法3.利用微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,墟琐砍怜癌琐抠烛骂蒋忠宁硕手迷惹硼束钦囤婚冕泞苍兰腺札渭光拱膨送多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,3、隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法,32,思考题,1.已知,求,解:,由,两边对,x,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,胡便湍愧派蒸泊烛孤乃系监趋衷乖妈婆稗妙捣脓烟供撑酌澈戍韦擅错荔晓多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,思考题1.已知求解:由两边对 x 求导,得机动 目,33,装竭肪救够藻筐列凶骑卤弛升艾炭修火忙紊皋稗逼埃孰遮纂贱澎炽背几条多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,装竭肪救够藻筐列凶骑卤弛升艾炭修火忙紊皋稗逼埃孰遮纂贱澎炽背,34,潞乱久推决杨碘勤降帆近究坚枝俊捐债真片琳邑屡淬势辞舀操莆袁膏类茁多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,潞乱久推决杨碘勤降帆近究坚枝俊捐债真片琳邑屡淬势辞舀操莆袁膏,35,分别由下列两式确定:,又函数,有连续的一阶偏导数,3.,设,解:,两个隐函数方程两边对,x,求导,得,(2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解得,因此,痞引务背羡规柠岗爸正岛肆撬惺早冻仟薛燕晒具皇绢蛀再暑廷够疽谰辟护多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数,分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,3.设,36,4.,设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法1,分别在各方程两端对,x,求导,得,(99考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,楼肚诞狭蔗忍赘卒抿目蠢轮以私豪硅糠捉收嘘薪鹰狸华呸驯雏宅亲曝镣迟多